Symulacje komputerowe zjawisk fizycznych z zakresu mechaniki

Prawo pól Keplera
Ruch w czasie którego jest zachowany moment pędu:
J =m r×v =const
ma dodatkowo w mechanice nierelatywistycznej, ze względu na stałość masy, tę własność, że:
J
2m = 1 r×v =const
2
gdzie wektor r×v / 2 jest nazywany prędkością polową punktu materialnego[6],[8],[9]. Nazwa
ta wywodzi się stąd, że wartość bezwzględna tego wektora pomnożona przez dt równa jest
∣r× ds∣/2 gdyż ds=v dt , a zatem przedstawia pole trójkąta zakreślone przez r w ciągu
t
1
czasu od t do tdt . Całka ∫ ∣r ×v∣dt daje więc pole zawarte pomiędzy wektorami
2
t 0
r t 0
, r t oraz łukiem toru w przedziale czasu 〈t 0
, t〉 . Wywnioskować zatem można, że
t
J
2m t – t = 1 ∫ 0
∣r×v∣dt
2
t 0
to znaczy pole rośnie liniowo z czasem, gdy J =const. , co stanowi jednocześnie treść drugiego
prawa Keplera. Wizualizację pola powierzchni zakreślanego przez promień wodzący w czasie
jednostkowego czasu (miesiąca) uzyskać możemy uruchamiając funkcję KEPLER().
Rysunek 37: Pole powierzchni zakreślane przez promień
wodzący w jednostkowym czasie.
Ruch ciała w polu dowolnej siły centralnej.
Przyjmując identyczne założenia jak poprzednio zobaczymy jak wygląda ruch w polu siły
centralnej na przykład F ~ 1 . W ruchu takim obowiązują identyczne zasady zachowania jak
r
poprzednio. Wartość energii jest taka, że ruch odbywa się w przedziale 〈r 1,
r 2
〉 . oznacza to, że w
płaszczyźnie prostopadłej do J ruch odbywa się wewnątrz pierścienia ograniczonego przez
okręgi o promieniach r 1 i r 2 . Co więcej, w odległości r 1 i r 2 od centrum siły wartość
prędkości radialnej równa jest zeru v r
=0 . Zatem tor takiego ciała jest styczny do obu okręgów
ograniczających pierścień dozwolonego ruchu [6],[9] (patrz plik ruch_w_pol_centr.py). Gdy
symulacja będzie trwała odpowiedni okres czasu zobaczymy, że trajektoria planety przebiega przez
47