Priblizné a numerické metody 1 1 Parabolické rovnice v jedné ...

1.8 Thomasův algoritmus
Soustava (17) je tridiagonální a můžeme ji zapsat ve tvaru
−a j U j−1 + b j U j − c j U j+1 = d j , j = 1, 2, . . ., J − 1 ,
kde
Budeme předpokládat, že
U 0 = U J = 0 .
(18)
a j > 0 , b j > 0 , c j > 0 , b j > a j + c j ,
což splňuje (17). Soustavu rovnic nejprve převedeme na soustavu s horní trojúhelníkovou
maticí tvaru
(19)
U j − e j U j+1 = f j , j = 1, 2, . . ., J − 1 .
Máme-li v tomto tvaru k–tou rovnici a chceme-li upravit k + 1–vou rovnici, tj.
−a k+1 U k + b k+1 U k+1 − c k+1 U k+2 = d k+1 ,
pak k této rovnici přičteme rovnici (19) s j = k přenásobenou a k+1 , čímž získáme
Algoritmus je tedy následující
(b k+1 − a k+1 e k ) U k+1 − c k+1 U k+2 = d k+1 + a k+1 f k .
e 1 := c 1 /b 1 , f 1 := d 1 /b 1
for j = 2, . . ., J − 2 do
e j := c j /(b j − a j e j−1 )
f j := (d j + a j f j−1 )/(b j − a j e j−1 )
enddo
f J−1 := (d J−1 + a J−1 f J−2 )/(b J−1 − a J−1 e J−2 )
Řešení U j pak jednoduše určíme z rovnic (19).
Snadno lze ověřit, že e j ∈ (0, 1), j = 1, 2, . . ., J − 2. Algoritmus lze tedy vždy provést
a je numericky stabilní (nevede ke vzrůstajícím chybám).
Uvedený algoritmus potřebuje pro vyřešení soustavy (17) na jeden uzel tři sčítání, tři
násobení a dvě dělení, zatímco explicitní schéma (6) vyžaduje tři sčítání a dvě násobení
(popř. čtyři sčítání a jedno násobení). Výpočetní náročnost implicitního schématu je tedy
asi dvojnásobná oproti explicitnímu schématu. Důležité však je, že lze volit mnohem delší
časové kroky (aniž by se zhoršila přesnost), nebot’ nyní není žádná podmínka stability
omezující volbu τ. Proto je celková výpočetní náročnost implicitní metody pro dosažení
zvoleného času T mnohem menší než u explicitní metody.
8