Priblizné a numerické metody 1 1 Parabolické rovnice v jedné ...

Důkaz. Dle definice chyby diskretizace je pro e n j = Uj n − u(x j , t n )
(33) (1 + 2 θ µ) e n+1
j = θ µ (e n+1
j−1 + en+1 j+1 ) + (1 − θ) µ (en j−1 + en j+1 )
+ [1 − 2 (1 − θ) µ] e n j − τ εn+1/2 j , j = 1, 2, . . ., J − 1, n = 0, 1, 2, . . . .
Předpokládejme nejprve, že e 0 j = 0, j = 0, . . .,J, en 0 = en J
= 0, n = 0, 1, 2, . . . a označme
Pak
‖e n ‖ ∞ = max
j=0,...,J |en j | , ‖ε n+1/2 ‖ ∞ = max
j=1,...,J−1 |εn+1/2 j | .
(1 + 2 θ µ) ‖e n+1 ‖ ∞ ≤ 2 θ µ ‖e n+1 ‖ ∞ + ‖e n ‖ ∞ + τ ‖ε n+1/2 ‖ ∞ ,
a tudíž ‖e n+1 ‖ ∞ ≤ ‖e n ‖ ∞ + τ ‖ε n+1/2 ‖ ∞ , z čehož plyne
‖e n ‖ ∞ ≤ τ
∑n−1
m=0
‖ε m+1/2 ‖ ∞ ≤ n τ
max
m=0,...,n−1 ‖εm+1/2 ‖ ∞ → 0 pro i → ∞ .
Předpokládejme nyní, že chyby v okrajových a počátečních podmínkách jsou nenulové,
tj.
(34) e 0 j = η0 j , j = 0, . . .,J , en 0 = ηn 0 , en J = ηn J , n = 0, 1, 2, . . . .
Pak e n j = ēn j +ẽn j , kde ēn j splňuje (33) s homogenními počátečními a okrajovými podmínkami
a ẽ n j splňuje (32) a (34). Pak ‖ē n ‖ ∞ splňuje předchozí odhad a ‖ẽ n ‖ ∞ ≤ max{|η0 m |, 0 ≤
m ≤ n ; |ηj 0|, 0 ≤ j ≤ J ; |ηm J |, 0 ≤ m ≤ n} dle předchozí věty.
□
Podmínka pro platnost principu maxima je mnohem více omezující než podmínka
stability plynoucí z Fourierovy analýzy. Například pro θ = 1 dostáváme µ ≤ 1.
2
Princip maxima představuje alternativní prostředek pro získání podmínek stability.
Oproti Fourierově analýze má tu výhodu, že ho lze snadno aplikovat i na úlohy s nekonstantními
koeficienty. Avšak snadné je odvodit pouze postačující podmínky stability.
1.13 Obecnější okrajové podmínky
Nahrad’me Dirichletovu okrajovou podmínku v bodě x = 0 okrajovou podmínkou
(35)
u x (0, t) = α(t) u(0, t) + g(t) ∀ t > 0 ,
kde α(t) ≥ 0.
Nejjednodušší aproximace okrajové podmínky (35) v čase t = t n je
z čehož plyne
U n 1 − U n 0
h
= α n U n 0 + gn , α n ≡ α(t n ), g n ≡ g(t n ) ,
U n 0 = β n U n 1 − β n g n h , kde β n =
1
1 + α n h .
(36)
14