Analiza stanu odkształcenia - Instytut Konstrukcji Budowlanych

12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA 32
Długość odcinak AB w konfiguracji pierwotnej wynosi
=
ds 0 2 =dx i
⋅dx d − ∂ u i
i i
⋅d j ∂ ⋅ d − ∂ u i
i
⋅d k j
∂ . (12.149)
k
Po wymnożeniu otrzymano
ds 0 2 =d i
⋅d i
−d i
⋅ ∂ u i
∂ k
⋅d k
−d i
⋅ ∂ u i
∂ j
⋅d j
∂ u i
∂ j
⋅d j
⋅ ∂ u i
∂ k
⋅d k
(12.150)
W drugim członie należy zmienić wskaźnik i na j oraz k na i. W czwartym członie należy zmienić wskaźnik i
na k oraz k na i. W wyniku otrzymano
ds 0 2 =d i
⋅d i
−d j
⋅ ∂ u j
∂ i
⋅d i
−d i
⋅ ∂ u i
∂ j
⋅d j
∂ u k
∂ j
⋅d j
⋅ ∂ u k
∂ i
⋅d i
(12.151)
Różnica odległości w konfiguracji aktualnej i konfiguracji pierwotnej wynosi
ds 2 −ds 0 2 =d i
⋅d i
−d i
⋅d i
d j
⋅ ∂ u j
∂ i
⋅d i
d i
⋅ ∂ u i
∂ j
⋅d j
− ∂ u k
∂ j
⋅d j
⋅ ∂ u k
∂ i
⋅d i
, (12.152)
który można przedstawić w formie
⋅
ds 2 −ds 0 2 =d i
⋅d ∂ u i
j
∂ u j
− ∂ u k
⋅ ∂ u k
j ∂ j
∂ i
∂ i
∂ . (12.153)
Wzór (12.153) można przedstawić w formie
ds 2 −ds 0 2
2⋅d i
⋅d j
= ij E = 1 2 ⋅ ∂ u i
∂ j
∂ u j
∂ i
− ∂ u k
∂ i
⋅ ∂ u k
∂ j . (12.154)
Wzór (12.154) określa tensor dla odkształceń skończonych Eulera (Almansiego). Jest to zbiór dziewięciu
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater