MATEMAATLINE ANALRRS II 1. KORDSED INTEGRAALID ...

MATEMAATLINE ANALÜÜS II
1. KORDSED INTEGRAALID
Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast.
1.1 Kahe muutuja funktsioonid
Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile (x; y) 2 D seatakse
ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud
kahe muutuja funktsioon
z = f(x; y).
Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi
piirkond xy-tasandil.
Näide 1. Poolsfääri z = p 1 x 2 y 2 määramispiirkonnaks on ring
x 2 + y 2 1.
Funktsiooni z = ln(x + y) määramispiirkonnaks on pooltasand y > x
(sirgest y = x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist).
1

Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ).
Näide 2. Funktsiooni z = x 2 + y 2 graa…kuks on pöördparaboloid (vaata
allpool olevat joonist)
Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni
f(x; y) = c
Näide 3. Tüüpiline näide nivoojoontest on kaardi tasakõrgusjooned:
need on punktid kaardil, millel on sama kõrgus.
2

Funktsiooni z = f(x; y) osamuuduks x järgi nimetatakse vahet
xz = f(x + x; y) f(x; y)
ja osamuuduks y järgi vahet
yz = f(x; y + y) f(x; y).
Funktsiooni z = f(x; y) täismuuduks nimetatakse vahet
z = f(x + x; y + y) f(x; y).
oluline on teada, et üldiselt
z 6= xz + yz.
Funktsiooni z = f(x; y) osatletiseks x järgi, tähistame zx, fx(x; y), @z
nimetatakse piirväärtust
@z
@x = lim x!0
xz
x = lim f(x+ x;y) f(x;y)
x!0 x
@x
, @f
@x ,
Analoogiliselt funktsiooni z = f(x; y) osatletiseks y järgi, tähistame zy,
@f
, , nimetatakse piirväärtust
fy(x; y), @z
@y
@y
@z
@y = lim y!0
xz
y = lim y!0
f(x;y+ y) f(x;y)
. y
Joonisel on geomeetriliselt kujutataud funktsiooni z = f(x; y) osatuletisi
punktis A(a; b): need on vastavalt pinna z = f(x; y) ja tasandite x = a
ja y = b lõikumisel tekkinud joonte lx ja ly puutujate tõusud zx = tan ;
zy = tan .
Funktsiooni z = f(x; y) täisdiferentsiaaliks dz või df nimetatakse avaldist
dz = fx(x; y)dx + fy(x; y)dy
Funktsiooni, millel on täisdiferentsiaal, nimetatakse diferentseeruvaks.
3

Nagu jooniselt näha, kujutab funktsiooni z = f(x; y) täisdiferentsiaal
geomeetriliselt funktsiooni f graa…ku puutujatasandi aplikaadi (z-koordinaadi)
muutu üleminekul punktist P (x; y) punkti P1(x + x; y + y).
Näide 4. Funktsiooni z = x2 sin y osatuletised on
@z = 2x sin y y = const
@x
@z
@y = x2 cos y
ja täisdiferentsiaal
x = const
dz = 2x sin y dx + x2 cos y dy.
Selle väärtus punktis (2; ) kui 4
dzjx=2;y= =4 = 2 2 sin 4
x = 0; 01 ja y = on 100
0; 01 + 22 cos 0; 117
4 100
Ligikaudses arvutuses kasutatakse võrdust
z = f(x + x; y + y) f(x; y) dz,
kust
f(x + x; y + y) f(x; y) + dz
Näide 5. Näite 4 andmetel
f(2; 01; 4 + 100 ) 2 2 2 sin 4 + 0; 117 2; 828 + 0; 117 2; 945.
Täpselt
f(2; 01; 4 + 100 ) = 2; 01 2 sin( 4 + 100 ) = 2; 945106 2; 945
Funktsiooni z = f(x; y) osatuletistest zx (või fx(x; y), @z
@x
fy(x; y), @z
@y
, @f
@y
, @f
@x ) ja zy (või
) saab võtta uuesti osatuletisi: saame teist järku osatuletised
zxx (tähistatakse ka fxx või @2z @x2 või @2f @x2 ),
zxy (fxy, @2z @x@y või @2f @x@y ),
zyx (fyx, @2z @y@x või @2f ) ja @y@x
4

zyy (fyy, @2z Osatuletisi zxy ja zyx nimetatakse segatuletisteks
Teist järku osatuletisi võib uuesti diferentseerida nii x kui ka y järgi,
saades kolmandat järku osatuletised. Neid on ilmselt juba kaheksa:
@3z @x3 @ , 3z @x2@y , @3z @x@y@x , @3z @x@y2 @ , 3z @y@x2 @ , 3z @y@x@y , @3z @y2@x , @3z @y3 , jne.
@y2 või @2f @y2 ).
Näide 6. Leia funktsiooni f(x; y) = x2y + y3 teist järku osatuletised.
@f
@f
= 2xy = 2y
@x
@2f @x2 = 2y
@y
@2f @x@y
= 2x
@ 2 f
@y@x
= 2x
Siin segatuletiste võrdsus ei ole juhuslik. Nimelt kehtib
@ 2 f
@y 2 = 6y
Teoreem 1. Kui funktsioon z = f(x; y) ja selle osatuletised zx, zy,
zxy ja zyx on mingi punkti ümbruses pidevad, siis selles punktis funktsiooni
segatuletised on võrdsed, s.t.
@2z @x@y = @2z @y@x (zxy = zyx)
Osatuletise rakendused.
1. Ekstreemumi leidmine.
Funktsiooni z = f(x; y) maksimumi ja miinimumi nimetatakse tema ekstreemumiteks.
Näide 7. Funktsioonil z = (x 1) 2 + (y 2) 2
(1; 2). (Vaata allolevat joonist)
1 on miinimum punktis
Punkte P (x0; y0), milles funktsiooni osatuletised on nullid või puuduvad
(s.t. @f
@x (x0; y0) = 0 ja @f
@y (x0; y0) = 0 või nendest kasvõi üks puudub),
nimetatakse funktsiooni kriitilisteks punktideks. Kehtib
5

Teoreem 2 (Ekstreemumi tarvilik tingimus). Kui funktsioonil z = f(x; y)
on punktis (x0; y0) ekstreemum, siis see punkt on kriitiline punkt.
Selle teoreemi järgi saab ekstreemum olla (kuid ei pea olema) vaid kriitilises
punktis.
Teoreem 3 (Ekstreemumi piisav tingimus). Olgu punkt P (x0; y0) funktsiooni
z = f(x; y) kriitiliseks punktiks ja olgu funktsioon osatuletised kuni
kolmanda järguni pidevad selle punkti ümbruses, st @f
@x (x0; y0) = 0 ja @f
@y (x0; y0) =
0. Siis punktis (x0; y0) on
1) funktsiooni f maksimum, kui A = @2 f
@x 2 (x0; y0) @2 f
@y 2 (x0; y0)
0 ja @2f @x2 (x0; y0) < 0,
2) funktsiooni f miinimum, kui A > 0 ja @2f @x2 (x0; y0) > 0,
3) funktsioonil f ei ole ekstreemumit, kui A < 0;
4) funktsioonil f võib olla ekstreemum, kui A = 0.
(1; 2).
Näites 7
@z
@x
@z
@y
@2f @x@y (x0; y0) 2
>
= 2(x 1) = 0
, kust kriitiliseks punktiks tuleb punkt
= 2(y 2) = 0
@ 2 z
@x 2 = 2 @ 2 z
@y 2 = 2 @ 2 z
@x@y
= 0, kust A = 4 > 0.
Kuna @2 z
@x 2 = 2 > 0, siis on puntis (1; 2) miinimum.
2. Pinna puutujatasand ja normaal.
Vaatleme pinda z = f(x; y), kus (x; y) 2 D. Punktile P0(x0; y0) 2 D vastav
punkt pinnal olgu Q0(x0; y0; z0). Siis pinnal z = f(x; y) on olemas punktis
Q0 z-teljega mitteparalleelne puutujatasand parajsti siis, kui funktsioon on
diferentseeruv punktis P0 ja puutujatasandi võrrand on
fx(x0; y0)x + fy(x0; y0)y z + d = 0.
Arvu d leiame tingimusest, et punkt Q0(x0; y0; z0) kuulub puutujatasandile.
Punktis Q0(x0; y0; z0) puutujatasandiga ristiolevat vektorit ! n nimetatakse
pinna normaaliks punktis Q0.
6

Näide 10. Leida puutujatasand ja normaal pinnale z = xy + x + y
punktis Q0(1; 1; 3).
Leiame osatuletised
zx = y + 1; zy = x + 1; zx(1; 1) = 2; zy(1; 1) = 2
Seega puutujatasand punktis Q0
2x + 2y z + d = 0 =) 2 1 + 2 1 3 + d = 0 =) d = 1 =)
2x + 2y z 1 = 0
Normaal on siis ! n = (2; 2; 1).
1.2 Määratud integraal ja selle rakendusi
Määratud integraaliks nimetati
P
integraalsummade piirväärtust
f( i) xi
R b
a f(x)dx = lim xi!0
Newton-Leibnizi valem lubab määratut integraali arvutada määramata
integraali
R f(x)dx = F (x) + C
abil järgmiselt
R b
a f(x)dx = F (b) F (a) = F (x) jb a.
Määramata integraali arvutamiseks kasutame integraalide tabelit
1. R xadx = xa+1 + C (a 6= 1)
a+1
2. R dx = ln j x j +C
x
3. R sin xdx = cos x + C
4. R cos xdx = sin x + C
5. R
dx
cos2 = tan x + C
x
6. R
dx = cot x + C
sin2 x
7. R tan xdx = ln j cos x j +C
8. R cot xdx = ln j sin x j +C
9. R exdx = ex + C
7

10. R axdx = ax + C ln a
11. R dx
1+x2 = arctan x + C
12. R
p dx
1 x2 = arcsin x + C
ja integraali omadusi
I R [f(x) g(x)] dx = R R
f(x)dx g(x)dx
II R af(x)dx = a R f(x)dx
III R f(x)dx = F (x) + C ! R f(ax + b)dx = 1F
(ax + b) + C
a
Kehtib ka muutujate vahetuse valem e. asendusvõte
R f ['(x)] ' 0 (x)dx = R f(u)du, kus u = '(x)
ja ositi integreerimise
R
valem
R
udv = uv vdu.
Näide 11.
1. R (2x 3 3 sin x+5 p x)dx = 2 x3+1
2. R xdx
3. R 2
1
3( cos x)+5 3+1 x 1 2 +1
1
2
1+x2 = (u = 1 + x2 ; du = 2xdx; xdx = du
R
1 du ) = 2 2 u
= ln (1 + x 2 ) + C
dx
= (u = ln x; du =
ln 3 xdx
x
= 4p ln 4 2 = ln 2
4. R x ln xdx =
5,
R 3
4
1
2
x ) = R ln 2
ln 1 u3du = u4
4
u = ln x du = dx
x
dv = xdx v = x2
2
= x2 ln x
2
arcsin p x
p dx = 1 x u = arcsin p x du = 1 p 1
1 x 2 p x
dv = dx p v = 2 1 x p 1 x
= 2 p 1 x arcsin p x j 3 R 3
4 4 2
1 1
2 2
p 1 x
2 p 1 x p dx = x
= 2 1
2 arcsin p 3 + p2 arcsin 2 2 1
R 3
p 4 + pdx 1 =
2 x
2
= 3 + 2
4 p 2 + 2p2 j 3
4
Määratud integraali rakendusi.
1
2
= 12 3 p 2 4 + p 3 p 2
1 +C =
+1 2x4 +3 cos x+ 10
3 xpx+C ln u + C =
= 1
2
jln 2
0 = 1
4 ln4 2 =
R
xdx
2 = x2 ln x
2
=
x 2
4 +C
1. Tasapinnalise kujundi pindala.
Kui kõvertrapets (vaata joonist all) on piiratud ülalt ja alt vastavalt joontega
y = f(x) ja y = g(x) ning vasakult ja paremalt vastavalt sirgetega x = a
ja x = b, siis tema pindala saab leida valemist
[f(x) g(x)] dx
S = R b
a
8

Näide 12. Leida kõverate y = cos x ja y = cos 2x vahele lõigul [0; 2 ]
olev pindala.
Joonestame algul selle kujundi
Näeme, et lõigul [0; 2 ] kõverad y = cos x ja y = cos 2x lõikuvad punktides,
kus
cos 2x = cos x =) x = 0; 2 4 ; ; 2 3 3
Kuna kujund on sümmeetriline, piisab kui arvutame pinala lõigul [0; ]
ja korrutame selle kahega hR 2
3 S = 2 (cos x cos 2x)dx + 0 R i
2 (cos 2x cos x)dx =
h
3 i
1
= 2 (sin x = 3 2 p 3
sin 2x) 2
3
0 + ( 1
2 sin 2x sin x) 2
3
2. Joone kaare pikkus
Lõigul [a; b] pidevalt diferentseeruva funktsiooni y = f(x) kaare pikkus
arvutatakse valemist
s = R b
a
q
1 + [f 0 (x)] 2 dx
Näide 13. Kõvera y = sin x kaare pikkus lõigul [0; 2 ] on
s = R 2 p
1 + cos2 xdx 7: 64
0
3. Pöördpinna ruumala
Keha, mis tekib joontega y = f(x), x-teljega ja sirgetega x = a ja x = b
piiratud kõvertrapetsi (vt. joonis)
9

pöörlemisel ümber x-telje, ruumala on
V = R b
a [f(x)]2 dx
Kui sama kõvertrapets pöörleb ümber y-telje, on tekkinud keha ruumala
V = 2 R b
a xf(x)dx
Näide 14. Vaatleme kõvertrapetsit (sinusoidi), mis on piiratud joonega
y = sin x, x 2 [0; ] ja x-teljega.
Kui see kõvertrapets pöörleb ümber x-telje, on tekkinud pöördkega ruumala
V = R
0 sin2 xdx = 1
2
2 4: 93
10

Kui sama kõvertrapets pöörleb ümber y-telje, on tekkinud pöördkega ruumala
V = 2 R
0 x sin xdx = 2 2 19: 74
4. Pöördpinna pindala
Pöördkeha, mis tekib joontega y = f(x), x-teljega ja sirgetega x = a ja
x = b piiratud kõvertrapetsi pöörlemisel ümber x-telje, pindala on
S = 2 R b
a f(x)
q
1 + [f 0 (x)] 2 dx
Sama kõvertrapetsi pöörlemisel ümber y-telje tekkiva pöördkeha pindala
on
q
S = 2 R b
a x
1 + [f 0 (x)] 2 dx
Näide 15. Leiame eelmise näite kõvertrapetsi (sinusoidi) pöörlemisel
ümber x-telje tekkiva pöördkeha pindala
S = 2 R
= 2 R 1
1
p 1 + u 2 du = 2 1
2 ln p 2 + 1
0 sin xp 1 + cos 2 xdx = ju = cos x; du = sin xdxj =
1
2 ln p 2 1 + p 2 =
= 2 (ln( p 2 + 1) + p 2) 14: 42
Sama kõvertrapetsi (sinusoidi) pöörlemisel ümber y-telje tekkiva pöördkeha
pindala on
S = 2 R
0 xp 1 + cos 2 xdx 37: 70
1.3 Kahekordne integraal
Vaatleme xy-tasapinnal joonega L piiratud kinnist piirkonda D. Olgu
selles piirkonnas antud pidev funktsioon z = f(x; y). Jagame piirkonna D n
osapiirkonnaks, mida ja mille pindalad tähistame S1; S2; : : : ; Sn.
Võtame igas piirkonnas punkti Pi 2 Si. Siis summat
11

Vn = P n
i=1 f(Pi) Si
nimetame funktsiooni z = f(x; y) integraalsummaks. Kui piirkonna D
igas punktis f > 0, siis see summa kujutab xyz-ruumi kõversilindrite summat
Kui eksisteerib piirväärus
limmax Si!0 Vn,
mis ei sõltu piirkonna D osadeks jagamise viisist ega punktide Pi valikust
osapiirkonnas, siis seda nimetatakse funktsiooni z = f(x; y) kahekordseks
ZZ
ZZ
integraaliks ja tähiststakse
f(P )dS = f(x; y)dxdy.
D
Kui kahe muutuja funktsioonil z = f(x; y) on olemas kahekordne integraal,
nimetetakse funktsiooni f integreeruvaks. Seega
ZZ
f(x; y)dxdy = limmax Si!0
D
D
P n
i=1 f(Pi) Si.
On selge, et n ! 1 , max Si!0. Piirkonda D nimetatakse integreeruvuspiirkonnaks.
ZZ
Kui integreeruvuspiirkonnas f > 0 , siis f(x; y)dxdy võrdub keha ru-
umalaga, kus keha on piiratud pinnaga z = f(x; y), xy-tasandiga z = 0 ja
silindrilise pinnaga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja juhtjooneks
on piirkonna D rajajoon (vt. allpool olevat joonist)
12
D

Ketib järgmine
Teoreem 4. Kinnises piirkonnas pidev funktsioon on integreeruv selles
piirkonnas.
Kahekordsel integraalil on järgmised omadused.
1. Aditiivsus. Kui D = D1 [ D2, siis
ZZ
ZZ
ZZ
f(x; y)dxdy = f(x; y)dxdy + f(x; y)dxd
D
D1
2. Lineaarsus. Kui funktsioonid z = f(x; y) ja z = g(x; y) on integreeruvad,
siis ka funktsioon z = af(x; y)+bf(x; y) on integreeruv ja kehtib võrdus
ZZ
ZZ
ZZ
(af(x; y)+bg(x; y))dxdy = a f(x; y)dxdy+b g(x; y)dxdy:
D
Võttes b = 0 või a = 1 ja b = 1, saame võrdused
ZZ
ZZ
af(x; y)dxdy = a f(x; y)dxdy
D
D
D
ZZ
ZZ
(f(x; y) g(x; y))dxdy = f(x; y)dxdy
D
D
D2
ZZ
D
D
g(x; y)dxdy
3. Monotoonsus. Kui funktsioonid z = f(x; y) ja z = g(x; y) on integreeruvad
ja f(x; y) 6 g(x; y) iga (x; y) 2 D korral, siis
ZZ
ZZ
f(x; y)dxdy 6 g(x; y)dxdy
D
D
4. Absoluutne integreeruvus. Kui funktsioon z = f(x; y) ja on integreeruv,
siis ka funktsioon j z = f(x; y) j on integreeruv ja kehtib võrratus
ZZ
ZZ
j f(x; y)dxdy j6 j f(x; y) j dxdy
D
D
5. Keskväärtusteoreem. Kui funktsioon z = f(x; y) ja on integreeruv, siis
leidub selline arv
ZZ
2 [min f(x; y); max f(x; y)], et kehtib võrdus
f(x; y)dxdy = SD
D
Erijuhul, kui f on pidev piirkonnas D, siis leidub selline punkt (x0; y0) 2
D, et = f(x0; y0), s.t.
ZZ
f(x; y)dxdy = f(x0; y0)SD
D
13

1.4 Kaksikintegraal:
Olgu piirkond D joontrapets
mis on piiratud joontega y = ' 1(x); y = ' 2(x); x = a; x = b, kus ' 1(x)
' 2(x) , x 2 [a; b]. Sealjuures ' 1 ja ' 2 on lõigul [a; b] pidevad funktsioonid.
Siis integraali
ID = R b
a dx R '2 (x)
'1 (x) f(x; y)dy = R b
a
nimetatakse funktsiooni f kaksikintegraaliks.
R '2 (x)
f(x; y)dy dx
'1 (x)
See võrdus ütleb, et kaksikintegraali arvutamine toimub kahe määratud
integraali arvutamise teel. Sisemises integraalis
R '2 (x)
f(x; y)dy = (x)
'1 (x)
vaadeldakse muutujat x konstandina ja arvutataks see integraal kui x:i
funktsioon (x). Seejärel arvutatakse juba integraal
ID = R b
(x)dx.
a
Saadud arv ongi kaksikintegraali väärtuseks.
Näide 16. Arvutada kaksikintegraal
ID =
R 1
2
0
R 1+ p 2x x 2
1 p 2x x 2
xy
p 2 x dy dx:
Arvutame kõigepealt sisemise integraali
R 1+ p 2x x 2
1 p 2x x 2
xy
p 2 x dy:
Selles integraalis on integreerimismuutujaks y, kusjuures muutujat x vaatleme
konstandina
R p
1+ 2x x2 1 p 2x x 2
= x
2 p 2 x
h
p
xy
dy = 2 x x
R p
1+ 2x x2 p
2 x 1 p 2x x2 ydy = x p
y
2 x
2
2 j1+p 2x x2 1 p 2x x2= 1 + p 2
2x x2 1 p 2i
2x x2 =
= x
2 p 1 + 2 2 x p 2x x2 + 2x x2 1 2 p 2x x2 + 2x x2 =
= 2x
p p
p 2x x2 2x
p
= p x(2 x) = 2x x:
2 x
2 x
14

Seega
ID =
R 1
2
0 2xp R 1 3
2 xdx = 2 x 2 dx = 0 2x 5 2
5
2
j 1
2
0 = p 2
10
= 0:141
Kaksikintegraalis saab integreerimist teha ka teises järjekorrs: enne x ja
siis y järgi. Nimelt kui piirkond D on joontrapets, mis on piiratud joontega
x = 1(y); x = 2(y); y = c; y = d, kus 1 2 ja 1 ning 2 on lõigul [c; d]
pidevad funktsioonid,
siis kaksikintegraali saab arvutada kui kahte ühekordset integraali:
ID = R d
c dy R 2 (y)
1 (y) f(x; y)dx = R d
c
R
2 (y)
f(x; y)dx dy
1(y)
Siin loetakse sisemises integraalis y konstantseks ja leitakse see kui y
funktsioon (integreerimismuutuja on x)
(y) = R 2 (y)
f(x; y)dx:
1(y)
Nüüd
(y)dy:
ID = R d
c
Näide 17. Muuta integreerimise järjekorda kaksikintegraalis
R 1
0 dx R p x
f(x; y)dy:
x
Joontrapets on piiratud sirgega y = x ja parabooli haruga y = p x,
kusjuures x 2 [0; 1]
15

Nagu näeme jooniselt, võime joontrapetsit vaadelda ka kui kujundit, mis
on moodustatud joontega x = y ja x = y 2 , kus y 2 [0; 1]. Siis
R 1
0 dx R p x
f(x; y)dy = x R 1
0 dy R y2 f(x; y)dx
y
1.5 Kahekordse integraali arvutamine
Kahekordset integraali arvutatakse tegelikult kaksikintegraali abil. Nimelt
kehtib
Teoreem 5.
ZZ
D
(1)
või ZZ
D
f(x; y)dxdy = R b
a dx R '2 (x)
'1 (x) f(x; y)dy = R b
a
f(x; y)dxdy = R d
c dy R 2(y)
1 (y) f(x; y)dx = R d
c
R '2 (x)
f(x; y)dy dx.
'1 (x)
R 2(y)
f(x; y)dx dy (2)
1 (y)
sõltuvalt sellest, kas piirkond D on esitatav joontrapetsina, mis on piiratud
joontega y = ' 1(x); y = ' 2(x); x = a; x = b (valem (1)) või piirkond
D on joontrapets, mis on piiratud joontega x = 1(y); x = 2(y); y = c; y = d
(valem (2))
Näide 18. Arvutada kahekordne integraal
ZZ
(x2 + y2 )dy,
D
kus piirkond D on esitatud alloleval joonisel
Seega tuleb meil arvutada kaksikintegraal
R 1
0 dx R x2 0 (x2 + y2 )dy = R 1 R x2 0 0 (x2 + y2 )dy dx:
Arvutame kõigepealt sisemise integraali (lugedes x = Const)
16

(x) = R x2 0 (x2 +y 2 )dy = x2y + y3
3
x2 = x
0
2x2 + (x2 ) 3
3
Integreerides nüüd funktsiooni (x) rajades 0 kuni 1, saame
R 1
0
x4 + x6 dx = 3 x5 x7 + 5 3 7
Näide19. Arvutada integraal
ZZ
(1 + x + y)dxdy,
D
1
0
= 1 1 + 5 21
= 26
105
0:25.
kus piirkond D on piiratud joontega y = x; x = p y; y = 2; z = 0:
Kasutame arvutamiseks valemit (2).
ZZ
(1+x+y)dxdy = R 2
0
D
= R 2
0
= 2yp y
3
hR p
x
(1 + x + y)dx
y
h
py y
+ 2 + ypy ( y + y2
2
3y2
+ 4 + 2y2py 5
Näide20. Arvutada integraal
ZZ
D
e y
x dxdy,
y3
+ 6
2
0
= 44
15
i
dy = R 2
0
y2 i
) dy = R 2
0
p 2 + 13 17: 15
= x4 + x6
3 .
x2 x + + xy 2
p y
y
dy =
p 3y
y + 2 + ypy + y2
2
kus piirkonnaks D on kolmnurk, mis on piiratud sirgetega y = x; y = 0
ja x = 1
17
dy =

Asendame kahekordse integraali kaksikintegraaliga, kasutades selleks valemit
(1). Kui kasutaksime valemit (2), siis tuleks integreerida funktsiooni e y
x muu-
tuja x järgi: selline integraal aga ei avaldu elementaarfunktsioonides.
ZZ
e y
x dxdy = R 1 R x y
e x dy dx = 0 0 R 1 y x
xe x
0 0 dx = R 1
x (e 1) dx =
0
D
= (e 1) x2
2 j10= e 1
2
0; 859
Piirkond D võib olla ka mitme joontrapetsi summa. Siis kasutame kahekordse
integraali aditiivsust.
Näide 21. Arvutada kahekordne integraal
ZZ
ex+ydxdy, D
kus piirkonda piiravad kahe tsentrilise ruudu küljed, kusjuure nende ruutude
keskpunktid on koordinaatide alguses, küljed on paralleelsed koordinaattelgedega
ja seesmise ruudu külg on 2 ning välimise ruudu külg on 4.
Jagame nüüd piirkonna D neljaks piirkonnaks D1; D2; D3 ja D4. Siis
ZZ
ex+y ZZ
dxdy = ex+y ZZ
dxdy + ex+y ZZ
dxdy + ex+ydxdy+ D
D1
18
D2
D3

ZZ
+
D4
+ R 1
1
e x+y dxdy = R 1
2
R 1
2 ex+ydy dx+ R 2
1
R 2
2 ex+y dy dx + R 1
1
R 2
1 ex+y dy dx+
R 2
2 ex+y dy dx = R 1
2 (ex+2 e x 2 )dx+
+ R 1
1 (ex+2 e x+1 ) dx+ R 1
1 (ex 1 e x 2 ) dx+ R 2
1 (ex+2 e x 2 ) dx =
= (e 1 e 3 + e 4 )+(e 3 e 2 e + 1)+(1 e 1 e 2 + e 3 ) +
+ (e 4 1 e 3 + e 1 ) = e 4 e 2 e 2 + e 4 47: 09
1.6 Pindala ja ruumala arvutamine kahekordse integraali abil
1.6.1 Ruumala. Kahekordse integraali de…nitsioonist nägime, et kui
integreeruvuspiirkonnas D funktsioon f > 0 , siis kahekordne üle piirkonna
D võrdub keha ruumalaga, mis on piiratud pinnaga z = f(x; y), xy-tasandiga
(z = 0) ja silindrilise pinnaga, mille moodustajad on paralleelsed z-teljega ja
juhtjooneks on piirkonna D rajajoon:
ZZ
V = f(x; y)dxdy
D
Näide 22. Arvutada keha, mida piiravad pinnad x = 0; y = 0; x + y +
z 1 = 0; z = 0 , ruumala
ZZ
V = (1 x y)dxdy = R h
1 R 1
0 0
x
(1 x
i
y) dy dx =
D
= R h
1
(1 x) y
0
= 1
R 1
2
y 2
2
i 1 x
0 (1 x)2 dx = 1
2
0
dx = R h
1
(1 x) 0
1 (1 x)
1
3
3
j 1 0= 0 + 1
6
2 (1 x)2
2
= 1
6
i
dx =
0:167
Kui keha, mille ruumala otsitakse, on piiratud pindadega 1(x; y) ja
2(x; y), kusjuures 2(x; y) 1 1(x; y) ja mõlema projektsiooniks xy-tasandil
on piirkond D (vaata näiteks allpool olevat joonist)
19

siis
ZZ
V =
D
( 2(x; y) 1(x; y)) dxdy
1.6.2 Tasandilise piirkonna pindala. Ilmselt
ZZ
S = dxdy
D
Kui piirkonnaks D on joontrapets, siis saame selle joontrapetsi pindla
arvutada kaksikintegraalist
S = R b
a dx R '2 (x)
f(x; y)dy
'1 (x)
või
S = R d
f(x; y)dx
c dy R 2(y)
1 (y)
Näide 23. Arvutada joontega y = 2 x2 pindala
ja y = x piiratud kujundi
Leiame kõigepealt nende joonte lõikepunktid
y = 2 x2 y = x
, millest saame asendusvõttega
x2 + x 2 = 0, =) x1 = 2; x2 = 1
ja
S = R 1
2
= 2x x 3
3
R 2 x 2
x dy dx = R 1
x 2
2
1
2
= 9
2
2 (2 x2 x) dx =
= 4: 5
1.6.3 Ruumilise kujundi pindala. Kui pinna z = f(x; y) projektsioon
xy-tasandil on D, kusjuures funktsioon f koos oma osatuletistega on pidev
selles piirkonnas D, siis selle pinnatüki pindala S avaldub valemiga
ZZ r
S =
D
1 + @z
@x
2 + @z
@y
20
2
dxdy:

Kui pinna võrrand on y = f(x; z) ja pinna projektsioon xz-tasandil on
D, siis
ZZ
S =
2
dxdz:
D
q
1 + @y
@x
2 + @y
@z
Kui pinna võrrand on x = f(y; z) ja pinna projektsioon yz-tasandil on
D, siis
ZZ r
S =
2
D
1 + @x
@y
+ @x
@z
2 dydz:
Näide 24. Leida silindri x 2 + y 2 = a 2 pinna selle osa pindala, mille
lõikab välja silinder x 2 + z 2 = a 2 :
Ülaloleval joonisel on kujutataud 1
8
on y = p a 2 x 2 , seetõttu
ja
@y
@x
= x
p a 2 x 2 ; @y
@z
q
1 + @y
@x
= 0
2 + @y
@z
2 =
vaadeldavast pindalast. Pinna võrrand
r
1 +
x
p a 2 x 2
2
=
q
1 + x2
a 2 x 2 = a
p a 2 x 2
Integreerimispiirkond kujutab endast veerandringi, s.t. z = p a2 x2 kus x 2 [0; a]. Järelikult
,
S = 8 R a
0 (R p a2 x2 0
= 8a R a
0 dx = 8ax ja 0= 8a 2 :
Näiteks kui a = 2, siis S = 32:
p a
a2 x2 dz)dx = 8 a R a
0
z
p a 2 x 2
1.7 Kahekordne integraal polaarkoordinaatides.
21
p a 2 x 2
0
dx =

Kui piirkond D on ring või selle osa, siis kahekordset integraali on lihtsam
arvutada polaarkoordinaatides kui ristkoordinaatides. Samuti on teatud
joonte esitus lihtne polaarkoordinaatides, samas kui see ristkoordinaatides on
üpris keeruline.
Tuletame meelde polaarkoordinaadistiku mõistet. Valime tasapinnal mingi
punkti O, mida nimetatakse pooluseks ja sellest punktist väljuva kiire, mida
nimetame polaarteljeks p. Punkti M asukohta tasapinnal saab määrata
kahe arvuga: polaarkaugusega , mis väljendab punkti M kaugust poolusest
O ja polaarnurgaga ', mis näitab polaartelje ja lõigu OM vahelist nurka
(' = ( ! p ; !
OM)). Nurga ' mõõtmisel loetakse positiivseks suunaks kellaosuti
liikumisele vastupidist suunda. Arve ja ' nimetatkse punkti M polaarkoordinaatideks.
Seega polaarkoordinaadistikus M( ; ').
Tuletame meelde seoseid polaar- ja ristkoordinaatide vahel. Paneme
riskoordinaadistiku alguse poolusesse ja ühtigu x-tleje positiivne suund polaarteljega
Siis
x = cos ' = p x 2 + y 2
y = sin ' tan ' = y
x
Näiteks Ringjoone keskpunktiga pooluses ja raadiusega a võrrand polaarkoordinaadistikus
on = a (riskoordinaadistikus on see x 2 + y 2 = a 2 ).
Joon = a' (a=const) kujutab nn Archimedese spiraali
22

Nn neljalehelise roosi võrrand polaarkoordinaatides on = a p sin 2' p
Olgu nüüd joontrapets D antud polaarkoordinaatides vörranditega =
1('); = 2('); ' = ; ' = ; kus 1(') 2(') kui ' 2 ;
Siis ZZ
D
ZZ
f(x; y)dxdy =
D
f( cos '; sin ') d d' = R R 2 (')
Kui piirkond D on antud võrratustega a b ja ' 1( ) ' 2( ),
23
1
(') f( cos '; sin ') d d'

siis ZZ
ZZ
f(x; y)dxdy =
D
Näide 25. Arvutada kahekordne integraal
ZZ
p
3 x2 + y2dxdy, D
D
f( cos '; sin ') d d' = R b
a
kus integreerimispiirkond D on antud võrratustega 0 y 1 ja p 1 y 2
x p 1 y 2 , s.o. pool ringi
Kuna integreerimispiirkond on ringi osa, siis arvutame kahekordse integraali
polaarkoordinaatides. p p Siis integreeritav funktsioon
3 x2 + y2 = 2 cos2 ' + 2 2 sin ' =
q 2 cos 2 ' + sin 2 ' = 2
= 3
3 ; ' 2 [0; ]
ja kuna antud ringjoone võrrand polaarkoordinaatides on = 1, siis
0 1 ja
ZZ
R 2
D
= R
p R
3 x2 + y2dxdy = 0
0
8
3
8
3
1
0
d' = 3
R
8 0
R 1
0
d' = 3
8
Näide 26.
R
Arvutada Poissoni integraal
1 x2 e dx.
1
Arvutame esmalt kahekordse integraali
ZZ
IR = e x2 y2 dxdy,
D
2
3 d d' = R
1: 178
0
R 1
0
R '2 ( )
f( cos '; sin ') d' d
'1 ( )
5
3 d d' =
kus integreerimispiirkonnaks on ring, mille rajajoone võrrand on x 2 +y 2 =
24

Kuna integreerimispiirkonnaks on ring, siis on sobiv kasutada polaarkoordinaate
ZZ
IR =
= R 2
0
D
R R
e x2 y2 dxdy = R 2
0
0 e
R 2
0 e
2
d d' = R 2
R R
0 e
0 [ 1
2
R 2
0
R R
0 e
2 (cos 2 '+sin 2 ') d d' =
2
( 2 )d ]d' =
= 1
2
j 2
R 0 d' = 1 R2 (e e 2
0 )d' =
= 1 R2 (e 1) 2 R 2
R2
d' = (1 e ):
0
Kui laseme raadiusel nüüd lõpmatult kasvada, siis saame nn. päratu kak-
sikintegraali R 2
0
R 1
0 e
2
R 2
d d' = limR !1 0
= limR !1 (1 e R2
Saab näidata, et
) = .
Seega
= R 2
0
R 1
0 e
2
R R
0 e
d d' = R 1 x2 e dx 1 2
.
2
d d' =
R 1 x2 e dx = 1 p .
See integraal, Poissoni integraal, esineb sageli tõenäosuusteoorias ja matemaatilises
ststistikas, sest nn. Gaussi kõver esitatakse selle integraali abil.
Poissoni integraali vahetu arvutamine määramata integraali abil ei ole
võimalik, sest funktsioon e x2 ei avaldu elementaarfunktsioonides: ei ole olemas
ühtegi elementaarfunktsiooni, mille tuletis oleks e x2.
Näide 27. Arvutada sfääriga x 2 +y 2 +z 2 = 2 2 ja silindriga x 2 +y 2 2y = 0
piiratud keha ruumala (vt. näiteks allpool olevat joonist)
25

Siin võime integreerimispiirkonnaks võtta silindri x2 + y2 2y = 0 põhja,
milleks on ring keskpunktiga (0; 1) ja raadiusega R = 1, sest selle võrrandi
saame täisruuduks teisendamisega esitada kujul x2 + (y 1) 2 = 12 Selle ringjoone saame esitada polaarkoordinaatides
.
( cos ') 2 + ( sin ') 2
2 sin ' = 0 =) = 2 sin ', kus ' 2 0; 2 .
Kuna integreeritav funktsioon on
z = p 4 x 2 y 2 =) z =
siis 1
4 ruumalast
1
4 V = R 2
0
= 1
R
2
2 0
= 8
R
2
3
= 8
3
+ 8
3
= 4
3
"
q
4 ( cos ') 2 + ( sin ') 2 = p 4 2 ,
R 2 sin ' p R R
4 2 2 sin '
2
1
d d' = 0
0 0 2
#
3 2 sin '
2 2
(4 )
3 d' =
2
0
1
R h
2 4 4 sin 3 0
2 ' 3
2 4 3
2
R
2
3 0 d' R 2
0 cos2 ' cos 'd' =
R
2 1 sin 0 2 ' cos 'd' = 4
R
8 2
3 3 0
0 (1 cos3 ') d' = 8
' j 2
0
R
2
0 sin2 ' cos 'd' = 4
V = 16
9
8 8 1 4 + = 3 3 3 3
(3 4) 9: 64
8
3 3
16 4 = 9 9
2 sin ' j
(3 4)
0 + 8
3
1.8 Kahekordse integraali füüsikalisi rakendusi
sin 3 '
3
j 2
0 =
p 4 2 ( 2 )d d' =
cos 'd'+
i
d' =
1.8.1 Aine mass. Olgu piirkonnas D antud mingi aine pindtihedus
pideva funktsioonina
ZZ
= (x; y). Siis piirkonnas D leiduva aine mass
m = (x; y)dxdy
D
26

Näide 28. Määrata ümmarguse plaadi mass, kui plaadi raadius on 4 ja
aine pindtihedus plaadi igas punktis on võrne selle punkti kaugusega ringi
keskpunktist. Seega
(x; y) = p x 2 + y 2 .
Jälle on kasulik kasutada polaarkoordinaate, sest integreerimispiirkond
on ring
D : x 2 + y 2 8 2 =) 2 [0; 4] ; ' 2 [0; 2 ] ;
(x; y) = p x 2 + y 2 = p 2 cos 2 ' + 2 sin 2 ' = .
ja
ZZ
m =
= R 2
0
D
ZZ
(x; y)dxdy = m =
3
3 j40 d' = 64
3
R 2
0
D
d' = 128
3
p x 2 + y 2 dxdy = R 2
0
134: 04
R 4
0 d d'
1.8.2 Tasandilise kujundi inertsmoment. Masspunkti P inertsmomendiks
mingi punkti Osuhrts nimetatakse punkti P massi m ja kauguse
r = OP ruudu korrutist, s.t.
I = mr2 Tasandilise kujundi D inertsmoment koordinaatide alguse O suhtes, eeldusel
et kujundi pindtihedus võrdub kõijal ühega, avaldub valemiga
ZZ
IO = (x2 + y2 ) dxdy (3)
D
Tasandilise kujundi D inertsmomendid vastavalt x- ja y-telje suhtes avalduvad
aga valemiga
ZZ
y2dxdy Ixx =
Iyy =
D
ZZ
D
D
x 2 dxdy
Näide 29. Arvutada ringi D inertsmoment keskpunkti O suhtes, kui
ringi raadius on R. Minnes üle polaarkoordinaatidele, saame
ZZ
IO = (x2 + y2 ) dxdy = R 2 R R 2 d d' = 0 0
R 2
0
4
4 jR 0
d' =
= R4
4
R 2
0
d' = R4
2
27

Kui pinddtihedus ei võrdu ühega, vaid on mingi funktsioon = (x; y),
siis tasandilise kujundi D inertsmoment koordinaatide alguse O suhtes on
ZZ
IO = (x; y) (x2 + y2 ) dxdy
D
Samuti saab siis leida inertsmomendid koordinaattelgede suhtes.
Näide 30. Arvutada joontega y 2 = 1 x; x = 0 ja y = 0 piiratud
tasandilise kujundi inertsmoment y-telje suhtes, kui pindtihedus igas punktis
võrdub selle punkti ordinaadiga y
Iyy =
ZZ
yx 2 dxdy = R 1
0
D
= 1
R 1
2 0 x2 (1 x) dx = 1
24
R p 1 x
yx 0 2dy dx = R 1 x
0
2y2 j 2 p 1 x
0 dx =
0; 042
1.8.3 Tasandilise kujundi masskese. Kui tasandilise kujundi D pindtihedus
on mingi funktsioon = (x; y), siis tasandilise kujundi D masskeskme
(xc; yc)koordinaadid saab arvutada valemitest
ZZ
ZZ
Avaldisi
xc =
My =
D
ZZ
D
ZZ
D
(x;y)xdxdy
(x;y)dxdy
yc =
D
ZZ
D
(x;y)ydxdy
(x;y)dxdy
ZZ
(x; y)xdxdy ja Mx =
D
(x; y)ydxdy
nimetatakse tasandilise kujundi staatilisteks momentideks vastavalt y-
ZZ
ja x-telje suhtes. Meenutame, et integraal m = (x; y)dxdy väljendas
vaadeldava kujundi massi.
28
D

Näide 31. Leida ellipsi
x2 a2 + y2
b2 = 1
I veerandi masskeskme koordinaadid eeldusel, et pindtihedus on kõikides
punktides 1.
xc =
= b
xc =
ZZ
D
ZZ
p D
1
(a2 x2 3
) a 3
1
4 ab
ZZ
D
ZZ
D
(x;y)xdxdy
(x;y)dxdy
=
j a 0= 4a
3
(x;y)ydxdy
(x;y)dxdy
=
R a
0
R a
0
R a
0
p
R b
a
a2 x2 0 xdy dx
p
R b
a
a2 x2 0 dy dx
p
R b
a
a2 x2 0 ydy dx
1
4 ab
= b
a
= 4b
3
Siin me lähtusime teadmisest, et ellipsi pindala on ab.
1.9 Kolmekordne integraal.
R a p
0 a2 x2xdx 1
4 ab
Olgu nüüd xyz-ruumis R 3 antud mingi kinnise pinnaga piiratud piirkond
V: Olgu piirkonnas V de…neeritud pidev kolme muutuja funktsioon u =
f(x; y; z).
Näiteks võime oletada, et f(x; y; z) > 0 korral esitab see funktsioon
mingi aine jaotustihedust piirkonnas V .
Sarnaselt kahekordse integraaliga, jaotame piirkonna V mingil viisil osapiirkondadeks
Vi ja valime igas osapiirkonnas punkti Pi 2 Vi. Moodustame
integraalsumma
29
=

P n
i=1 f(Pi) Vi
ja suurendame osapiirkondade Vi arvu piiramatult nii, et Vi suurim
läbimõõt läheneks nullille. Siis kolmekordseks integraaliks piirkonnas V nimetatakse
piirväärtust
ZZZ ZZZ
f(p)dV = f(x; y; z)dxdydz = limmax Vi!0
V
V
P n
i=1 f(Pi) Vi,
(4)
kui see eksisteerib. Kui kolme muutuja funktsioonil z = f(x; y; z) on olemas
kolmekordne integraal, nimetetakse funktsiooni f integreeruvaks. Kehtib
Teoreem 6. Kinnises piirkonnas V pidev funktsioon on integreeruv selles
piirkonnas.
Kui u = f(x; y; z) esitab aine ruumitihedust piirkonnas V , siis integraal
(4) annab kogu ainehulga selles ruumiosas.
Kui integreerimispiirkond V on alt piiratud pinnaga z = 1(x; y) ja ülalt
pinnaga z = 2(x; y), kusjuures nendel pindadel on z-teljega paralleelsete
sirgetega ainult üks ühine punkt ja kui piirkonna V projektsioon xy-tasandil
rahuldab tingimusi y 2 [' 1(x); ' 2(x)] kui x 2 [a; b] (selline piirkond on esitatud
alloleval joonisel)
siis integraali
IV = R b
a dx R ' 2 (x)
' 1 (x) dy R 2 (x;y)
1 (x;y) f(x; y; z)dz = R b
a
nimetatakse kolmikintegraaliks üle piirkonna V .
n R '2 (x)
' 1 (x)
Näide 32. Arvutada funktsiooni u = xyz kolmikintegraal üle piirkonna
V , mida piiravad tasandid x = 0; y = 0; z = 0; x + y + z = 1.
30
hR i o
2 (x;y)
f(x; y; z)dz dy dx
1 (x;y)

See piirkond on piiratud alt tasandiga z = 0 (xy-tasand) ja ülalt tasandiga
z = 1 x y ning ta projektsioon xy-tasandil on piirkond D (vaata allpool
olevat joonist)
Seega
IV = R 1
= R 1
0
nR 1
h
x R 1 x y
0
hR 1
0
0
x xy(1
0
x y) 2
dy 2
i o
xyzdz dy dx = R 1
0
i
dx = R 1
0
R 1 x
0
h xyz 2
2
i 1 x y
x(1 x) 4
dx = 24
1 1: 39 10 720 3
Kolmekordsel integraalil on analoogilised omadused kahekordse integraaliga.
Kehtib ka analoogiline teoreem kolmekordse integraali arvutamiseks kolmikintegraali
abil
Teoreem 7.
ZZZ
V
f(x; y; z)dxdydz = R b
a
n R '2 (x)
' 1 (x)
hR i o
2 (x;y)
f(x; y; z)dz dy dx
1 (x;y)
Analoogiliselt kaksikintegraali juhuga, kui seda võimaldab piirkonna V
kuju, saab koostada kolmikintegraali teistsuguse integreerimismuutujate järjekorraga
ja teiste rajadega.
Näide 33. Esitada kolmekordne integraal
ZZZ
f(x; y; z)dxdydz
V
kolmikintegraali abil, kui integreerimispiirkond V on määratud võrratustega
x 2 + y 2 + z 2 8 ja x 2 + y 2 2z.
31
0
dy dx =

Nagu jooniselt näeme, on V piiratud alt paraboloidiga x 2 + y 2 = 2z
ja ülalt sfääriga x 2 + y 2 + z 2 = 8. Integreerimispiirkond xy-tasandil on
piiratud paraboloidi ja sfääri lõikejoone projektsiooniga, milleks on ringjoon
x 2 + y 2 = R 2 . Ringjoone raadiuse leiame võrrandisüsteemist
x 2 + y 2 + z 2 = 8
x 2 + y 2 = 2z
=) z 2 + 2z 8 = 0 =) z = 2 või z = 4
(ei sobi)
Seega x 2 + y 2 = 2 2, ehk ringjoone võrrand on x 2 + y 2 = 4 (R = 2).
Seega
ZZZ
V
f(x; y; z)dxdydz = R 2
2
Väga õpetlik on järgmine
Näide 34. Esitada kolmekordne integraal
ZZZ
f(x; y; z)dxdydz
V
R p 4 x 2
p 4 x 2
R p 8 x 2 y 2
x 2 +y 2
2
f(x; y; z)dz dy dx
kolmikintegraali abil kõigi võimalike integreerimisjärjekordade jaoks, kui
integreerimispiirkond V on piiratud pindadega x = 0; y = 0; z = 0; x 2 + y 2 +
z 2 = 4R 2 ja x 2 + y 2 = R 2 .
32

Integreerimispiirkond V on siin koordinaadistiku I oktandis väljaspool
silindrit x2 + y2 = R2 ja seespool sfääri x2 + y2 + z2 = 4R2 .
1) Kui valime integreerimisjärjekorraks R dx R dy R h
f(x; y; z)dz, siis z 2
0; p 4R2 x2 y2 i
, xy-tasandi piirkond on ringjoonest x2 +y2 = R2 ringjoo-
neni x 2 + y 2 = 4R 2 (z = 0) s.t. y 2 p R 2 x 2 ; p 4R 2 x 2 kui x 2 [0; R].
Seega
ZZZ
V
f(x; y; z)dxdydz = R R
0 dx R p 4R2 x2 p
R2 x2 dy R p 4R2 x2 y2 f(x; y; z)dz
0
2) Valime integreerimisjärjekorraks R dy R dx R f(x; y; z)dz, siis muutub
z samades rajades kui eelmises osas, xz-tasandi piirkond tuleb aga jagada
kaheks osaks sirgega y = R.
Siis ZZZ
V
f(x; y; z)dxdydz = R R
0 dy R p 4R2 y2 p
R2 y2 dy R p 4R2 x2 y2 f(x; y; z)dz+
0
33

+ R 2R
R dy R p 4R2 y2 dy 0 R p 4R2 x2 y2 f(x; y; z)dz:
0
3) Valime integreerimisjärjekorraks R dx R dz R f(x; y; z)dy. Siis peab integreerimispiirkonna
V jagama tasandiga x = R kaheks osaks
Osapiirkonnas I muutub y xz-tasandist kuni sfäärini, s.t, y 2 0; p 4R 2 x 2 z 2 ,
samas kui xz-tasandil z 2 0; p 4R 2 x 2 (y = 0) kui x 2 [R; 2R].
Osapiirkonnas II muutub y silindrist sfäärini, s.t. y 2 p R 2 x 2 ; p 4R 2 x 2 z 2 ,
samas kui xz-tasandil z 2 0; p 3R (y = 0; x = R; R 2 + 0 + z 2 = 4R 2 ) kui
x 2 [0; R].
Seega
ZZZ
V
f(x; y; z)dxdydz = R R
0 dx R p 3R
0 dz R p 4R 2 x 2 z 2
p R 2 x 2 f(x; y; z)dy+
+ R 2R
R dx R p 4R2 x2 dz 0 R p 4R2 x2 z2 f(x; y; z)dy:
0
4) Valides integreerimisjärjekorraks R dz R dx R f(x; y; z)dy saame ülaloleva
joonise põhjal
34

ZZZ
f(x; y; z)dxdydz = R p 3R
0
V
+ R p 3R
dz 0 R p 4R2 z2 dx R R p 4R2 x2 z2 0
dz R R
0 dx R p 4R 2 x 2 z 2
p R 2 x 2 f(x; y; z)dy+
f(x; y; z)dy:
5) ja 6) Valides integreerimisjärjekorraks R dy R dz R f(x; y; z)dx ja R dz R dy R f(x; y; z)dx
jagame analoogiliselt juhtudega 3) ja 4) integreerimispiirkonna V tasapinnaga
y = R kaheks osaks
ZZZ
V
+ R 2R
ZZZ
f(x; y; z)dxdydz = R R
0 dy R p 3R
0 dz R p 4R 2 y 2 z 2
p R 2 y 2 f(x; y; z)dx+
R dy R p 4R2 y2 dz 0 R p 4R2 y2 z2 0
V
f(x; y; z)dxdydz = R p 3R
0
+ R p 3R
dz 0 R p 4R2 z2 dy R R p 4R2 y2 z2 0
f(x; y; z)dx;
dz R R
0 dy R p 4R2 y2 z2 p f(x; y; z)dx+
R2 y2 f(x; y; z)dx:
Kui intergreerimispiirkond V on silinder, on kasulik kolmekordses integraalis
üle minna silinderkoordinaatidele x =
ZZZ
ZZZ
cos '; y = sin '; z = z
f(x; y; z)dxdydz = f( cos '; sin '; z) d d'dz
V
Näide 35. Leida piirkonna ruumala, kui ta on piiratud silidriga x 2 +y 2 =
1 ja tasanditega x = 0; z = 2 ja x + z 4 = 0
35
V

ZZZ
V =
= R 2
=
2
V
d' R 1
dxdydz = R 2
2
d' R 1
0 (2 cos ') d = R 2
0 d R 4 cos '
2
1
2 1 1 ( 1) = 2 1 5: 28
2
2
dz = R 2
2
d' R 1
0 (4 cos ' 2) d =
1 2 2 cos ' d' = 2' 1
2 sin ' 2
2
Kui integreerimispiirkond on sfäär või selle osa, aitab üleminek sfäärikoordinaatidele
x = r cos ' sin
ZZZ
; y = r sin ' sin
ZZZ
; z = r cos
f(x; y; z)dxdydz = f(r cos ' sin ; r sin ' sin ; r cos )r2 sin drd'd
V
Näide 36. Üleminekuga sfäärikoordinaatidele leida integraal
ZZZ
xzdxdydz;
V
kus piirkond V on piiratud sfääriga x 2 + y 2 + z 2 = 1 ja tasanditega
x = 0; y = 0 ja z = 0:
36
V
=

0; 067
ZZZ
ZZZ
xzdxdydz = r cos ' sin r cos r2 sin drd'd =
V
= R 2
0 cos 'd' R 1
V
0 r4dr R 2
0 sin2 r cos d = R 2
0 r4 sin dr 3
3
= 1
R
2
3 0 cos 'd' R 1
0 r4dr = 1
R
2
1
2
cos 'd' = sin ' j 15 0 15 0 = 1
15
0 cos 'd' R 1
Kolmekordse integraali rakendusi
1) Kolmekordne integraal sobib hästi keha ruumala arvutamiseks. Nimelt
kui võtame integreeritava funktsiooni f(x; y; z) = 1, siis kolmekordne integraal
üle piirkonna V väljendab piirkonna V ruumala:
ZZZ
V = dxdydz:
V
Näide 37. Leida pindadega x = 0; x = 1; y = x 2 ; y = 1; z = 0 ja z = 1 x
piiratud keha ruumala
37
2
0
=

ZZZ
V =
E
dxdydz = R 1
0 dx R 1
x2 dy R 1 x
0
= R 1
0 (1 x) (1 x2 ) dx = (1 x x2 + x3 ) 1
0
dz = R 1
0 dx R 1
x 2 (1 x) dy =
2) Kui keha jaotustihedus piirkonnas V on antud funktsiooniga f(x; y; z) >
0, siis keha mass avaldub valemiga
ZZZ
m = f(x; y; z)dxdydz (5)
V
3) Kui keha jaotustihedus piirkonnas V on antud funktsiooniga f(x; y; z) >
0, siis keha masskeskme C(xC; yC; zC) koordinaadid saab arvutada valemitest
ZZZ
xf(x; y; z)dxdydz
xC = 1
m
yC = 1
m
zC = 1
m
V
ZZZ
V
ZZZ
V
yf(x; y; z)dxdydz
zf(x; y; z)dxdydz;
kus mass m arvutatakse valemist (5).
Näide 38. On antud kera raadiusega R ja keskpunktiga koordinaatide
alguses. Määrata ülemise poolkera masskeskme koordinaadid, kui tihedus on
konstantne, s.t. f(x; y; z) = 0.
Ülemine poolkera on piiratud pindadega z = p R2 x2 y2 tema masskeskme koordinaadid on (0; 0; zC), kus
ZZZ
ja z = 0 ja
zC = 1
m
V
z 0dxdydz:
Minne üle sfäärikoordinaatidele
ZZZ
zC =
=
R 4
4
V
ZZZ
V
R
2
0 cos sin
R 3
3
R 2
0 sin
0 zdxdydz
0 dxdydz
= 04 R 2
0
R 2
0 d' d
R 2
0 d' d
38
0 4 R 2
0
= 1
R 2
0 [ R R
0 r cos r2 sin dr]d' d
= R4 R
2
4 2 0
R 2
0 [ R R
0 r2 sin dr]d' d
1
sin 2 d
2
R 3
3 2 ( cos ) 2 0
=
=

= R
4
1
4 ( cos 2 ) 2 0
1
3
= R 1
4 4 2
1
3
= 3R
8
Seega masskeskme koordinaadid on 0; 0; 3R
8 .
4) Keha inertsmomendid Ixy; Iyz ja Ixz vastavalt xy-, yz- ja xz-tasandi
suhtes leitaks valemitest ZZZ
z2f(x; y; z)dxdydz
Ixy =
Iyz =
Ixz =
V
ZZZ
V
ZZZ
V
x 2 f(x; y; z)dxdydz
y 2 f(x; y; z)dxdydz
Keha V inertsmomendid Ix; Iy
leitakse valemitest
ja Iz vastavalt x-, y- ja z-telje suhtes
Ix = Ixy + Ixz; Iy = Ixy + Iyz; Iz = Iyz + Ixz:
Keha V inertsmoment Il mingi telje l suhtes leitakse integraalist
ZZZ
Il = r2f(x; y; z)dxdydz;
V
kus r on punkti (x; y; z) kaugus teljest l.
Keha inertsmoment koordinaatide alguse O suhtes määratakse valemiga
IO = Ixy + Ixz + Iyz
Näide 39. Pöördsilindri kõrgus on 2h ja raadius R. Arvutada silindri inertsmoment
tema kesklõike diameetri suhtes, kui aine tihedus on konstantne,
s. t f(x; y; z) = 0.
Valime koordinaadistiku nii, et koordinaatide alguseks on silindri sümmetriakeskpunkt,
z-teljeks on aga silindri telg
39

Siis tuleb arvutada silindri inertsmoment x-telje suhtes
ZZZ
Ix = Ixy + Ixz = (y2 + z2 ) 0dxdydz:
Minne üle silinderkoordinaatidele
R n saame
2 R h
R R h
Ix = 0 0 0
n
2h2 R = 0 3
2 2hR4 + sin 2 4 2 o
'
R 2
0
= 0( 2h2R2 2hR4 2 + 6 4
V
h z2 + 2 sin 2 ' dz
R 2
0
i
d
d' = 0( 2h2R2 2hR4 2 + 6 4
1 cos 2'
d') = 2 0[ 2h2R2 6
= 0( 2h2R2 2hR4
2 2h2 R2
2 + ) = 6 4 0 hR + 3 2
40
n R R
0
o R 2
d' = 0 0
R 2
sin 0 2 'd') =
2 + 2hR4
4
:
'
sin 2'
2
2
h
2h2 3 + 2h 2 sin2 i
'
2
0
] =
d