Priblizné a numerické metody 1 1 Parabolické rovnice v jedné ...

Budeme předpokládat, že θ ∈ [0, 1]. Pro θ = 0 získáváme explicitní schéma (6) a pro
θ = 1 plně implicitní schéma (17). Pro libovolné θ ∈ (0, 1] je k určení hodnot přibližného
řešení v čase t n+1 nutno vyřešit tridiagonální soustavu lineárních rovnic
−θ µ U n+1
j−1
+ (1 + 2 θ µ) Un+1 j − θ µ U n+1
j+1 = [1 + (1 − θ) µ δ2 x ] Un j
, j = 1, 2, . . ., J − 1 .
Koeficienty splňují nerovnosti (18), a můžeme tedy použít Thomasův algoritmus.
Stabilitu vyšetříme opět pomocí Fourierovy metody. Dosazením Uj
n = e i k j h λ n do
(30) získáme
k h
1 − 4 (1 − θ) µ sin2
2
λ = .
1 + 4 θ µ sin 2 k h
2
Zřejmě λ < 1. Nestabilita se může objevit pouze pokud λ < −1, což nastane právě tehdy,
když
4 (1 − 2 θ) µ sin 2 k h
2 > 2 .
Z toho plyne, že
⎧
⎪⎨ Je-li θ ∈ [0, 1 ), pak (30) je stabilní ⇐⇒ µ ≤ 1
2
(31)
2 (1 − 2 θ) .
⎪⎩
Je-li θ ∈ [ 1 , 1], pak (30) je stabilní ∀ µ > 0 .
2
V prvním případě je tedy schéma podmíněně stabilní, v druhém nepodmíněně stabilní.
Chybu diskretizace schématu (30) je vhodné počítat v čase t n+1/2 ≡ (n + 1 ) τ, tj.
2
definujeme
ε n+1/2
j = ε h,τ (x j , t n+1/2 ) = u(x j, t n+1 ) − u(x j , t n )
− θ δ2 x u(x j, t n+1 ) + (1 − θ) δx 2 u(x j, t n )
.
τ
h 2
Tedy
ε h,τ (x, t) = δ t u(x, t)
τ
= δ t u(x, t)
τ
Dosazením Taylorových rozvojů získáme
− θ δ2 x u(x, t + τ 2 ) + (1 − θ) δ2 x u(x, t − τ 2 )
h 2
− (θ − 1) δ t δx 2 u(x, t)
− δ2 x u(x, t + τ ) + 2 δ2 x u(x, t − τ ) 2
.
2
h 2 2 h 2
ε h,τ (x, t) = [u t + 1
24 u ttt τ 2 + . . .] − (θ − 1 2 ) [u xxt τ + 1 12 u xxxxt h 2 τ + . . .]
−[u xx + 1
12 u xxxx h 2 + 2 6! u xxxxxx h 4 + 1 8 u xxtt τ 2 + . . .].
Použitím (1) zjišt’ujeme, že obecně ε h,τ = O(τ +h 2 ), avšak pro θ = 1 je ε 2 h,τ = O(τ 2 +h 2 ).
Pro θ = 1 je tedy schéma (30) druhého řádu přesnosti v prostoru i v čase a nazývá se
2
schéma Crankovo–Nicolsonové. Jelikož je nepodmíněně stabilní, můžeme uvažovat h =
O(τ). Pak ε h,τ = O(τ 2 ) a jsme tedy schopni dosáhnout dobrou přesnost při malé výpočetní
náročnosti. Při volbě h = O(τ) však schéma Crankovo–Nicolsonové není disipativní, což
12