Priblizné a numerické metody 1 1 Parabolické rovnice v jedné ...

Nyní můžeme definovat θ–schéma stejným způsobem jako výše. Soustava je opět tridiagonální
a má nyní J rovnic. Rovnice (36) je první rovnicí této soustavy.
Z (36) plyne, že v prvním vnitřním bodě je
Dostáváme tedy
z čehož plyne
δ 2 x U n 1 = U n 2 − 2 U n 1 + U n 0 = U n 2 − (2 − β n ) U n 1 − β n g n h .
U n+1
1 − U n 1 = µ θ {Un+1 2 − (2 − β n+1 ) U n+1
1 − β n+1 g n+1 h}
+ µ (1 − θ) {U n 2 − (2 − β n ) U n 1 − β n g n h} ,
[1 + θ µ (2 − β n+1 )] U n+1
1 = [1 − (1 − θ) µ (2 − β n )] U n 1 + θ µ Un+1 2 + (1 − θ) µ U n 2
−µh[θ β n+1 g n+1 + (1 − θ) β n g n ] .
Definujeme-li obvyklým způsobem chybu diskretizace ε n+1/2
1 , platí pro chybu aproximace
e n 1 = U n 1 − u(x 1 , t n )
[1 + θ µ (2 − β n+1 )] e n+1
1 = [1 − (1 − θ) µ (2 − β n )] e n 1 + θ µ e n+1
2 + (1 − θ) µ e n 2 − τ ε n+1/2
1 .
Jelikož se tato rovnice liší od rovnic v ostatních uzlech sítě, nemůžeme použít Fourierovu
analýzu chyby. Lze však využít princip maxima, nebot’ pro µ (1−θ) ≤ 1 jsou všechny koeficienty
nezáporné a součet koeficientů napravo není větší než koeficient nalevo. Můžeme
2
proto odhadnout chybu aproximace pomocí chyby diskretizace stejně jako výše.
Zbývá odhadnout ε n+1/2
1 . Uvažujme případ θ = 0 (explicitní metoda). Pak
U n+1
1 − U n 1
τ
Tedy (při označení u n j = u(x j , t n ))
ε n+1/2
1 = un+1
1 − u n 1
τ
= δ2 x U1
n + 1 h 2 h 2 [−Un 0 + βn U1 n − βn g n h]
[ ]
= δ2 x U1
n + βn U
n
1 − U0
n − α n U
h 2
0 n h h
− gn .
− δ2 x un 1
h 2
− βn
h
[
∆−x u n 1
h
− α n u n 0 − g n ]
= [u t + 1 2 u tt τ + . . .](x 1 , t n ) − [u xx + 1 12 u xxxx h 2 + . . .](x 1 , t n )
− βn
h [u x + 1 2 u xx h + . . . − α u − g](x 0 , t n )
≈ − 1 2 βn u xx (x 0 , t n ) .
Chyba diskretizace tudíž nekonverguje k nule. Důkaz konvergence chyby aproximace lze
sice zachránit, avšak diskrétní řešení je zatíženo poměrně velkou chybou.
Zkusme jiný postup. Zavedeme fiktivní hodnotu U−1 n vně [0, 1], takže okrajovou
podmínku (35) můžeme aproximovat vztahem
(37)
U n 1 − Un −1
2 h
= α n U n 0 + gn .
15