Analiza stanu odksztaÅ‚cenia - Instytut Konstrukcji Budowlanych

12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA 1 

12. 

12. Analiza stanu odkształcenia 

12.1. Składowe stanu odkształcenia 

Każda konstrukcja budowlana pod wpływem obciążenia doznaje odkształceń, które objawiają się 

zmianą kształtu i wymiarów elementów budowlanych. Rysunek 12.1 przedstawia odkształcony pod wpływem 

sił czynnych (P 1 , P 2 i P 3 ) i biernych (R 1 i R 2 ) element konstrukcji. 

P 2 

P 3 

P 1 

X 3 

A' 

R A 

2 

R 1 

u A 

X 1 

X 2 

Rys. 12.1. Odkształcony element konstrukcji. 

Odkształcenia zostaną opisane za pomocą współrzędnych w konfiguracji pierwotnej (przed odkształceniem). 

Na rysunku 12.1 punkt A po odkształceniu przemieścił się o wektor przemieszczenia u A do punktu A'. 

Wektor przemieszczenia można wyrazić jako 

u A =u 1 

A ⋅e 1 

u 2 A ⋅e 2 

u 3 A ⋅e 3 

. (12.1) 

Możemy wyróżnić dwa rodzaje odkształceń: 

1. Odkształcenia objętościowe, które powodują zmianę objętości bez zmiany postaci. 

2. Odkształcenia postaciowe, które powodują zmianę kształtu (postaci). 

Aby określić stan odkształcenia w punkcie należy rozpatrzyć równowagę elementarnego prostopadłościanu o 

wymiarach dx 1 , dx 2 i dx 3 , który będzie obciążony tensorem naprężenia (11.4). Jak zostanie pokazane w 

następnym wykładzie zależność między naprężeniami a odkształceniami jest liniowa, czyli jeżeli naprężenia 

wzrosną dwa razy to i odkształcenia wzrosną dwa razy. Jeżeli skutek (odkształcenia) są liniową funkcją 

przyczyny (naprężenia) to można zastosować zasadę superpozycji, czyli rozpatrywać osobno działanie 

naprężeń normalnych s 11 , s 22 , s 33 i naprężeń stycznych s 12 , s 23 , s 13 . Na koniec należy tylko zsumować skutki. 

Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki 

Dr inż. Janusz Dębiński 

AlmaMater


Zakładając, że naprężenia normalne są dodatnie (rozciągające) będą one powodowały zwiększenie długości 

krawędzi prostopadłościanu. Na rysunku 12.2 przedstawiono elementarny prostopadłościan pod wpływem 

działania naprężeń normalnych. Zmiany długości krawędzi zostały pokazane na rzutach prostopadłościanu na 

trzy płaszczyzny. 

dx 2 

Ddx 2 

dx 1 

dx 3 

Ddx 3 

X 3 

22 

P 

33 

11 

11 

22 

dx 3 

Ddx 3 

Ddx 1 

X 2 

dx 2 

Ddx 2 

X 1 

33 

Ddx 1 

dx 1 

Rys. 12.2. Odkształcenia objętościowe. 

Jak widać na rysunku 12.2 zmiany długości krawędzi wynoszą Ddx 1 , Ddx 2 , Ddx 3 . Taki stan odkształcenia 

można jednoznacznie opisać za pomocą trzech wielkości 

11 

= dx 1 

dx 1 

, (12.2) 



AlmaMater


22 

= dx 2 

dx 2 

, (12.3) 

33 

= dx 3 

dx 3 

. (12.4) 

Wielkości (12.2), (12.3) i (12.4) nazywamy odkształceniami liniowymi. Odkształcenia liniowe mogą 

przyjmować wartości dodatnie, ujemne oraz zero. 

Zmianie długości krawędzi towarzyszy zmiana objętości. Zmianę tą nazywa się odkształceniem 

objętościowym. Objętość prostopadłościanu przed odkształceniem wynosiła 

dV =dx 1 

⋅dx 2 

⋅dx 3 

. (12.5) 

Po odkształceniu objętość prostopadłościanu wynosi 

dV dV =dx 1 

dx 1 ⋅dx 2 

dx 2 ⋅dx 3 

dx 3 

. (12.6) 

Wzór (12.6) będzie miał postać 

⋅ 

dV dV =dx 1 dx 

1 

1 

dx 1 

⋅dx 2 ⋅ 1 dx 2 

dx 2 

 

⋅dx ⋅ 1 dx 

3 

3 

dx . (12.7) 

3 

Uwzględniając wzory (12.2), (12.3), (12.4) i (12.5) wzór (12.7) będzie miał postać 

dV dV =dV⋅1 11 ⋅1 22 ⋅1 33 

. (12.8) 

Wzór (12.8) można przekształcić do postaci 

dV dV 

dV 

=1 11 

22 

33 

11 

⋅ 22 

11 

⋅ 33 

22 

⋅ 33 

11 

⋅ 22 

⋅ 33 

. (12.9) 

Odkształcenia są wielkością małą natomiast ich iloczyny są wielkościami małymi wyższego rzędu. W związku 

z tym możemy pominąć człony zawierające iloczyny odkształceń. Wzór (12.9) będzie miał postać 



AlmaMater


dV 

dV = 11 22 33 

. (12.10) 

Wielkość po lewej stronie równania nazywa się względnym odkształceniem objętościowym lub dylatacją. 

Jak widać jest ona sumą wszystkich liniowych odkształceń. 

Odkształcenie prostopadłościanu wynikające z działania naprężeń stycznych wiąże się ze zmianą kształtu lub 

inaczej zmianą postaci. Zmianie ulegają kąty nachylenia krawędzi prostopadłościanu bez zmiany ich długości. 

X 3 

23 

32 

13 

23 

31 

23 

13 

P 

13 

12 

21 

X 2 

12 

12 

X 1 

Rys. 12.3. Odkształcenia postaciowe. 

Miarą zmiany postaci prostopadłościanu są trzy kąty. Pierwszy z nich w płaszczyźnie X 1 X 2 

12 

= 12 

12 

. (12.11) 

Drugi z nich w płaszczyźnie X 2 X 3 



AlmaMater


23 

= 23 

23 

. (12.12) 

Trzeci z nich w płaszczyźnie X 1 X 3 

13 

= 13 

13 

. (12.13) 

Interpretacją tych kątów jest różnica między kątem prostym w konfiguracji początkowej a kątem ostrym w 

konfiguracji aktualnej (odkształconej). 

Stan odkształcenia w punkcie opisują trzy składowe odkształcenia liniowego e 11 , e 22 , e 33 oraz trzy składowe 

odkształcenia postaciowego g 12 , g 13 , g 23 . 

12.2 Równania geometryczne Cauchy'ego 

W rozdziale tym zostaną podane zależności pomiędzy współrzędnymi wektora przemieszczenia a 

składowymi stanu odkształcenia. 

Rysunek 12.4 przedstawia rzut elementarnego prostopadłościanu na płaszczyznę X 1 X 2 . 

Odkształcenie liniowe e 11 wynosi 

∣P ' A' '∣−∣P A∣ 

11 

= 

∣P A∣ 

, (12.14) 

w którym 

∣P A∣=dx 1 (12.15) 

oraz 

∣P ' A' '∣=dx 1 

u 1 

∂ u 1 

∂ x 1 

⋅dx 1 

−u 1 

=dx 1 

∂ u 1 

∂ x 1 

⋅dx 1 

. (12.16) 

Ostatecznie odkształcenie liniowe e 11 wynosi 

11 

= 

dx 1 

∂ u 1 

∂ x 1 

⋅dx 1 

−dx 1 

dx 1 

= ∂ u 1 

∂ x 1 

. (12.17) 



AlmaMater


u 1 

∂ u 1 

∂ x 2 

⋅dx 2 

B 

X 2 

P A 

B'' 

B' 

D' 

u 2 

∂ u 2 

⋅dx 

∂ x 2 

2 

u B 

D 

A' 

∂u 2 

⋅dx 

∂ x 1 

1 

12 

u 1 

∂ u 1 

x 2 

dx 2 

u P 

P' 

u A 

12 

A'' 

u 2 

x 1 

dx 1 

∂ x 1 

⋅dx 1 

X 1 

Rys. 12.4. Rzut odkształconego elementarnego prostopadłościanu na płaszczyznę X 1X 2. 

W podobny sposób można wyznaczyć odkształcenie liniowe e 22 . 

∣P ' B ' '∣−∣P B∣ 

22 

= 

∣P B∣ 

, (12.18) 

w którym 

∣P B∣=dx 2 (12.19) 

oraz 

∣P ' B ' '∣=dx 2 

u 2 

∂ u 2 

∂ x 2 

⋅dx 2 

−u 2 

=dx 2 

∂ u 2 

∂ x 2 

⋅dx 2 

. (12.20) 



AlmaMater


Ostatecznie odkształcenie liniowe e 22 wynosi 

22 

= 

dx 2 

∂ u 2 

∂ x 2 

⋅dx 2 

−dx 2 

dx 2 

= ∂ u 2 

∂ x 2 

. (12.21) 

Z równań (12.17) i (12.21) wynika zależność 

33 

= ∂ u 3 

∂ x 3 

. (12.22) 

Z rysunku 12.4 wynika, że 

∣A' ' A'∣ 

tg 12 

= 

∣P ' A' '∣ , (12.23) 

w którym 

∣A' ' A'∣= ∂ u 2 

∂ x 1 

⋅dx 1 

. (12.24) 

Uwzględniając (12.16) wzór (12.24) będzie miał postać 

∂ u 2 

∂ x 1 

⋅dx 1 

tg 12 

= 

dx 1 

∂ u = 

1 

⋅dx 

∂ x 1 

1 

∂ u 2 

∂ x 1 

1 ∂ u 1 

∂ x 1 

. (12.25) 

W przypadku małych odkształceń tangens kąta równa się w przybliżeniu kątowi wyrażonemu w radianach. 

Ponadto wartość 

zapisać jako 

∂ u 1 

∂ x 1 

jest wielkością małą w porównaniu z jednością. Wzór (12.25) można ostatecznie 

12 

= ∂ u 2 

∂ x 1 

. (12.26) 



AlmaMater


Tangens kąta b 12 wymosi 

∣B ' ' B '∣ 

tg 12 

= 

∣P ' B ' '∣ , (12.27) 

w którym 

∣B ' ' B '∣= ∂ u 1 

∂ x 2 

⋅dx 2 

. (12.28) 

Uwzględniając (12.20) wzór (12.28) będzie miał postać 

∂ u 1 

∂ x 2 

⋅dx 2 

tg 12 

= 

dx 2 

∂ u = 

2 

⋅dx 

∂ x 2 

2 

∂ u 1 

∂ x 2 

1 ∂ u 2 

∂ x 2 

. (12.29) 

W przypadku małych odkształceń tangens kąta równa się w przybliżeniu kątowi wyrażonemu w radianach. 

Ponadto wartość 

zapisać jako 

∂ u 2 

∂ x 2 

jest wielkością małą w porównaniu z jednością. Wzór (12.29) można ostatecznie 

12 

= ∂ u 1 

∂ x 2 

. (12.30) 

Ostatecznie kąt odkształcenia postaciowego będzie miał postać 

12 

= ∂ u 1 

∂ x 2 

∂ u 2 

∂ x 1 

. (12.31) 

Analogicznie można wyznaczyć pozostałe odkształcenia postaciowe. 

23 

= ∂ u 2 

∂ x 3 

∂ u 3 

∂ x 2 

. (12.32) 



AlmaMater


13 

= ∂ u 1 

∂ x 3 

∂ u 3 

∂ x 1 

. (12.33) 

Równania (12.17), (12.21), (12.22), (12.31), (12.32) oraz (12.33) noszą nazwę równań geometrycznych 

Cauchy'ego. Wprowadzając oznaczenia odkształceń postaciowych 

{ 12 

=2⋅ 12 

23 

=2⋅ , 

23 

(12.34) 

13 

=2⋅ 13 

równania geometryczne można przedstawić w zapisie wskaźnikowym jako 

ij 

= 1 2 ⋅ u i , j 

u j ,i 

. (12.35) 

Wielkości u i,j oraz u j,i nazywa się gradientem przemieszczenia. Korzystając z wzoru (12.35) można zapisać 

ji 

= 1 2 ⋅ u j ,i 

u i , j 

. (12.36) 

Porównując wzory (12.35) i (12.36) można stwierdzić, że 

ij 

= ji 

. (12.37) 

Rozpisując równanie (12.35) można otrzymać wzory na odkształcenia liniowe 

{ 11 

=u 1,1 

= 

∂ u 1 

∂ x 1 

22 

=u 2,2 

= ∂ u 2 

(12.38) 

∂ x 2 

33 

=u 3,3 

= ∂ u 3 

∂ x 3 

oraz wzory na odkształcenia postaciowe 



AlmaMater


{ 12 

= 1 2 ⋅ u 1,2 

u 2,1 = 1 2 ⋅ 

∂ u 1 

∂ u 2 

1 ∂ x 2 

∂ x 

23 

= 1 2 ⋅ u 2,3 

u 3,2 = 1 2 ⋅ ∂ u 2 

∂ u 3 

2 ∂ x 3 

∂ x 

13 

= 1 2 ⋅ u 1,3 

u 3,1 = 1 2 ⋅ ∂ u 1 

∂ u 3 

1 ∂ x 3 

∂ x 

. (12.39) 

Dodatkową informację o deformacji daje kąt obrotu dwusiecznej zawartej między krawędziami elementarnego 

prostopadłościanu. Rysunek 12.5 przedstawia obrót dwusiecznej kąta zawartego między krawędziami w 

konfiguracji pierwotnej i aktualnej. Dodatni kąt obrotu dwusiecznej w 12 następuje od osi X 2 do osi X 1 . 

X 2 

P A 

B' 

D' 

12 

12 

B 

P' 

D 

 

12 

45 o 

A' 

45 o 

X 1 

Rys. 12.5. Obrót dwusiecznej kąta między krawędziami. 

Zaznaczony na rysunku kąt d wynosi 

= 90o − 12 

12 

=45 o 12 

12 

− 

2 

2 

. (12.40) 

Kąt obrotu dwusiecznej można wyznaczyć z zależności 



AlmaMater


 

45 o = 12 

45 o 12 

12 . 

− (12.41) 

2 

12 

Kąt obrotu dwusiecznej ostatecznie wynosi 

12 

= 12 

− 12 

2 

. (12.42) 

Korzystając z równań (12.26) i (12.30) kąt obrotu dwusiecznej wynosi 

12 

= 1 2 ⋅ ∂ u 1 

∂ x 2 

− ∂ u 2 

∂ x 1 . (12.43) 

Z wzoru (12.43) można wyliczyć wartość kąta w 21 , która wynosi 

21 

= 1 2 ⋅ ∂ u 2 

∂ x 1 

− ∂ u 1 

∂ x 2 . (12.44) 

Korzystając z równań (12.26) i (12.30) wzór (12.44) będzie miał postać 

21 

= − 12 12 

=− . 

2 

12 

(12.45) 

Analogicznie można zapisać dla pozostałych kątów obrotu 

23 

=− 32 

= 1 2 ⋅ ∂ u 2 

∂ x 3 

− ∂ u 3 

∂ x 2 , (12.46) 

13 

=− 31 

= 1 2 ⋅ ∂ u 1 

∂ x 3 

− ∂ u 3 

∂ x 1 . (12.47) 

Kąt obrotu dwusiecznej można zapisać ogólnie 



AlmaMater


ij 

=− ji 

= 1 2 ⋅ ∂ u i 

− ∂ u 

j 

∂ x j 

∂ x . (12.48) 

i 

12.3 Tensor odkształcenia 

Sześć składowych stanu odkształcenia wyrażonych równaniami (12.38) i (12.39) można zapisać w 

postaci tablicy 

ij 

=[ 11 

12 

13 

21 

22 

23 

31 

32 

33] 

. (12.49) 

Tablica ta jest podobna do tensora naprężenia (11.4). Aby tablica (12.49) była tensorem musi ona spełniać 

prawo transformacji tensora (10.74), które w przypadku stanu odkształcenia będzie miało postać 

k ' p' 

=a k ' i 

⋅a p' j 

⋅ ij 

. (12.50) 

Korzystając z wzoru (12.35) lewą stronę (12.50) można wyrazić jako 

k ' p' 

= 1 2 ⋅ u k ' , p' 

u p' , k ' 

. (12.51) 

Gradient przemieszczenia można wyrazić jako 

u k ' p' 

= ∂ u k ' 

∂ x p' 

= ∂ u k ' 

∂ x j 

⋅ ∂ x j 

∂ x p' 

. (12.52) 

Korzystając z (10.52) można wzór (12.52) zapisać jako 

u k ' p' 

= ∂ u k ' 

∂ x p' 

= ∂ u k ' 

∂ x j 

⋅a jp' 

. (12.53) 

Ze względu na to, że funkcja cosinus jest funkcją parzystą można zapisać 



AlmaMater


a jp' 

=a p' j (12.54) 

czyli kosinus kąta między osią j a osią p' równa się kosinusowi między osią p' a osią j. Wzór (12.53) można 

więc zapisać 

u k ' p' 

= ∂ u k ' 

∂ x p' 

= ∂ u k ' 

∂ x j 

⋅a p' j 

. (12.55) 

Z prawa transformacji wektora (10.50) 

u k ' 

=a k ' i 

⋅u i 

. (12.56) 

Podstawiając (12.56) do (12.55) otrzymano 

u k ' p' 

= a k ' i 

⋅u i 

∂ x j 

⋅a p' j 

=a k ' i 

⋅a p' j 

⋅u i , j 

. (12.57) 

Z równania (12.57) widać, że gradienty przemieszczeń tworzą tensor drugiego rzędu. 

u p' k ' 

= ∂ u p' 

∂ x k ' 

= ∂ u p' 

∂ x i 

⋅ ∂ x i 

∂ x k ' 

. (12.58) 

Korzystając z (10.52) można wzór (12.58) zapisać jako 

u p' k ' 

= ∂ u p' 

∂ x k ' 

= ∂ u p' 

∂ x i 

⋅a ik ' 

. (12.59) 

Wzór (12.59) można zapisać 

u p' k ' 

= ∂ u p' 

∂ x k ' 

= ∂ u p' 

∂ x i 

⋅a k ' i 

. (12.60) 

Z prawa transformacji wektora (10.50) 



AlmaMater


u p' 

=a p' j 

⋅u j 

. (12.61) 

Podstawiając (12.61) do (12.60) otrzymano 

u p' k ' 

= a p' j 

⋅u j 

∂ x i 

⋅a k ' i 

=a k ' i 

⋅a p' j 

⋅u j , i 

. (12.62) 

Podstawiając (12.57) i (12.62) do (12.51) otrzymano 

k ' p' 

= 1 2 ⋅ a k ' i 

⋅a p' j 

⋅u i , j 

a k ' i 

⋅a p' j 

⋅u j ,i 

, (12.63) 

który będzie miał postać 

k ' p' 

=a k ' i 

⋅a p' j 

⋅ 1 2 ⋅ u i , j 

u j ,i =a k ' i 

⋅a p' j 

⋅ ij 

. (12.64) 

Ze wzoru (12.64) widać, że (12.49) stanowi tensor drugiego rzędu nazywany tensorem odkształcenia. Tensor 

ten jest tensorem symetrycznym. 

W podobny sposób można udowodnić, że współrzędne w ij tworzą także tensor drugiego rzędu. Jednakże w 

przeciwieństwie do tensora odkształcenia tensor ten jest tensorem skośnie symetrycznym (10.103). Tensor ten 

nazywa się tensorem obrotu i ma postać 

11 

12 

13 

0 12 

13 

ij 

=[ 21 

22 

23 

31 

32 

33]=[ ] 

− 12 

0 . 

23 

− 13 

− 23 

0 

(12.65) 

We wzorze (12.65) wykorzystano właściwość tensora skośnie symetrycznego (10.104). 

12.4 Odkształcenia główne 

Podobnie jak dla tensora naprężenia istnieje pewien układ współrzędnych, w którym odkształcenia 

liniowe będą ekstremalne natomiast odkształcenia postaciowe będą wynosiły zero. Odkształcenia główne 

oblicza się z równania charakterystycznego 

3 −I 1 

⋅ 2 I 2 

⋅−I 3 

=0 , (12.66) 



AlmaMater


w którym I 1 , I 2 i I 3 są niezmiennikami stanu odkształcenia. Pierwszy niezmiennik ma postać 

I 1 

= kk 

= 11 

22 

33 

. (12.67) 

Porównując wzór (12.67) i (12.10) można stwierdzić, że pierwszy niezmiennik stanu odkształcenia równa się 

względnemu odkształceniu objętościowemu. 

Drugi niezmiennik stanu odkształcenia ma postać 

I 2 

= ∂∣ ij ∣ 

∂ kk 

= ∂∣ ij ∣ 

∂ 11 

∂∣ ij ∣ 

∂ 22 

∂∣ ij ∣ 

∂ 33 

, (12.68) 

który można przedstawić w postaci 

=∣ 

I 11 

12 

2 

21 

22∣ ∣ 11 

13 

31 

33∣ ∣ 22 

23 

32 

33∣ . (12.69) 

Trzeci niezmiennik stanu odkształcenia ma postać 

I 3 

=∣ ij 

∣=∣ 11 

12 

13 

21 

22 

23 

31 

32 

33∣ 

. (12.70) 

Rozwiązaniem równania (12.66) są trzy odkształcenia główne, które można uporządkować w sposób 

I 

=max 1 

, 2 

, 3 

 

III 

=min 1 

, 2 

, 3 

 

(12.71) 

natomiast 

III 

II 

I 

. (12.72) 

Odkształcenia e I , e II , e III nazywa się odkształceniami głównymi uporządkowanymi. 

Chcąc wyznaczyć kierunki główne odpowiadające poszczególnym odkształceniom głównym należy wartości 

odkształceń uporządkowanych wstawić do układu równań podobnego do (11.72). Układ równań będzie miał w 



AlmaMater


przypadku stanu odkształcenia postać 

{ 11 

− I ⋅n 1 1 

21 

⋅n 1 2 

31 

⋅n 1 3 

=0 

12 

⋅n 1 1 

22 

− I ⋅n 1 2 

32 

⋅n 1 3 

=0 

13 

⋅n 1 1 

23 

⋅n 1 2 

33 

− I ⋅n 1 3 

=0 

. (12.73) 

Układ równań (12.73) jest układem równań jednorodnym, z którego można obliczyć jedynie stosunki 

pomiędzy kosinusami kierunkowymi n 1 

(1) 

, n 2 

(1) 

, n 3 

(1) 

. Chcąc wyznaczyć kierunki główne związane z 

odkształceniem e I należy wstawić warunek, który muszą spełniać kosinusy kierunkowe n 1 

(1) 

, n 2 

(1) 

, n 3 

(1) 

(na 

podstawie (10.61)) 

1 

[n 1 ] 2 1 

[n 2 ] 2 [n 

1] 2 3 

=1 . (12.74) 

Podstawiając pozostałe naprężenia główne można wyznaczyć pozostałe kosinusy kierunkowe. Zamiast jednego 

z równań układu jednorodnego należy podstawić zależności 

2 

[n 1 ] 2 2 

[n 2 ] 2 [n 

2] 2 3 

=1 , (12.75) 

3 

[n 1 ] 2 3 

[n 2 ] 2 [n 

3] 2 3 

=1 . (12.76) 

Kosinusy te będą tworzyły macierz transformacji w postaci 

[n 

1 

1 

2 

n 1 

3 

n 1 

n 2 

1 

n 2 

2 

n 2 

3 

n 3 

1 

n 3 

2 

n 3 

3] 

. (12.77) 

Aby układ współrzędnych był układem prawoskrętnym musi być spełniony warunek 

∣n 

1 

1 

2 

n 1 

3 

n 1 

n 2 

1 

n 2 

2 

n 2 

3 

n 3 

1 

n 3 

2 

n 3 

3∣=1 . (12.78) 

Jeżeli wyznacznik równa się minus jeden należy w jednym wierszu zmienić wszystkie znaki na przeciwne. 



AlmaMater


12.5 Ekstremalne odkształcenia postaciowe 

Położenie układu współrzędnych, w którym odkształcenia postaciowe przyjmują wartości ekstremalne 

najwygodniej jest określić w układzie osi głównych ( e 1 > e 2 > e 3 ). Wzory transformacyjne mają postać 

1' 1' 

=a 2 1' 1 

⋅ 1 

a 2 1' 2 

⋅ 2 

a 2 1' 3 

⋅ , 

3 

2' 2' 

=a 2 2' 1 

⋅ 1 

a 2 2' 2 

⋅ 2 

a 2 2' 3 

⋅ , 

3 

3' 3' 

=a 2 3' 1 

⋅ 1 

a 2 3' 2 

⋅ 2 

a 2 3' 3 

⋅ , 

3 

1' 2' 

=a 1' 1 

⋅a 2' 1 

⋅ 1 

a 1' 2 

⋅a 2' 2 

⋅ 2 

a 1' 3 

⋅a 2' 3 

⋅ 3 

, 

1' 3' 

=a 1' 1 

⋅a 3' 1 

⋅ 1 

a 1' 2 

⋅a 3' 2 

⋅ 2 

a 1' 3 

⋅a 3' 3 

⋅ 3 

, 

(12.79) 

(12.80) 

(12.81) 

(12.82) 

(12.83) 

2' 3' 

=a 2' 1 

⋅a 3' 1 

⋅ 1 

a 2' 2 

⋅a 3' 2 

⋅ 2 

a 2' 3 

⋅a 3' 3 

⋅ 3 

. (12.84) 

Ekstremalne odkształcenia postaciowe będą się znajdowały na płaszczyznach nachylonych pod kątem 45 

stopni w stosunku do układu osi głównych. 

Dla układu współrzędnych obróconemu o 45 stopni wokół osi X 3 macierz transformacji ma postać (kąt 

dodatni kręci od osi X 1 do X 2 ) 

a i ' j 

=[a 1' 1 

a 1' 2 

a 1' 3 

a 2' 1 

a 2' 2 

a 2' 3 

a 3' 1 

a 3' 2 

a 3' 3]=[ 

2 2 

0] 

2 2 

− 2 2 

2 2 

0 0 

0 

. 

0 

(12.85) 

Odkształcenia w układzie transponowanym opisuje tensor odkształcenia 

=[ 

 

i ' j' 

1 

2 

2 

− − 0] 

1 2 

2 

− − 1 2 

1 

2 

2 2 

0 0 

0 

. 

0 

(12.86) 



AlmaMater


Dla układu współrzędnych obróconemu o 45 stopni wokół osi X 1 (kąt dodatni kręci od osi X 2 do osi X 3 ) 

macierz transformacji ma postać 

0 0 

1' 1 

a 1' 2 

a 1' 3 2 2 

0 

a i ' j 

=[a a 2' 1 

a 2' 2 

a 2' 3 

2 2 

a 3' 1 

a 3' 2 

a 3' 3]=[0 

0 − 2 

2 

2 

2 

] 

. 

(12.87) 


0 0 

 

0 

2 

3 

i ' j' 

=[0 ] 

− − 2 3 

2 2 . 

0 − − 2 3 

2 

3 

2 2 

(12.88) 

Dla układu współrzędnych obróconemu o 45 stopni wokół osi X 2 (kąt dodatni kręci od osi X 3 do osi X 1 ) 

macierz transformacji ma postać 

0 − 

1' 1 

a 1' 2 

a 1' 3 2 

a i ' j 

=[a a 2' 1 

a 2' 2 

a 2' 3 

a 3' 1 

a 3' 2 

a 3' 3]=[2 2 

] 

2 

0 0 0 . 2 

0 

2 2 

(12.89) 


=[ 

 

i ' j' 

3 

1 

0 − 3 − 1 

2 

2 

0 0 0 

− 3 − 1 

2 

0 

3 

1 

2 

] 

. 

(12.90) 



AlmaMater


Ogólnie można powiedzieć, że pierwsze z ekstremalnych odkształceń postaciowych wyznacza się ze wzoru 

maxI /minI 

=± 1 − 2 

2 

, (12.91) 

a odpowiadające mu odkształcenia liniowe wyznacza się ze wzoru 

I 

= 1 2 

2 

. (12.92) 

Drugie z ekstremalnych odkształceń postaciowych wyznacza się ze wzoru 

maxII /minII 

=± 2 − 3 

2 

, (12.93) 


II 

= 2 3 

2 

. (12.94) 

Trzecie z ekstremalnych odkształceń postaciowych wyznacza się ze wzoru 

maxIII /minIII 

=± 3 − 1 

2 

, (12.95) 


III 

= 3 1 

2 

. (12.96) 

12.6 Rozkład tensora odkształcenia na aksjator i dewiator 

Tensor odkształcenia, tak samo jak i każdy inny symetryczny tensor rzędu drugiego można rozłożyć na 

część aksjatorową (część kulistą) oraz część dewiatorową. Zgodnie ze wzorem (10.107) aksjator będzie 

wynosił 



AlmaMater


O ij 

= 1 3 ⋅ ⋅ pp ij 

. (12.97) 

Aksjator można przedstawić w formie tablicy 

O ij 

=[1 

3 ⋅ pp 

0 0 

0 

0 0 

1 

3 ⋅ pp 

0 

. (12.98) 

1 

3 

pp] ⋅ 

We wzorach (12.97) i (12.98) e pp równa się pierwszemu niezmiennikowi tensora naprężenia. Zgodnie ze 

wzorem (10.109) dewiator tensora naprężenia będzie wynosił 

=[ 11 

− 1 3 ⋅ pp 

12 

13 

D ij 

= ij 

− 1 3 ⋅ ⋅ pp ij 21 

22 

− 1 3 ⋅ pp 

. 

23 

(12.99) 

31 

32 

33 

− 1 3 

pp] ⋅ 

Dla tensora odkształcenia w osiach głównych rozkład na aksjator i dewiator będzie miał postać 

3 

gl 

=[1 

⋅ pp 

0 0 

I 

− 

1 

0 

3 ⋅ pp 

0 

1 

0 0 

3 

pp][ 1 3 ⋅ pp 

0 0 

0 II 

− 1 3 ⋅ pp 

0 , (12.100) 

⋅ 0 0 III 

− 1 3 

pp] ⋅ 

w którym 

pp 

= I 

II 

III 

. (12.101) 



AlmaMater


Jak łatwo sprawdzić pierwszy niezmiennik dewiatora (suma odkształceń na głównej przekątnej) równa się 

zero. 

Dewiator tensora odkształcenia w osiach głównych można zapisać jako 

D 

I 

D ij 

=[ 

0 0 

D 

0 II 

0 . (12.102) 

0 0 

D] 

III 

Korzystając z zależności 

D III 

=− D D 

I 

− II 

(12.103) 

wzór (12.102) będzie miał postać 

D 

I 

D ij 

=[ 

0 0 

D 

0 II 

0 , (12.104) 

0 0 − D I 

− 

D] 

II 

który można przedstawić jako sumę dwóch tensorów 

D 

I 

D ij 

=[ 

0 0 0 0 

D 

0 0 0 0 II 

0 . (12.105) 

0 0 − 

D][0 I 0 0 − 

D] 

II 

Każdy z tych tensorów reprezentuje stan odkształcenia nazywany czystym odkształceniem postaciowym. Dla 

pierwszego z tensorów zgodnie ze wzorem (12.90) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą 

=[ 

− 

i ' j' 

D D 

I 

I 

0 − − D D 

I 

− I 

D 

2 

2 0 0 I 

] 

0 0 0 

. 

0 0 0 

− − D D 

I 

− I 

− D D D 

0 

I 

I I 

0 0 

2 

2 

]=[ 

(12.106) 



AlmaMater


Dla drugiego z tensorów zgodnie ze wzorem (12.88) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą 

0 0 

II 

0 

i ' j' 

=[0 D D 

− II 

− D D 

II 

−− II ]=[0 0 0 

] 

D 

2 

2 0 0 − . 

II 

0 − D II 

−− 

D II 

D D 

II 

− 

D II 

0 − II 

0 

2 

2 

(12.107) 

Rysunek 12.6 przedstawia dwa czyste ścinania reprezentowane przez tensory (12.105). 

X I 

I 

D 

2 

I 

D 

2 

X III 

D 

II 

2 

D 

II 

2 

D 

I 

I 

D 

2 

D 

II 

2 

I 

D 

2 

D 

 

II 

D 

II 

2 

X III 

X II 

Rys. 12.6. Dwa czyste ścinania. 


D II 

=− D D 

I 

− III 

(12.108) 


D 

I 

D ij 

=[ 

0 0 

0 − D D 

I 

− III 

0 . (12.109) 

0 0 

D] 

III 




AlmaMater


D 

I 

D ij 

=[ 

0 0 0 0 

D 

D 

0 − I 

0 0 − III 

0 . (12.110) 

0 0 0][0 0 0 

D] 

III 

Dla pierwszego tensora zgodnie z (12.86) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą 

=[ 

 

i ' j' 

D D 

I 

− I 

2 

− I 

D −− I 

D 

2 

− D D 

I 

−− I 

2 

D I 

− 

D I 

0 0 0]=[ 

2 

0 

0 

D 

0 − I 

0 

0] 

. 

0 0 

0 0 

− I 

D 

(12.111) 

Dla drugiego tensora zgodnie z (12.88) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą 

0 0 

− 

0 

III 

i ' j' 

=[0 D D 

III 

− − D D 

III 

− 

]=[0 III 

0 0 

] 

D 

2 

2 0 0 . 

III 

0 − − D D 

III 

− III 

− D D 

D 

III 

III 0 III 

0 

2 

2 

(12.112) 


X II 

I 

D 

2 

I 

D 

2 

X III 

D 

III 

2 

D 

III 

2 

D 

I 

I 

D 

2 

D 

III 

2 

I 

D 

2 

D 

III 

D 

III 

2 

X I 

X II 




AlmaMater



D I 

=− D D 

II 

− III 

(12.113) 


II 

D ij 

=[− D D 

− III 

0 0 

D 

0 II 

0 . (12.114) 

0 0 

D] 

III 


D 

II 

D ij 

=[− 

D 

0 0 III 

0 0 

D 

0 II 

0 0 0 0 

. (12.115) 

0 0 0][− 

0 0 

D] 

III 

Dla pierwszego tensora zgodnie z (12.86) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą 

=[ 

− 

i ' j' 

D D 

II 

II 

2 

− − D II 

− II 

2 

D 

− − D D 

II 

− II 

2 

− D D 

II 

II 

2 

0 0 0]=[ 

0 

0 

0 

D 

II 

0 

0] 

. 

0 0 

0 0 

D 

II 

(12.116) 

Dla drugiego tensora zgodnie z (12.90) ekstremalne odkształcenia postaciowe wynoszą 

=[ 

 

i ' j' 

D D 

III 

− III 

2 

− III 

0 − D D 

III 

−− III 

2 

0 0 0 

D 

−− 

D III 

2 

0 

D 

D III 

− III 

2 

]=[ − III 

D 

0 0 − III 

0 0 0 

D 

0 0 ] 

. 

(12.117) 



AlmaMater



X II 

D 

II 

2 

D 

II 

2 

X I 

D 

III 

2 

D 

III 

2 

D 

II 

D 

III 

D 

II 

2 

D 

III 

2 

D 

II 

2 

D 

III 

2 

X I 

X III 


12.7 Płaski stan odkształcenia 

Płaski stan odkształcenia jest szczególnym przypadkiem stanu odkształcenia. Występuje on na przykład 

wtedy, gdy wszystkie odkształcenia z indeksem 3 są równe zero. Tensor odkształcenia będzie miał w układzie 

współrzędnych X 1 X 2 postać 

11 

12 

0 

ij 

=[ 0] 

21 

22 

0 . 

0 0 

(12.118) 

Płaski stan odkształcenia może występować w długiej ścianie oporowej, w której obciążenie w kierunku osi X 3 

nie zmienia się natomiast obciążeniem ściany oporowej w kierunku osi X 1 może być na przykład parcie wody 

lub parcie gruntu p(x 2 ). Ścianę taką przedstawia rysunek 12.9. 

Rozpatrując wycięty myślowo element ściany należy stwierdzić, że aby element ten był poddany płaskiemu 

stanowi odkształcenia muszą się pojawić naprężenia s 33 czyli tensor naprężenia stowarzyszony z płaskim 

stanem odkształcenia będzie miał postać 

ij 

=[ 11 

12 

0 

21 

22 

0 

0 0 33] 

. (12.119) 

Ogólnie można stwierdzić, że płaskiemu stanowi odkształcenia nie towarzyszy płaski stan naprężenia. 

Zostanie do dokładnie omówione w następnym wykładzie. 



AlmaMater


X 2 

p(x 2 

) 

X 1 

33 

33 

X 3 

Rys. 12.9. Ściana oporowa. 

Ze względu na podobieństwa pomiędzy tensorem odkształcenia i tensorem naprężenia wzory w płaskim stanie 

odkształcenia będą podobne do wzorów dla płaskiego stanu naprężenia opisanych w punkcie 7.5. Zamiast 

naprężeń normalnych będą występowały odpowiednie odkształcenia liniowe natomiast zamiast naprężeń 

stycznych będą występowały odkształcenia postaciowe. Indeks X będzie się równał indeksowi 1 a indeks Y 

indeksowi 2. Przykładowe odkształcenia liniowe i postaciowe przedstawia rysunek 12.10. 

X 2 

X 1 

dx 2 

dx 2 

X 2 

2⋅ 12 

=2⋅ 21 

dx 1 

dx 1 

X 1 

Rys. 12.10. Odkształcenia liniowe i postaciowe w płaskim stanie odkształcenia. 

Wzory transformacyjne będą miały dla płaskiego stanu odkształcenia postać 



AlmaMater


1' 1' 

= 11 22 

2 

− 11 22 

⋅cos2⋅ 

2 

12 

⋅sin2⋅ , 

(12.120) 

2' 2' 

= 11 22 

2 

− − 11 22 

⋅cos2⋅− 

2 

12 

⋅sin2⋅ , 

(12.121) 

1' 2' 

=− − 11 22 

⋅sin2⋅ 

2 

12 

⋅cos2⋅ . (12.122) 

Kąt nachylenia osi głównych wynosi 

tg 2⋅ gl 

= 2⋅ 12 

11 

− 22 

. (12.123) 

Podstawiając wartość kąta głównego do wzorów (12.120) i (12.121) można uzyskać wartości odkształceń 

głównych. Wartości te można sprawdzić za pomocą wzoru 

1/2 

= 11 22 

2 

± − 2 

11 22 2 . 

2 

(12.124) 

12 

Kąt nachylenia ekstremalnych odkształceń postaciowych można obliczyć ze wzoru 

tg 2⋅ post 

=− 11 − 22 

2⋅ 12 

. (12.125) 

Podstawiając wartość kąta a post do wzoru (12.122) można uzyskać wartość ekstremalnych odkształceń 

postaciowych. Wartość tę można sprawdzić za pomocą wzoru 

12 ext 

=± − 2 

11 22 2 . 

2 

(12.126) 

12 

Podstawiając wartość kąta a post do wzorów (12.120) i (12.121) można uzyskać wartość odkształceń liniowych 

odpowiadających ekstremalnym odkształceniom postaciowym. Wartości te można sprawdzić za pomocą 

wzoru 



AlmaMater


11 post 

= 22 post 

= 11 22 

2 

. (12.127) 

12.8 Tensor odkształcenia dla odkształceń skończonych 

Gdy ciało odkształcalne poddane jest działaniu obciążenia, to poszczególne punkty poruszają się, co dla 

obserwatora zewnętrznego widoczne jest jako przemieszczanie i obrót poszczególnych jego części. 

Najwygodniejszym sposobem rozróżnienia odkształcenia ciała i jego ruchu jako bryły sztywnej jest zbadanie 

zmian odległości pomiędzy dwoma punktami położonymi bardzo blisko siebie. Ciało, które zostało 

odkształcone i przemieszczone pod wpływem sił czynnych i biernych przedstawia rysunek 12.11. 

P 2 

R 1 

P 1 

u A 

A'(x i 

) 

ds 

B'(x i 

+dx i 

) 

X 3 

=x 3 

A(x i 

) 

R 2 

X 1 

=x 1 

ds 0 

u B 

B(x i 

+dx i 

) 

X 2 

=x 2 

Rys. 12.11. Ciało pod wpływem działania sił czynnych i biernych. 

Punkt A w konfiguracji pierwotnej ma współrzędne x i natomiast po odkształceniu w konfiguracji aktualnej 

punkt A przemieścił się do punktu A' o współrzędnych x i . Podobnie punkt B w konfiguracji pierwotnej znalazł 

się w konfiguracji aktualnej w punkcie B'. Pierwotną odległość ds 0 pomiędzy punktami A i B oblicza się z 

zależności 

ds 0 2 =dx 1 2 dx 2 2 dx 3 2 =dx i 

⋅dx i 

. (12.128) 

Odległość punktów A' i B' po odkształceniu oblicza się ze wzoru 



AlmaMater


ds 2 =d 1 2 d 2 2 d 3 2 =d i 

⋅d i 

. (12.129) 

Poprzednio zakładano, że odkształcenia są bardzo małe. Obecnie nie będą nakładane na odkształcenia żadne 

ograniczenia. Odkształcenia takie nazywają się odkształceniami skończonymi. 

Opisując stan odkształcenia ciała można posłużyć się współrzędnymi punktów w konfiguracji pierwotnej x i . 

Opis taki nazywa się opisem materialnym lub opisem Lagrange'a. Można się także posłużyć współrzędnymi 

w konfiguracji aktualnej x i . Opis taki nazywa się opisem przestrzennym lub opisem Eulera. 

W opisie Lagrange'a współrzędne w konfiguracji aktualnej (po odkształceniu) wyraża się za pomocą 

współrzędnych w konfiguracji pierwotnej. Wektor przemieszczenia punktu A ma współrzędne 

u i A =u i 

= i 

−x i 

. (12.130) 

Wektor przemieszczenia punktu B ma współrzędne 

u i B = i 

d i − x i 

dx i 

. (12.131) 

Z równania (12.130) można otrzymać zależność 

i 

=u i 

x i 

=u i x 1 

, x 2 

, x 3 x i 

. (12.132) 

Po obliczeniu różniczek z lewej i prawej strony otrzymano 

d i 

= ∂ u i 

∂ x 1 

⋅dx 1 

∂ u i 

∂ x 2 

⋅dx 2 

∂ u i 

∂ x 3 

⋅dx 3 

dx i 

= ∂ u i 

∂ x j 

⋅dx j 

dx i 

. (12.133) 

Długość odcinak A'B' w konfiguracji aktualnej wynosi 

= 

ds 2 =d i 

⋅d ∂ u i 

i 

⋅dx 

∂ x j 

dx i ⋅ ∂ u i 

⋅dx 

j 

∂ x k 

dx i . (12.134) 

k 

Po wymnożeniu otrzymano 

ds 2 = ∂ u i 

∂ x j 

⋅dx j 

⋅ ∂ u i 

∂ x k 

⋅dx k 

∂ u i 

∂ x j 

⋅dx j 

⋅dx i 

∂ u i 

∂ x k 

⋅dx k 

⋅dx i 

dx i 

⋅dx i 

. (12.135) 



AlmaMater


W członie pierwszym należy zamienić wskaźniki i na k oraz k na i. W członie trzecim należy zmienić 

wskaźniki i na j oraz k na i. Wzór (12.135) będzie miało postać 

ds 2 = ∂ u k 

∂ x j 

⋅dx j 

⋅ ∂ u k 

∂ x i 

⋅dx i 

∂ u i 

∂ x j 

⋅dx j 

⋅dx i 

∂ u j 

∂ x i 

⋅dx i 

⋅dx j 

dx i 

⋅dx i 

. (12.136) 

Różnica odległości w konfiguracji aktualnej i konfiguracji pierwotnej wynosi 

ds 2 −ds 0 2 = ∂ u k 

∂ x j 

⋅dx j 

⋅ ∂ u k 

∂ x i 

⋅dx i 

∂ u i 

∂ x j 

⋅dx j 

⋅dx i 

∂ u j 

∂ x i 

⋅dx i 

⋅dx j 

dx i 

⋅dx i 

−dx i 

⋅dx i 

, (12.137) 

który można przedstawić w formie 

⋅ 

ds 2 −ds 0 2 =dx i 

⋅dx ∂ u i 

j 

∂ u j 

∂ u k 

⋅ ∂ u k 

j ∂ x j 

∂ x i 

∂ x i 

∂ x . (12.138) 

Wzór (12.138) można przekształcić 

ds 2 −ds 0 2 

2⋅dx i 

⋅dx j 

= ij L = 1 2 ⋅ ∂ u i 

∂ x j 

∂ u j 

∂ x i 

∂ u k 

∂ x i 

⋅ ∂ u k 

∂ x j . (12.139) 

Wzór (12.139) określa tensor dla odkształceń skończonych Lagrange'a (Greena). Jest to zbiór dziewięciu 

bezwymiarowych wartości skalarnych, z których tylko sześć jest niezależnych ze względu na 

L L 

ij 

= . 

ji 

(12.140) 

Dla i=1 i j=1 wzór (12.139) będzie miał postać 

L 11 

= ∂ u 1 

1 ∂ x 1 

2 ⋅ ∂ u 1 

⋅ ∂ u 1 

∂ u 2 

⋅ ∂ u 2 

∂ u 3 

⋅ ∂ u 3 

1 ∂ x 1 

∂ x 1 

∂ x 1 

∂ x 1 

∂ x 1 

∂ x . (12.141) 




AlmaMater


L 22 

= ∂ u 2 

1 ∂ x 2 

2 ⋅ ∂ u 1 

⋅ ∂ u 1 

∂ u 2 

⋅ ∂ u 2 

∂ u 3 

⋅ ∂ u 3 

2 ∂ x 2 

∂ x 2 

∂ x 2 

∂ x 2 

∂ x 2 

∂ x . (12.142) 


L 33 

= ∂ u 3 

1 ∂ x 3 

2 ⋅ ∂ u 1 

⋅ ∂ u 1 

∂ u 2 

⋅ ∂ u 2 

∂ u 3 

⋅ ∂ u 3 

3 ∂ x 3 

∂ x 3 

∂ x 3 

∂ x 3 

∂ x 3 

∂ x . (12.143) 


L 12 

= L 21 

= 1 2 ⋅ ∂ u 1 

∂ u 2 

∂ u 1 

⋅ ∂ u 1 

∂ u 2 

⋅ ∂ u 2 

∂ u 3 

⋅ ∂ u 3 

2 ∂ x 2 

∂ x 1 

∂ x 1 

∂ x 2 

∂ x 1 

∂ x 2 

∂ x 1 

∂ x . (12.144) 


L 23 

= L 32 

= 1 2 ⋅ ∂ u 2 

∂ u 3 

∂ u 1 

⋅ ∂ u 1 

∂ u 2 

⋅ ∂ u 2 

∂ u 3 

⋅ ∂ u 3 

3 ∂ x 3 

∂ x 2 

∂ x 2 

∂ x 3 

∂ x 2 

∂ x 3 

∂ x 2 

∂ x . (12.145) 


L 13 

= L 31 

= 1 2 ⋅ ∂ u 1 

∂ u 3 

∂ u 1 

⋅ ∂ u 1 

∂ u 2 

⋅ ∂ u 2 

∂ u 3 

⋅ ∂ u 3 

3 ∂ x 3 

∂ x 1 

∂ x 1 

∂ x 3 

∂ x 1 

∂ x 3 

∂ x 1 

∂ x . (12.146) 

W opisie Eulera współrzędne w konfiguracji pierwotnej wyraża się za pomocą współrzędnych w konfiguracji 

aktualnej. Z równania (12.130) można otrzymać zależność 

x i 

= i 

−u i 

= i 

−u i 1 

, 2 

, 3 

. (12.147) 

Po obliczeniu różniczek z lewej i prawej strony otrzymano 

− 

d x i 

=d ∂ u i 

i 

⋅d 

∂ 1 

∂ u i 

⋅d 

1 

∂ 2 

∂ u i 

⋅d 3 2 

∂ =d − ∂ u i 

i 

⋅d . 

3 

∂ j 

(12.148) 

j 



AlmaMater


Długość odcinak AB w konfiguracji pierwotnej wynosi 

= 

ds 0 2 =dx i 

⋅dx d − ∂ u i 

i i 

⋅d j ∂ ⋅ d − ∂ u i 

i 

⋅d k j 

∂ . (12.149) 

k 

Po wymnożeniu otrzymano 

ds 0 2 =d i 

⋅d i 

−d i 

⋅ ∂ u i 

∂ k 

⋅d k 

−d i 

⋅ ∂ u i 

∂ j 

⋅d j 

∂ u i 

∂ j 

⋅d j 

⋅ ∂ u i 

∂ k 

⋅d k 

(12.150) 

W drugim członie należy zmienić wskaźnik i na j oraz k na i. W czwartym członie należy zmienić wskaźnik i 

na k oraz k na i. W wyniku otrzymano 

ds 0 2 =d i 

⋅d i 

−d j 

⋅ ∂ u j 

∂ i 

⋅d i 

−d i 

⋅ ∂ u i 

∂ j 

⋅d j 

∂ u k 

∂ j 

⋅d j 

⋅ ∂ u k 

∂ i 

⋅d i 

(12.151) 

Różnica odległości w konfiguracji aktualnej i konfiguracji pierwotnej wynosi 

ds 2 −ds 0 2 =d i 

⋅d i 

−d i 

⋅d i 

d j 

⋅ ∂ u j 

∂ i 

⋅d i 

d i 

⋅ ∂ u i 

∂ j 

⋅d j 

− ∂ u k 

∂ j 

⋅d j 

⋅ ∂ u k 

∂ i 

⋅d i 

, (12.152) 

który można przedstawić w formie 

⋅ 

ds 2 −ds 0 2 =d i 

⋅d ∂ u i 

j 

∂ u j 

− ∂ u k 

⋅ ∂ u k 

j ∂ j 

∂ i 

∂ i 

∂ . (12.153) 

Wzór (12.153) można przedstawić w formie 

ds 2 −ds 0 2 

2⋅d i 

⋅d j 

= ij E = 1 2 ⋅ ∂ u i 

∂ j 

∂ u j 

∂ i 

− ∂ u k 

∂ i 

⋅ ∂ u k 

∂ j . (12.154) 

Wzór (12.154) określa tensor dla odkształceń skończonych Eulera (Almansiego). Jest to zbiór dziewięciu 



AlmaMater


bezwymiarowych wartości skalarnych, z których tylko sześć jest niezależnych ze względu na 

E E 

ij 

= . 

ji 

(12.155) 


E 11 

= ∂ u 1 

− 1 ∂ 1 

2 ⋅ ∂ u 1 

⋅ ∂ u 1 

∂ u 2 

⋅ ∂ u 2 

∂ u 3 

⋅ ∂ u 1 

3 

∂ 1 

∂ 1 

∂ 1 

∂ 1 

∂ 1 

∂ . (12.156) 


E 22 

= ∂ u 2 

− 1 ∂ 2 

2 ⋅ ∂ u 1 

⋅ ∂ u 1 

∂ u 2 

⋅ ∂ u 2 

∂ u 3 

⋅ ∂ u 3 

2 ∂ 2 

∂ 2 

∂ 2 

∂ 2 

∂ 2 

∂ . (12.157) 


E 33 

= ∂ u 3 

− 1 ∂ 3 

2 ⋅ ∂ u 1 

⋅ ∂ u 1 

∂ u 2 

⋅ ∂ u 2 

∂ u 3 

⋅ ∂ u 3 

3 

∂ 3 

∂ 3 

∂ 3 

∂ 3 

∂ 3 

∂ . (12.158) 


E 12 

= E 21 

= 1 2 ⋅ ∂ u 1 

∂ u 2 

− ∂ u 1 

⋅ ∂ u 1 

− ∂ u 2 

⋅ ∂ u 2 

− ∂ u 3 

⋅ ∂ u 2 

3 

∂ 2 

∂ 1 

∂ 1 

∂ 2 

∂ 1 

∂ 2 

∂ 1 

∂ . (12.159) 


E 23 

= E 32 

= 1 2 ⋅ ∂ u 2 

∂ u 3 

− ∂ u 1 

⋅ ∂ u 1 

− ∂ u 2 

⋅ ∂ u 2 

− ∂ u 3 

⋅ ∂ u 3 

3 

∂ 3 

∂ 2 

∂ 2 

∂ 3 

∂ 2 

∂ 3 

∂ 2 

∂ . (12.160) 




AlmaMater


E 13 

= E 31 

= 1 2 ⋅ ∂ u 1 

∂ u 3 

− ∂ u 1 

⋅ ∂ u 1 

− ∂ u 2 

⋅ ∂ u 2 

− ∂ u 3 

⋅ ∂ u 3 

3 

∂ 3 

∂ 1 

∂ 1 

∂ 3 

∂ 1 

∂ 3 

∂ 1 

∂ . (12.161) 

Opis materialny jest stosowany w teorii konstrukcji, ponieważ warunki podparcia znane są w konfiguracji 

pierwotnej. W opisie tym kostka elementarna jest prostopadłościanem przed odkształceniem. 

Opis przestrzenny jest stosowany przede wszystkim w mechanice płynów. W opisie tym elementarna kostka 

jest prostopadłościanem w konfiguracji aktualnej. Porównanie obu opisów przedstawia rysunek 12.12. 

X 2 

A 

D' 

C' 

x 2 

D' 

C' 

D 

A' 

u A 

C 

B 

B' 

X 1 

A 

D 

A' 

u A 

B 

C 

B' 

x 1 

Opis materialny – Lagrange'a 

Opis przestrzenny - Eulera 

A, B, C, D – konfiguracja pierwotna 

A', B', C', D' – konfiguracja aktualna 

Rys. 12.12. Opis materialny i opis przestrzenny. 

Jeżeli przemieszczenia u i będą małe to pochodne przemieszczeń także będą małe a iloczyny pochodnych 

przemieszczeń będą wielkością małą wyższego rzędu i mogą zostać pominięte. Tensor Lagrange'a będzie miał 

postać 

L ij 

= 1 2 ⋅ ∂ u i 

∂ u 

j 

∂ x j 

∂ x . (12.162) 

i 

Tensor Eulera będzie miał postać 

E ij 

= 1 2 ⋅ ∂ u i 

∂ u 

j 

∂ j 

∂ . (12.163) 

i 

Ponadto, gdy przemieszczenia są małe to różnica pomiędzy współrzędnymi x i i x i będzie pomijalnie mała. 

Można przyjąć więc, że 



AlmaMater


x i 

≃ i 

, (12.164) 

co daje w rezultacie tylko jeden tensor małych odkształceń, który ma postać 

L ij 

= E ij 

= ij 

= 1 2 ⋅ ∂ u i 

∂ u 

j 

∂ x j 

∂ x . (12.165) 

i 

Równanie (12.165) jest identyczne z równaniem geometrycznym Cauchy'ego (12.35). 

12.9 Równania nierozdzielności odkształceń 

W równaniach geometrycznych (12.35) lub (12.165) trzy funkcje przemieszczeń u i x 1 

, x 2 

, x 3 

opisujące pole przemieszczeń służą do obliczenia sześciu funkcji ij x 1 

, x 2 

, x 3 

odkształceń. Wynika stąd wniosek, że funkcje ij x 1 

, x 2 

, x 3 

spełniać jeszcze trzy dodatkowe warunki. 

opisujących pole 

nie mogą być zupełnie dowolne. Powinny one 

Chcąc wyznaczyć te trzy dodatkowe równania należy równanie (12.35) zróżniczkować dwa razy i zamienić 

kolejne wskaźniki. W efekcie można otrzymać 

ij , kl 

= 1 2 ⋅ u i , jkl 

u j ,ikl 

kl ,ij 

= 1 2 ⋅ u k ,lij 

u l , kij 

ik , jl 

= 1 2 ⋅ u i , kjl 

u k ,ijl 

. (12.166) 

jl ,ik 

= 1 2 ⋅ u j , lik 

u l , jik 

Następnie dwa pierwsze równania dodajemy stronami, a pozostałe równania odejmujemy. W wyniku tego 

można otrzymać 

ij.kl 

kl ,ij 

− ik , jl 

− jl ,ik 

= 1 2 ⋅ u i , jkl 

u j ,ikl 1 2 ⋅ u k , lij 

u l , kij 

− 1 2 ⋅ u i , kjl 

u k ,ijl − 1 2 ⋅ u j , lik 

u l , jik 

, (12.167) 

które będzie miało postać 



AlmaMater


ij.kl 

kl ,ij 

− ik , jl 

− jl ,ik 

= 1 2 ⋅ u i , jkl 

u j ,ikl 

u k ,lij 

u l , kij 

−u i , kjl 

−u k ,ijl 

−u j , lik 

−u l , jik 

. (12.168) 

Grupując składniki podobne równanie (12.168) będzie miało postać 

ij.kl 

kl ,ij 

− ik , jl 

− jl ,ik 

= 1 2 ⋅ u i , jkl 

−u i , kjl 

u j ,ikl 

−u j ,lik 

u k , lij 

−u k ,ijl 

u l , kij 

−u l , jik 

. (12.169) 

W przypadku funkcji ciągłych jakimi są funkcje przemieszczeń różniczkowanie cząstkowe nie zależy od 

kolejności różniczkowania czyli można napisać 

u i , jkl 

=u i , kjl 

u j ,ikl 

=u j , lik 

u k , lij 

=u k , ijl 

u l , kij 

=u l , jik 

. (12.170) 

Podstawiając wzór (12.170) do (12.169) otrzymano 

ij.kl 

kl ,ij 

− ik , jl 

− jl ,ik 

=0 . (12.171) 

Równanie to nazywa się równaniem nierozdzielności odkształceń. Wzór (12.171) oznacza 3 4 czyli 81 

równań. Z analizy permutacji wskaźników wynika, że tylko sześć z nich będzie niezależnych. 

Dla i=k=1, j=l=2 równanie (12.171) będzie miało postać 

2⋅ 12,12 

− 11,22 

− 22,11 

=0 . (12.172) 


2⋅ 23,23 

− 22,33 

− 33,22 

=0 . (12.173) 


2⋅ 31,31 

− 33,11 

− 11,33 

=0 . (12.174) 



AlmaMater


Dla i=j=1, k=2, l=3 równanie (12.171) będzie miało postać 

11,23 

23,11 

− 12,13 

− 13,12 

=0 . (12.175) 


22,31 

31,22 

− 23,21 

− 21,23 

=0 . (12.176) 


33,12 

12,33 

− 31,32 

− 32,31 

=0 . (12.177) 

Wprowadzając symbol permutacyjny (10.35) wzór (12.171) można inaczej zapisać jako 

ij 

= ji 

=e ikm 

⋅e jln 

⋅ kl , mn 

=0 . (12.178) 

Tensor h ij nazywa się tensorem niespójności. Równania nierozdzielności można także przedstawić w formie 

macierzowej 

ij 

=[ 11 

12 

13 

21 

22 

23 

31 

32 

33]=0 . (12.179) 

Współrzędne równowskaźnikowe oznaczają równania (12.172), (12.173) i (12.174). Współrzędne 

różnowskaźnikowe oznaczają równania (12.175), (12.176) i (12.177). 

Spełnienie równań (12.171) oznacza, że ośrodek, który był ciągły przed odkształceniem jest także ciągły po 

odkształceniu. Każdemu punktowi materialnemu w konfiguracji pierwotnej odpowiada dokładnie jeden punkt 

w konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). W materiale nie powstaną więc dziury ani elementarne 

prostopadłościany nie będą na siebie nachodzić. 

Na początku tego punktu stwierdzono, że potrzeba tylko trzech dodatkowych równań, a tymczasem z 

równania (12.171) wynika, że jest ich sześć. Okazuje się, że współrzędne tensora niespójności h ij nie są 

niezależne. Wewnątrz ciała spełnione mogą być tylko równania odpowiadające tylko równowskaźnikowym lub 

różnowskaźnikowym współrzędnym tensora niespójności. Na powierzchni ciała muszą być już spełnione 

wszystkie równania czyli wszystkie współrzędne tensora niespójności muszą się równać zero. 



AlmaMater




AlmaMater


(12.1) 



AlmaMater

Analiza stanu odksztaÅ‚cenia - Instytut Konstrukcji Budowlanych

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?