PribliznÃ© a numerickÃ© metody 1 1 ParabolickÃ© rovnice v jednÃ© ...

More documents

Recommendations

Info

Věta 2 Chyba U n j −u(x j , t n ) zůstává při pevných h a τ pro libovolnou počáteční podmínku u 0 splňující (12) omezená pro n → ∞ právě tehdy, když |λ(m π)| ≤ 1 ∀ m ∈ N. Důkaz. Jelikož řešení u je omezené pro t → ∞, je omezenost chyby ekvivalentní omezenosti U n j pro n → ∞. Je-li |λ(m π)| ≤ 1 ∀ m ∈ N, pak dle (14) a (12) je |U n j | ≤ ∞ ∑ m=−∞ |A m | |λ(m π)| n ≤ ∞∑ m=−∞ |A m | < ∞ . Naopak, necht’ existuje m 1 ∈ N tak, že |λ(m π)| > 1. Bud’ u 0 (x) = sin(m 1 πx). Pak Uj n = sin(m 1πjh) [λ(m 1 π)] n , a tudíž |Uj n | → ∞ pro n → ∞ a pro každé j ∈ {1, . . ., J −1} takové, že sin(m 1 πjh) ≠ 0. □ Nyní vidíme význam podmínky µ ≤ 1 . Je-li tato podmínka splněna, pak |λ(m π)| ≤ 1 2 ∀ m ∈ N, a řešení tudíž zůstává omezené. Je-li µ > 1 , pak pro některá m ∈ N je 2 λ(m π) < −1 a velikost příslušných členů v (14) s postupujícím časem roste nade všechny meze. Všimněme si, že λ(m π) < −1 pro m = (1 + 2 l) J, l ∈ Z, nebot’ pak λ(m π) = 1 − 4 µ sin 2 ( π + l π) = 1 − 4 µ. Teoreticky je možné zvolit počáteční podmínku tak, 2 aby A m = 0, kdykoli λ(m π) < −1. Avšak to je velmi speciální situace a vpraxi by vlivem zaokrouhlovacích chyb vznikly malé nenulové koeficienty u všech takovýchto členů a s postupujícím časem by tyto členy opět neomezeně rostly. Schéma (6) je tedy stabilní pouze při splnění podmínky µ ≤ 1 . Říkáme, že schéma (6) je podmíněně stabilní. 2 Fourierovu metodu můžeme použít též k důkazu konvergence. Její výhoda spočívá v tom, že nemusíme předpokládat dostatečnou hladkost řešení u a stejnoměrnou omezenost u xxxx a u tt . Naším jediným předpokladem o úloze (1)–(3) nyní bude absolutní konvergence řady (11) pro počáteční podmínku u 0 . Počáteční podmínka tedy nemusí být hladká. Budeme předpokládat, že µ je pevné a µ ≤ 1 . Chybu aproximace můžeme 2 vyjádřit ve tvaru ∞∑ } e n j = Un j − u(x j, t n ) = A m e i m π x j {[λ(m π)] n − e −(m π)2 t n . m=−∞ Bud’ ε > 0 libovolné a necht’ m 0 ∈ N je takové, že ∑ |m|>m 0 |A m | ≤ ε 4 . Pak |e n j | ≤ ε 2 + ∑ |m|≤m 0 n |A m | |λ(m π) − e −(m π)2 τ | kde jsem vyuužili toho, že pro libovolná čísla λ 1 , λ 2 ∈ [−1, 1] platí |λ n 1 −λn 2 | ≤ n |λ 1 −λ 2 |. Z nerovnosti (15) plyne |e n j | ≤ ε 2 + n τ2 C(µ) π 4 ∑ |m|≤m 0 |A m | m 4 Vidíme tedy, že pro τ dostatečně malé je |e n j | ≤ ε ∀ (x j, t n ) ∈ [0, 1]×[0, T], nebot’ n τ ≤ T. 6
Při aplikaci Fourierovy <strong>metody</strong> jsme reprezentovali přibližné řešení pomocí nekonečné řady (14), nebot’ ji bylo možné snadno srovnávat s řadou pro přesné řešení. Jelikož však na uvažované prostorové síti s J + 1 uzly lze reprezentovat jen konečně mnoho různých frekvencí, lze přibližné řešení vyjádřit jako lineární kombinaci 2 J po sobě jdoucích funkcí (16) e i m π j h [λ(m π)] n . Snadno ověříme, že tyto funkce se skutečně nezmění, nahradíme-li m hodnotou m + 2 J. Můžeme tedy např. uvažovat U n j jakožto lineární kombinaci funkcí (16) odpovídajících m = −(J − 1), −(J − 2), . . ., −1, 0, 1, . . ., J . Nejvyšší frekvence, která se může na síti vyskytnout odpovídá m = J. Příslušná prostorová funkce je e i π j ; tato funkce střídá hodnoty ±1 v po sobě jdoucích uzlech. Z (13) vidíme, že se jedná o nejméně stabilní člen se zesilujícím faktorem λ(J π) = 1−4 µ. Tento člen při µ > 1 roste nejrychleji a může převládnout nad všemi ostatními členy v rozvoji 2 řešení. 1.7 Implicitní metoda pro úlohu (1)–(3) Podmínka stability τ ≤ h 2 /2 plynoucí z věty 2 pro explicitní schéma (6) je velmi vážné omezení, které implikuje, že bude třeba velmi mnoho časových kroků. Navíc, budeme-li muset zmenšit h pro zvýšení přesnosti, velmi se zvýší celková výpočetní náročnost, nebot’ budeme muset též podstatně zmenšit τ. Ukážeme nyní, že zmíněných omezení se můžeme zbavit použitím zpětné diference pro diskretizaci časové derivace v (1), tj. použitím schématu U n+1 j − Uj n τ Toto schéma lze přepsat do tvaru = Un+1 j+1 − 2 Un+1 j + U n+1 j−1 . h 2 (17) −µ U n+1 j−1 + (1 + 2 µ) Un+1 j − µ U n+1 j+1 = Un j , j = 1, 2, . . ., J − 1 , n ≥ 0 . Jedná se o příklad implicitní <strong>metody</strong>. Danou hodnotu U n+1 j nyní nelze určit nezávisle na ostatních hodnotách na časové hladině t n+1 , nýbrž všechny tyto hodnoty získáme současně vyřešením soustavy J − 1 lineárních rovnic pro J − 1 neznámých. Stabilitu schématu (17) s počátečními a okrajovými podmínkami (7) a (8) můžeme vyšetřovat Fourierovou metodou analogicky jako pro schéma (6). Snadno zjistíme, že funkce Uj n = ei k j h λ n splňuje (17) právě tehdy, když λ ≡ λ(k) = 1 . 1 + 4 µ sin 2 k h 2 Tedy λ(k) ∈ (0, 1) pro libovolné µ > 0 a libovolné k ∈ R. nepodmíněně stabilní. Říkáme, že metoda je 7
Page 1 and 2: Stručný obsah části přednášk
Page 3 and 4: 1.4 Značení pro diference Dopřed
Page 5: Snadno se ověří, že pro m ∈ N
Page 9 and 10: 1.9 Dvoukrokové metody Výše uva
Page 11 and 12: můžeme psát Uj n = V j n + (−1
Page 13 and 14: způsobuje, že při nehladké poč
Page 15 and 16: Nyní můžeme definovat θ-schéma
Page 17 and 18: Je též možné položit b ∗ = 1
Page 19 and 20: a je splněna Parsevalova rovnost (
Page 21 and 22: Věta 5 Diferenční schéma (48) j

PribliznÃ© a numerickÃ© metody 1 1 ParabolickÃ© rovnice v jednÃ© ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?