Priblizné a numerické metody 1 1 Parabolické rovnice v jedné ...

Věta 5 Diferenční schéma (48) je stabilní v oblasti stability Λ právě tehdy, když existuje
konstanta K nezávislá na ξ, h a τ taková, že
(52)
|λ(ξ)| ≤ 1 + K τ ∀ ξ ∈ R , (h, τ) ∈ Λ .
Je-li funkce λ(ξ/h) na Λ nezávislá na h a τ, pak lze podmínku (52) nahradit podmínkou
(53)
|λ(ξ)| ≤ 1 ∀ ξ ∈ R , (h, τ) ∈ Λ .
Důkaz. Z Parsevalovy rovnosti (46) a vztahu (51) plyne
(54)
‖U n ‖ 2 = ‖λ n Û 0 ‖ L 2 (−π/h,π/h) .
Poznamenejme, že λ n zde značí n–tou mocninu λ. Platí-li (52), je pro n ≤ T/τ
‖U n ‖ 2 ≤ (1 + K τ) n ‖Û0 ‖ L 2 (−π/h,π/h) ≤ (1 + K τ)T/τ ‖U 0 ‖ 2 ≤ e K T ‖U 0 ‖ 2 ,
tj. schéma (48) je stabilní v Λ. Předpokládejme nyní, že (52) neplatí pro žádnou konstantu
K. Zvolme libovolné číslo C > 0. Jelikož funkce λ závisí na ξ spojitě a periodicky
s periodou 2 π/h, existuje (h, τ) ∈ Λ a interval (ξ 1 , ξ 2 ) ⊂ (−π/h, π/h) tak, že |λ(ξ)| >
1 + C τ ∀ ξ ∈ (ξ 1 , ξ 2 ). Necht’
Û 0 (ξ) =
1
√
ξ2 − ξ 1
pro ξ ∈ (ξ 1 , ξ 2 ) a Û 0 (ξ) = 0 pro ξ ∉ (ξ 1 , ξ 2 ) .
Pak dle (46) a (54) je ‖U 0 ‖ 2 = ‖Û0 ‖ L 2 (−π/h,π/h) = 1 a
‖U n ‖ 2 = ‖λ n Û 0 ‖ L 2 (ξ 1 ,ξ 2 ) > (1 + C τ)n ≥ (1 + C τ max ) nτ/τmax ‖U 0 ‖ 2 ,
kde τ max je takové, že Λ ⊂ R + ×(0, τ max ) (využili jsme, že funkce (1+C τ) 1/τ je klesající).
Pro libovolné T > τ max a n ∈ N splňující T/2 ≤ nτ ≤ T je
‖U n ‖ 2 > (1 + C τ max ) T/(2 τmax) ‖U 0 ‖ 2 .
Schéma (48) tedy není stabilní v Λ, nebot’ C lze volit libovolně velké. Je-li funkce λ(ξ/h)
na Λ nezávislá na h a τ, pak jsou zřejmě podmínky (52) a (53) ekvivalentní. □
Poznámka 3 Uvedená věta pochází od von Neumanna, a analýza diferenčních metod
založená na Fourierově metodě se proto obvykle nazývá von Neumannova analýza. Nerovnost
(52) se většinou nazývá von Neumannova podmínka.
Uvažujeme-li θ–metodu pro jednorozměrnou rovnici vedení tepla, pak λ(ξ/h) je pro
µ = const. nezávislé na h a τ, a nutnou a postačující podmínkou stability je tedy (53).
Uvažujeme-li však rovnici
(55)
u t = bu xx − a u x ∀ t > 0, x ∈ R ,
21