PribliznÃ© a numerickÃ© metody 1 1 ParabolickÃ© rovnice v jednÃ© ...

More documents

Recommendations

Info

a tudíž koeficienty a m jsou Fourierovy koeficienty funkce u 0 při rozvoji do sinové řady. Platí a m = 2 ∫ 1 0 u 0 (x) sin(m π x) dx. Je známo, že pro libovolné u 0 ∈ L 2 (0, 1) řada (5) konverguje v L 2 (0, 1). Součet řady (4) pak řeší úlohu (1)–(3) alespoň ve smyslu distribucí. V praxi výsledek (4) umožňuje získat pouze numerickou aproximaci řešení u, nebot’ koeficienty a m jsme obecně schopni určit pouze přibližně a navíc jsme schopni sečíst pouze konečně mnoho členů řady. Skutečným omezením uvedené metody však je, že ji nelze snadno zobecnit na komplikovanější úlohy. Je proto nutné hledat jiné způsoby výpočtu přibližného řešení úlohy (1)–(3) a jedním z možných postupů je metoda konečných diferencí. 1.3 Explicitní schéma pro úlohu (1)–(3) Základem metody konečných diferencí je zavedení sítě (či mříže) na výpočetní oblasti, a proto se někdy též používá název metoda sítí. Zvolme J ∈ N a definujme prostorový krok sítě h = 1/J. Dále zvolme časový krok sítě τ > 0 a definujme body x j = j h , j = 0, 1, 2, . . ., J , t n = n τ , n = 0, 1, 2, . . . . Dvojice (x j , t n ) nazýváme uzly sítě a v těchto bodech hledáme aproximaci řešení u, kterou značíme U n j ≈ u(x j, t n ) . Tyto hodnoty získáme tak, že derivace v (1) aproximujeme konečnými diferencemi a pak evolučně řešíme získané diferenční rovnice počínaje n = 0. Nejjednodušší diferenční schéma v uzlu (x j , t n ) je založeno na aproximacích u t (x j , t n ) ≈ u(x j, t n+1 ) − u(x j , t n ) , τ u xx (x j , t n ) ≈ u(x j+1, t n ) − 2 u(x j , t n ) + u(x j−1 , t n ) . h 2 To vede k diferenčním rovnicím (6) kde U n+1 j = Uj n + µ (Un j+1 − 2 Un j + Un j−1 ) , j = 1, 2, . . ., J − 1 , µ = τ h 2 . Každou hodnotu na časové hladině t n+1 lze nezávisle spočítat z hodnot na časové hladině t n , a proto se taková metoda nazývá explicitní diferenční schéma. K rovnicím (6) musíme ještě přidat počáteční a okrajové podmínky (7) (8) U 0 j = u0 (x j ) , j = 1, 2, . . ., J − 1 , U n 0 = U n J = 0 , n = 0, 1, 2, . . . . Pak je přibližné řešení U n j vztahy (6)–(8) jednoznačně určeno. 2
1.4 Značení pro diference Dopředné diference: ∆ +t v(x, t) = v(x, t + τ) − v(x, t) , ∆ +x v(x, t) = v(x + h, t) − v(x, t) . Zpětné diference: ∆ −t v(x, t) = v(x, t) − v(x, t − τ) , ∆ −x v(x, t) = v(x, t) − v(x − h, t) . Centrální diference: δ t v(x, t) = v(x, t + 1 τ) − v(x, t − 1τ) , δ 2 2 x v(x, t) = v(x + 1 h, t) − v(x − 1 h, t) . 2 2 Centrální diference s dvojnásobnou délkou intervalu: ∆ 0x v(x, t) = 1 (∆ 2 +x + ∆ −x ) v(x, t) = 1 [v(x + h, t) − v(x − h, t)] . 2 Pro centrální diference druhého řádu platí δx 2 v(x, t) = δ x (v(x + 1 h, t) − v(x − 1 h, t)) = v(x + h, t) − 2 v(x, t) + v(x − h, t) . 2 2 Snadno též ověříme, že δ 2 x = ∆ +x ∆ −x . Definujeme chybu diskretizace schématu (6) ε h,τ (x, t) = ∆ +t u(x, t) τ Použitím Taylorova vzorce získáme − δ2 x u(x, t) h 2 , x ∈ [h, 1 − h], t ≥ 0 . ε h,τ (x, t) = 1 2 u tt(x, η) τ − 1 12 u xxxx(ξ, t) h 2 , ξ ∈ (x − h, x + h), η ∈ (t, t + τ) . Předpokládáme-li, že existují konstanty M 1 a M 2 takové, že |u tt | ≤ M 1 , |u xxxx | ≤ M 2 na [0, 1] × [0, T], kde T > 0 je pevně zvolený čas, pak ( ) (9) |ε h,τ (x, t)| ≤ 1 M 2 1 τ + 1 M 12 2 h 2 = 1 τ M 2 1 + 1 M 6 µ 2 ∀ x ∈ [h, 1−h]×[0, T −τ] . Vidíme tedy, že pro pevný poměr µ se ε h,τ chová jako O(τ) pro τ → 0. Říkáme, že schéma je prvního řádu přesnosti (lze též říci, že schéma je prvního řádu přesnosti v čase a druhého řádu přesnosti v prostoru). Poznámka 2 Jelikož u t = u xx , je u tt = u xxt = (u t ) xx = u xxxx , a tudíž ( ) ε h,τ (x, t) = 1 1 − 1 u 2 6 µ xxxx (x, t) τ + O(τ 2 ) . Pro µ = 1 je tedy schéma druhého řádu přesnosti. Jedná se ale o velmi speciální případ, 6 se kterým se v obecnějších situacích nesetkáme. 3
Page 1: Stručný obsah části přednášk
Page 5 and 6: Snadno se ověří, že pro m ∈ N
Page 7 and 8: Při aplikaci Fourierovy metody jsm
Page 9 and 10: 1.9 Dvoukrokové metody Výše uva
Page 11 and 12: můžeme psát Uj n = V j n + (−1
Page 13 and 14: způsobuje, že při nehladké poč
Page 15 and 16: Nyní můžeme definovat θ-schéma
Page 17 and 18: Je též možné položit b ∗ = 1
Page 19 and 20: a je splněna Parsevalova rovnost (
Page 21 and 22: Věta 5 Diferenční schéma (48) j

PribliznÃ© a numerickÃ© metody 1 1 ParabolickÃ© rovnice v jednÃ© ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?