Priblizné a numerické metody 1 1 Parabolické rovnice v jedné ...

Snadno se ověří, že pro m ∈ N je A m = −A −m = −i a m /2. Budeme předpokládat, že
Fourierova řada (11) je absolutně konvergentní, tj.
∞∑
(12)
|A m | < ∞ .
m=−∞
Postačující podmínkou pro to je, aby funkce u 0 byla absolutně spojitá na [0, 1], (u 0 ) ′ ∈
L 2 (0, 1) a u 0 (0) = u 0 (1) = 0 (konzistence s okrajovou podmínkou).
Připomeňme, že funkce e i m π x−(m π)2 t jsou řešeními rovnice (1). Uvažujeme-li x = j h
a t = n τ a označíme-li k = m π, můžeme se v analogii k tomu ptát, kdy
U n j = ei k j h λ n
řeší diferenční rovnici (6). Dosazením do (6) získáme
e i k j h λ n+1 = e i k j h λ n [1 + µ (e i k h − 2 + e −i k h )],
a tudíž
(13) λ ≡ λ(k) = 1 − 2 µ [1 − cos(k h)] = 1 − 4 µ sin 2 k h
2 .
Číslo λ(k) se nazývá amplifikační (zesilující) faktor členu Fourierovy řady. Z výše uvedeného
plyne, že přibližné řešení Uj n můžeme zapsat ve tvaru podobném jako u:
(14)
U n j =
∞
∑
m=−∞
A m e i m π j h [λ(m π)] n , j = 0, 1, . . ., J , n ≥ 0 .
To lze ukázat následovně. Jelikož amplifikační faktory jsou omezené a platí (12), konverguje
řada (14) absolutně, a jelikož každý její člen řeší diferenční rovnici (6), řeší i
součet řady (14) rovnici (6). Pro n = 0 se řada (14) redukuje na řadu (11) s x = j h,
a součet řady tudíž splňuje počáteční podmínku (7). Jelikož pro každé m ∈ N platí
A m [λ(m π)] n = −A −m [λ(−m π)] n , je pro j = 0 a j = J součtem řady 0, a jsou tedy
splněny i okrajové podmínky (8).
Členy řady (14) s nízkými frekvencemi aproximují dobře odpovídající členy řady (10),
nebot’
e −k2 τ
= 1 − k 2 τ + 1 2 k4 τ 2 − . . .
λ(k) = 1 − 2 µ [ 1 2 (k h)2 − 1 24 (k h)4 + . . .] = 1 − k 2 τ + 1
12 k4 τ h 2 − . . . .
Tyto rozvoje představují alternativní prostředek pro vyšetřování chyby diskretizace, kterou
nyní můžeme zapsat ve tvaru
∞∑ e −(m π)2 τ − λ(m π)
ε h,τ (x j , t n ) =
A m e i m π x j−(m π) 2 t n
.
τ
m=−∞
Vidíme tedy, že máme alespoň přesnost prvního řádu, ale pro h 2 = 6 τ budeme mít
přesnost druhého řádu (srv. pozn. 2). Snadno zjistíme, že
(15)
kde C(µ) závisí pouze na µ.
|λ(k) − e −k2τ | ≤ C(µ) k 4 τ 2 ∀ k, τ > 0 ,
5