Analiza stanu odkształcenia - Instytut Konstrukcji Budowlanych

12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA 14
u p'
=a p' j
⋅u j
. (12.61)
Podstawiając (12.61) do (12.60) otrzymano
u p' k '
= a p' j
⋅u j
∂ x i
⋅a k ' i
=a k ' i
⋅a p' j
⋅u j , i
. (12.62)
Podstawiając (12.57) i (12.62) do (12.51) otrzymano
k ' p'
= 1 2 ⋅ a k ' i
⋅a p' j
⋅u i , j
a k ' i
⋅a p' j
⋅u j ,i
, (12.63)
który będzie miał postać
k ' p'
=a k ' i
⋅a p' j
⋅ 1 2 ⋅ u i , j
u j ,i =a k ' i
⋅a p' j
⋅ ij
. (12.64)
Ze wzoru (12.64) widać, że (12.49) stanowi tensor drugiego rzędu nazywany tensorem odkształcenia. Tensor
ten jest tensorem symetrycznym.
W podobny sposób można udowodnić, że współrzędne w ij tworzą także tensor drugiego rzędu. Jednakże w
przeciwieństwie do tensora odkształcenia tensor ten jest tensorem skośnie symetrycznym (10.103). Tensor ten
nazywa się tensorem obrotu i ma postać
11
12
13
0 12
13
ij
=[ 21
22
23
31
32
33]=[ ]
− 12
0 .
23
− 13
− 23
0
(12.65)
We wzorze (12.65) wykorzystano właściwość tensora skośnie symetrycznego (10.104).
12.4 Odkształcenia główne
Podobnie jak dla tensora naprężenia istnieje pewien układ współrzędnych, w którym odkształcenia
liniowe będą ekstremalne natomiast odkształcenia postaciowe będą wynosiły zero. Odkształcenia główne
oblicza się z równania charakterystycznego
3 −I 1
⋅ 2 I 2
⋅−I 3
=0 , (12.66)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater