Priblizné a numerické metody 1 1 Parabolické rovnice v jedné ...

1.5 Konvergence explicitního schématu
Věta 1 Uvažujme posloupnost (h i , τ i ) → (0, 0) pro i → ∞ a předpokládejme, že µ i ≡
τ i /h 2 i ≤ 1 pro dostatečně velká i. Necht’ T > 0 a |u 2 tt| ≤ M 1 , |u xxxx | ≤ M 2 v [0, 1] ×[0, T].
Pak pro libovolný bod (x, t) ∈ [0, 1]×[0, T] a libovolnou posloupnost (j i , n i ) ∈ N×N takovou,
že j i h i → x, n i τ i → t, konvergují aproximace U n i
j i
generované explicitním schématem (6)–
(8) k řešení u(x, t), přičemž tato konvergence je stejnoměrná v [0, 1] × [0, T].
Důkaz. Uvažujme libovolnou dvojici h, τ (τ < T) a libovolný bod (x j , t n ) ∈ (0, 1)×(0, T).
Definujme chybu aproximace
e n j = Un j − u(x j, t n ).
Pak
e n+1
j = e n j + µ [e n j+1 − 2 e n j + e n j−1] − τ ε n j , kde ε n j = ε h,τ (x j , t n ) .
Definujeme-li ‖e n ‖ ∞ = max l=0,...,J |e n l |, pak
‖e n+1 ‖ ∞ ≤ (|1 − 2 µ| + 2 µ) ‖e n ‖ ∞ + τ ‖ε n ‖ ∞ ≤ ‖e n ‖ ∞ + τ ‖ε n ‖ ∞ .
Jelikož e 0 l = U 0 l − u 0 (x l ) = 0, l = 0, . . .,J, dostáváme
Použitím (9) získáváme
‖e n ‖ ∞ ≤ τ
∑n−1
k=0
‖ε k ‖ ∞ ≤ t n
max
k=0,...,n−1 ‖εk ‖ ∞ .
|U n j − u(x j, t n )| ≤ T ( 1 2 M 1 τ + 1
12 M 2 h 2 ) .
Tvrzení nyní plyne ze spojitosti u na [0, 1] × [0, T].
□
1.6 Fourierova analýza chyby
Víme, že řešení úlohy (1)–(3) lze zapsat ve tvaru Fourierovy řady (4). Ukážeme, že
v podobném tvaru lze zapsat i přibližné řešení splňující (6)–(8). Za tím účelem zapíšeme
řady (4) a (5) pomocí komplexních exponenciel:
(10)
(11)
u(x, t) =
u 0 (x) =
∞∑
m=−∞
∞∑
m=−∞
A m e i m π x−(m π)2 t ,
A m e i m π x .
Položíme-li u 0 (x) = −u 0 (−x) pro x ∈ [−1, 0), pak
A m = 1 2
∫ 1
−1
u 0 (x) e −i m π x dx.
4