Priblizné a numerické metody 1 1 Parabolické rovnice v jedné ...

Přirozené číslo M závisí na způsobu aproximace derivací podle x v operátoru L. Zapíšemeli
U n = {Uj n} j∈Z ve tvaru (45) pomocí Fourierovy transformace Ûn = Ûn (ξ) definované
vztahem (44), získáme dosazením do (48)
∫ (
π/h
M∑
M∑
Û n+1 (ξ) α s e i s h ξ − Ûn (ξ) β s e
)dξ i s h ξ = 0 ∀ j ∈ Z, n ∈ N 0 .
e i x j ξ
−π/h
s=−M
s=−M
Jelikož funkce {e i x j ξ } j∈Z tvoří úplný ortogonální systém v prostoru L 2 (−π/h, π/h), platí
Û n+1 (ξ)
M∑
s=−M
α s e i s h ξ = Ûn (ξ)
M∑
s=−M
β s e i s h ξ ∀ n ∈ N 0 .
Všimněme si, že tento vztah lze formálně získat tak, že diskrétní řešení Uj
n nahradíme
v (48) výrazem Ûn (ξ) e ix j ξ (pro ξ = k je to stejná funkce, jakou jsme používali při
Fourierově analýze schémat pro smíšenou úlohu (1)–(3)). Označíme-li
obdržíme
(50)
λ(ξ) =
M∑
s=−M
M∑
s=−M
β s e i s h ξ
α s e i s h ξ ,
Û n+1 (ξ) = λ(ξ) Ûn (ξ) ∀ n ∈ N 0 .
Tento vztah ukazuje, že provedení jednoho časového kroku schématu (48) je ekvivalentní
přenásobení Fourierovy transformace diskrétního řešení amplifikačním faktorem λ(ξ). Velikost
amplifikačního faktoru |λ(ξ)| představuje zesílení amplitudy Ûn (ξ) libovolné frekvence
ξ při provedení jednoho časového kroku. Ze vztahu (50) získáme
(51)
Û n (ξ) = λ(ξ) n Û 0 (ξ) ∀ n ∈ N 0 .
Vidíme, že všechny informace o schématu jsou obsaženy v amplifikačním faktoru. Mimo
jiné lze z amplifikačního faktoru snadno získat informace o stabilitě a přesnosti příslušného
schématu. Fourierova transformace proto představuje standardní metodu pro studium
vlastností diferenčních schémat.
Diferenční schémata jsou často pouze podmíněně stabilní, což znamená, že jsou stabilní,
jen pokud prostorový krok h a časový krok τ splňují jistou podmínku. Množinu
Λ ⊂ R + ×R + takovou, že pro libovolnou dvojici (h, τ) ∈ Λ je příslušná podmínka stability
splněna, nazveme oblastí stability diferenčního schématu. Vždy budeme předpokládat, že
množina Λ je omezená a že dvojice (0, 0) je jejím hromadným bodem. Stabilitu schématu
(48) lze definovat následujícím způsobem.
Definice 2 Diferenční schéma (48) je stabilní v oblasti stability Λ, pokud pro každý
pevný čas T > 0 existuje konstanta C T taková, že pro libovolnou počáteční podmínku U 0
platí
‖U n ‖ 2 ≤ C T ‖U 0 ‖ 2 ∀ n ∈ N, (h, τ) ∈ Λ, nτ ≤ T .
20