Symulacje komputerowe zjawisk fizycznych z zakresu mechaniki

zaokrągleń niewiele wpływają na wynik obliczeń. Istotnym czynnikiem może jednak być błąd
obcięcia związany z zastosowaną metodą. Zobaczmy jak duży jest ten błąd dla metody Eulera.
Każdą funkcję można przedstawić za pomocą rozwinięcia w szereg Taylora.
y i1
= y i
y i
' h y ' ' i
2 ! h2 ... y n
i
n ! hn R n
gdzie R n
= y n1
i
n1! hn1 przy czym h=x i1
– x i oraz x i x i1
y i1
= y i
f x i
, y i
h[ f ' x i , y i h 2
... f n−1 x i , y i h n
0⋅h n1
2!
n!
]
Z poprzedniego równania widać, że błąd obcięcia wynosi
E t
= f ' x , y i i h2
...0⋅h n1
2 !
a gdy błąd przybliżamy do pierwszego wyrazu błędu obcięcia:
E t
= f ' x i , y i h 2
2 !
Jest to błąd lokalny na jednym kroku proporcjonalny do kwadratu kroku. Można też wykazać, że
błąd globalny (całkowity) jest proporcjonalny do pierwszej potęgi kroku.
Zobaczmy jak będzie wyglądała
implementacja powyższej metody dla
punktu materialnego umieszczonego
na równi pochyłej. Dla takiego
punktu druga zasada dynamiki
przyjmie postać:
F c
F s
=ma
zatem po rozpisaniu na składowe
otrzymamy
m ẍ=m g sin
m ÿ=m g cos
W klasycznej metodzie Eulera
położenie otrzymujemy przez dodanie
Rysunek 8: Siły działające na punkt materialny umieszczony na równi
pochyłej.
przedziału czasu mnożonego przez
prędkość. Tylko, że prędkość na początku przedziału jest inna niż na końcu, więc algorytm taki
należy poddać niewielkiej modyfikacji. Usprawnienie polega na podstawianiu do algorytmu,
prędkości ze środka przedziału. Gdy prędkość się zmienia i wiemy jaka jest w chwili czasu t to
stosując tę wartość nie otrzymamy poprawnego wyniku w czasie tdt . Analogicznie
postępujemy w przypadku obliczania prędkości biorąc przyspieszenie w połowie przedziału między
dwiema chwilami w których obliczamy prędkość.
Stosując zmodyfikowaną metodę Eulera [7] otrzymamy
xtdt=x tdt v x
dt
t
2
v x
dt
t
2 x =v dt
t−
2 dt at
a x t=g sin
a prędkość pośrednia dla chwili początkowej
v x dt
2 =v t x 0 dt
2 a t x 0
w analogiczny sposób wyznaczamy przyspieszenie, prędkość i położenie dla y-owej składowej.
15