Priblizné a numerické metody 1 1 Parabolické rovnice v jedné ...

V bodě x = 0 aproximujeme rovnici jako ve vnitřních bodech a za U n −1 dosadíme z (37).
Pak
z čehož plyne
U0 n+1 − U0 n = µ θ [Un+1 1 − 2 U0 n+1 + (U1 n+1 − 2 h α n+1 U0 n+1 − 2 h g n+1 )]
+ µ (1 − θ) [U1 n − 2 U0 n + (U1 n − 2 h α n U0 n − 2 h g n )] ,
[1 + 2 θ µ (1 + α n+1 h)] U n+1
0 = [1 − 2 (1 − θ) µ (1 + α n h)] U n 0
+ 2 θ µ U n+1
1 + 2 (1 − θ) µ U n 1 − 2 µ h [θ g n+1 + (1 − θ) g n ] .
Pokud µ (1−θ) (1+α n h) ≤ 1 , je možno chybu aproximace opět odhadnout pomocí chyby
2
diskretizace postupem založeným na principu maxima. Chyba diskretizace je v tomto
případě ε n+1/2
0 = O(τ + h).
1.14 Obecnější lineární rovnice
Uvažujme nejdříve rovnici
u t = bu xx ∀ t > 0, x ∈ (0, 1) ,
kde b = b(x, t) > 0. Explicitnímu schématu (6) pak odpovídá diskretizace
kde b n j = b(x j , t n ). Stejně jako dříve získáme
U n+1
j = U n j + τ h 2 bn j (Un j+1 − 2 Un j + Un j−1 ) ,
ε h,τ (x, t) = 1 2 u tt τ − 1
12 b(x, t) u xxxx h 2 + . . . .
Konvergenci lze dokázat stejným způsobem jako pro b = 1, ale podmínku stability je
třeba nahradit podmínkou
τ
h 2 b(x, t) ≤ 1 2 .
Odhad chyby pak je
|U n j − u(x j, t n )| ≤ T ( 1 2 M 1 τ + 1
12 B M 2 h 2 ) ,
kde B ≥ b(x, t) ∀ (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T].
θ–schéma lze definovat různými způsoby. Jednou možností je uvažovat
U n+1
j
− U n j = τ h 2 b∗ [θ δ 2 x Un+1 j + (1 − θ) δ 2 x Un j ] ,
kde b ∗ je nějaká vhodná hodnota. Nabízí se položit b ∗ = b n+1/2
j . Rozvoj chyby diskretizace
je pak stejný jako dříve až na přenásobení faktorem b. Rovněž konvergenci lze dokázat
jako dříve pomocí principu maxima, avšak potřebujeme, aby
τ
h 2 (1 − θ) b(x, t) ≤ 1 2 .
16