Priblizné a numerické metody 1 1 Parabolické rovnice v jedné ...

Věta 2 Chyba U n j −u(x j , t n ) zůstává při pevných h a τ pro libovolnou počáteční podmínku
u 0 splňující (12) omezená pro n → ∞ právě tehdy, když |λ(m π)| ≤ 1 ∀ m ∈ N.
Důkaz. Jelikož řešení u je omezené pro t → ∞, je omezenost chyby ekvivalentní omezenosti
U n j pro n → ∞. Je-li |λ(m π)| ≤ 1 ∀ m ∈ N, pak dle (14) a (12) je
|U n j | ≤ ∞
∑
m=−∞
|A m | |λ(m π)| n ≤
∞∑
m=−∞
|A m | < ∞ .
Naopak, necht’ existuje m 1 ∈ N tak, že |λ(m π)| > 1. Bud’ u 0 (x) = sin(m 1 πx). Pak
Uj n = sin(m 1πjh) [λ(m 1 π)] n , a tudíž |Uj n | → ∞ pro n → ∞ a pro každé j ∈ {1, . . ., J −1}
takové, že sin(m 1 πjh) ≠ 0.
□
Nyní vidíme význam podmínky µ ≤ 1 . Je-li tato podmínka splněna, pak |λ(m π)| ≤ 1
2
∀ m ∈ N, a řešení tudíž zůstává omezené. Je-li µ > 1 , pak pro některá m ∈ N je
2
λ(m π) < −1 a velikost příslušných členů v (14) s postupujícím časem roste nade všechny
meze. Všimněme si, že λ(m π) < −1 pro m = (1 + 2 l) J, l ∈ Z, nebot’ pak λ(m π) =
1 − 4 µ sin 2 ( π + l π) = 1 − 4 µ. Teoreticky je možné zvolit počáteční podmínku tak,
2
aby A m = 0, kdykoli λ(m π) < −1. Avšak to je velmi speciální situace a vpraxi by
vlivem zaokrouhlovacích chyb vznikly malé nenulové koeficienty u všech takovýchto členů
a s postupujícím časem by tyto členy opět neomezeně rostly. Schéma (6) je tedy stabilní
pouze při splnění podmínky µ ≤ 1 . Říkáme, že schéma (6) je podmíněně stabilní.
2
Fourierovu metodu můžeme použít též k důkazu konvergence. Její výhoda spočívá
v tom, že nemusíme předpokládat dostatečnou hladkost řešení u a stejnoměrnou omezenost
u xxxx a u tt . Naším jediným předpokladem o úloze (1)–(3) nyní bude absolutní konvergence
řady (11) pro počáteční podmínku u 0 . Počáteční podmínka tedy nemusí být
hladká. Budeme předpokládat, že µ je pevné a µ ≤ 1 . Chybu aproximace můžeme
2
vyjádřit ve tvaru
∞∑
}
e n j = Un j − u(x j, t n ) = A m e i m π x j
{[λ(m π)] n − e −(m π)2 t n
.
m=−∞
Bud’ ε > 0 libovolné a necht’ m 0 ∈ N je takové, že
∑
|m|>m 0
|A m | ≤ ε 4 .
Pak
|e n j | ≤ ε 2 + ∑
|m|≤m 0
n |A m | |λ(m π) − e −(m π)2 τ |
kde jsem vyuužili toho, že pro libovolná čísla λ 1 , λ 2 ∈ [−1, 1] platí |λ n 1 −λn 2 | ≤ n |λ 1 −λ 2 |.
Z nerovnosti (15) plyne
|e n j | ≤ ε 2 + n τ2 C(µ) π 4 ∑
|m|≤m 0
|A m | m 4
Vidíme tedy, že pro τ dostatečně malé je |e n j | ≤ ε ∀ (x j, t n ) ∈ [0, 1]×[0, T], nebot’ n τ ≤ T.
6