MATEMAATLINE ANALRRS II 1. KORDSED INTEGRAALID ...

ZZZ
V =
E
dxdydz = R 1
0 dx R 1
x2 dy R 1 x
0
= R 1
0 (1 x) (1 x2 ) dx = (1 x x2 + x3 ) 1
0
dz = R 1
0 dx R 1
x 2 (1 x) dy =
2) Kui keha jaotustihedus piirkonnas V on antud funktsiooniga f(x; y; z) >
0, siis keha mass avaldub valemiga
ZZZ
m = f(x; y; z)dxdydz (5)
V
3) Kui keha jaotustihedus piirkonnas V on antud funktsiooniga f(x; y; z) >
0, siis keha masskeskme C(xC; yC; zC) koordinaadid saab arvutada valemitest
ZZZ
xf(x; y; z)dxdydz
xC = 1
m
yC = 1
m
zC = 1
m
V
ZZZ
V
ZZZ
V
yf(x; y; z)dxdydz
zf(x; y; z)dxdydz;
kus mass m arvutatakse valemist (5).
Näide 38. On antud kera raadiusega R ja keskpunktiga koordinaatide
alguses. Määrata ülemise poolkera masskeskme koordinaadid, kui tihedus on
konstantne, s.t. f(x; y; z) = 0.
Ülemine poolkera on piiratud pindadega z = p R2 x2 y2 tema masskeskme koordinaadid on (0; 0; zC), kus
ZZZ
ja z = 0 ja
zC = 1
m
V
z 0dxdydz:
Minne üle sfäärikoordinaatidele
ZZZ
zC =
=
R 4
4
V
ZZZ
V
R
2
0 cos sin
R 3
3
R 2
0 sin
0 zdxdydz
0 dxdydz
= 04 R 2
0
R 2
0 d' d
R 2
0 d' d
38
0 4 R 2
0
= 1
R 2
0 [ R R
0 r cos r2 sin dr]d' d
= R4 R
2
4 2 0
R 2
0 [ R R
0 r2 sin dr]d' d
1
sin 2 d
2
R 3
3 2 ( cos ) 2 0
=
=