Priblizné a numerické metody 1 1 Parabolické rovnice v jedné ...

1.4 Značení pro diference
Dopředné diference:
∆ +t v(x, t) = v(x, t + τ) − v(x, t) , ∆ +x v(x, t) = v(x + h, t) − v(x, t) .
Zpětné diference:
∆ −t v(x, t) = v(x, t) − v(x, t − τ) , ∆ −x v(x, t) = v(x, t) − v(x − h, t) .
Centrální diference:
δ t v(x, t) = v(x, t + 1 τ) − v(x, t − 1τ) , δ 2 2 x v(x, t) = v(x + 1 h, t) − v(x − 1 h, t) .
2 2
Centrální diference s dvojnásobnou délkou intervalu:
∆ 0x v(x, t) = 1 (∆ 2 +x + ∆ −x ) v(x, t) = 1 [v(x + h, t) − v(x − h, t)] .
2
Pro centrální diference druhého řádu platí
δx 2 v(x, t) = δ x (v(x + 1 h, t) − v(x − 1 h, t)) = v(x + h, t) − 2 v(x, t) + v(x − h, t) .
2 2
Snadno též ověříme, že δ 2 x = ∆ +x ∆ −x .
Definujeme chybu diskretizace schématu (6)
ε h,τ (x, t) = ∆ +t u(x, t)
τ
Použitím Taylorova vzorce získáme
− δ2 x u(x, t)
h 2 , x ∈ [h, 1 − h], t ≥ 0 .
ε h,τ (x, t) = 1 2 u tt(x, η) τ − 1 12 u xxxx(ξ, t) h 2 , ξ ∈ (x − h, x + h), η ∈ (t, t + τ) .
Předpokládáme-li, že existují konstanty M 1 a M 2 takové, že |u tt | ≤ M 1 , |u xxxx | ≤ M 2 na
[0, 1] × [0, T], kde T > 0 je pevně zvolený čas, pak
( )
(9) |ε h,τ (x, t)| ≤ 1 M 2 1 τ + 1 M 12 2 h 2 = 1 τ M
2 1 + 1 M 6 µ 2 ∀ x ∈ [h, 1−h]×[0, T −τ] .
Vidíme tedy, že pro pevný poměr µ se ε h,τ chová jako O(τ) pro τ → 0. Říkáme, že
schéma je prvního řádu přesnosti (lze též říci, že schéma je prvního řádu přesnosti v čase
a druhého řádu přesnosti v prostoru).
Poznámka 2 Jelikož u t = u xx , je u tt = u xxt = (u t ) xx = u xxxx , a tudíž
( )
ε h,τ (x, t) = 1 1 − 1 u
2 6 µ xxxx (x, t) τ + O(τ 2 ) .
Pro µ = 1 je tedy schéma druhého řádu přesnosti. Jedná se ale o velmi speciální případ,
6
se kterým se v obecnějších situacích nesetkáme.
3