Priblizné a numerické metody 1 1 Parabolické rovnice v jedné ...

a je splněna Parsevalova rovnost
(43)
‖u‖ L 2 (R) = ‖û‖ L 2 (R) .
Pravá strana vztahu (42) je inverzní Fourierova transformace. Vztah (42) vyjadřuje funkci
u jako superpozici vln daných funkcemi e i x ξ s různými amplitudami û(ξ). Funkce û
představuje alternativní reprezentaci funkce u a může být komplexní, i když je funkce u
reálná.
Podobně jako výše lze postupovat též v diskrétním případě. Bud’ l ∈ R a označme
ϕ j (ξ) = 1 √
l
e −i(2 π j/l) ξ , ξ ∈ R , j ∈ Z.
Pak pro libovolné reálné číslo a tvoří množina {ϕ j } j∈Z úplný ortonormální systém v prostoru
L 2 (a, a + l). Je-li dána posloupnost U = {U j } j∈Z splňující ∑ j∈Z |U j| 2 < ∞, pak
řada ∑ j∈Z U j ϕ j konverguje v prostoru L 2 (a, a + l) k funkci Ũ a platí U j = ∫ a+l
Ũ ϕ
a j dξ.
Navíc je splněna Parsevalova rovnost ∑ j∈Z |U j| 2 = ‖Ũ‖2 L 2 (a,a+l). Předpokládejme nyní,
že hodnoty U j představují hodnoty sít’ové funkce v uzlech x j = j h. Zvolme a = −l/2,
l = 2 π/h a definujme funkci Û ∈ L2 (−π/h, π/h) vztahem
(44)
Û(ξ) = 1 √
2 π
∞
∑
j=−∞
h U j e −i x j ξ
(tj. Û = √ h Ũ). Pak U j = √ 1 ∫ π/h
Û(ξ) e i x j
(45)
ξ dξ ∀ j ∈ Z.
2 π
−π/h
Vztahy (44) a (45) jsou diskrétními analogiemi vztahů (41) a (42). Vztah (45) opět
vyjadřuje U jako superpozici vln. Označíme-li
∞∑
‖U‖ 2 = √ h |U j | 2
j=−∞
diskrétní analogii normy v prostoru L 2 (R), platí podobně jako v (43) Parsevalova rovnost
(46) ‖U‖ 2 = ‖Û‖ L 2 (−π/h,π/h) .
Uvažujme Cauchyovu úlohu najít funkci u = u(x, t) definovanou pro x ∈ R a t ≥ 0 a
splňující
(47)
u t + L u = 0 v R × R + , u(x, 0) = u 0 (x) pro x ∈ R ,
kde u 0 je zadaná počáteční podmínka a L je lineární diferenciální operátor s konstantními
koeficienty obsahující pouze derivace podle x. Obecné jednokrokové schéma pro úlohu
(47) na stejnoměrné síti s uzly x j = j h, j ∈ Z, má tvar
(48)
(49)
M∑
s=−M
α s U n+1
j+s =
M
∑
s=−M
U 0 j = u0 (x j ) ∀ j ∈ Z.
β s U n j+s ∀ j ∈ Z, n ∈ N 0 ,
19