Priblizné a numerické metody 1 1 Parabolické rovnice v jedné ...

Předpokládejme pro jednoduchost, že a(x, t) ≥ 0 a c(x, t) = 0. Explicitní schéma má
pak tvar
U n+1
j − Uj
n U
= b n j+1 n − 2 Uj n + Uj−1
n U
j
− a n j n − Uj−1
n
τ
h 2
j + d n j
2 h
,
což dává
e n+1
j = (1 − 2 µ n j − ν n j ) e n j + µ n j e n j+1 + (µ n j + ν n j ) e n j−1 − τ ε n j .
Aby všechny koeficienty na pravé straně byly nezáporné, potřebujeme nyní pouze podmínku
2 µ n j + νn j ≤ 1. Stabilita tedy nevyžaduje žádné omezení prostorového kroku h. Cenou
za to je, že nyní máme pouze ε n j = O(h + τ).
Někdy se můžeme setkat s parabolickou rovnicí v samoadjungovaném tvaru
u t = (p(x, t) u x ) x ∀ t > 0, x ∈ (0, 1) ,
kde p > 0. Rozderivováním můžeme tuto rovnici převést do tvaru (38), ale obvykle je
výhodnější zkonstruovat diferenční aproximaci původního samoadjungovaného tvaru:
[(p u x ) x ](x j , t n ) ≈ 1 h [(p u x)(x j+1/2 , t n ) − (p u x )(x j−1/2 , t n )]
Explicitní diferenční schéma má tedy tvar
≈ 1 h 2 [pn j+1/2 (un j+1 − un j ) − pn j−1/2 (un j − un j−1 )] .
a tudíž
U n+1
j
− U n j
τ
= pn j+1/2 (Un j+1 − Un j ) − pn j−1/2 (Un j − Un j−1 )
h 2 ,
U n+1
j = [1 − µ (p n j+1/2 + pn j−1/2 )] Un j + µ pn j+1/2 Un j+1 + µ pn j−1/2 Un j−1 , µ = τ h 2 .
Chybu aproximace můžeme tudíž vyšetřovat stejným způsobem jako dříve, budou-li všechny
koeficienty nezáporné, což je splněno, pokud µ P ≤ 1 , kde P splňuje p(x, t) ≤ P
2
v uvažované oblasti. Máme tedy omezení stejného typu jako dříve.
Zřejmým způsobem lze na výše uvažované obecnější rovnice zobecnit θ–schéma vedoucí
k implicitnímu schématu.
1.15 Fourierova analýza pro diskretizace Cauchyových úloh
V teorii parciálních diferenciálních rovnic hraje důležitou roli Fourierova transformace.
Pro funkci u ∈ L 1 (R) definujeme Fourierovu transformaci û vztahem
(41)
û(ξ) = 1 √
2 π
∫ ∞
Za určitých předpokladů pak platí
(42)
−∞
u(x) = 1 √
2 π
∫ ∞
u(x) e −i x ξ dx, ξ ∈ R .
−∞
18
û(ξ) e ix ξ dξ