Analiza stanu odkształcenia - Instytut Konstrukcji Budowlanych

12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA 34
E 13
= E 31
= 1 2 ⋅ ∂ u 1
∂ u 3
− ∂ u 1
⋅ ∂ u 1
− ∂ u 2
⋅ ∂ u 2
− ∂ u 3
⋅ ∂ u 3
3
∂ 3
∂ 1
∂ 1
∂ 3
∂ 1
∂ 3
∂ 1
∂ . (12.161)
Opis materialny jest stosowany w teorii konstrukcji, ponieważ warunki podparcia znane są w konfiguracji
pierwotnej. W opisie tym kostka elementarna jest prostopadłościanem przed odkształceniem.
Opis przestrzenny jest stosowany przede wszystkim w mechanice płynów. W opisie tym elementarna kostka
jest prostopadłościanem w konfiguracji aktualnej. Porównanie obu opisów przedstawia rysunek 12.12.
X 2
A
D'
C'
x 2
D'
C'
D
A'
u A
C
B
B'
X 1
A
D
A'
u A
B
C
B'
x 1
Opis materialny – Lagrange'a
Opis przestrzenny - Eulera
A, B, C, D – konfiguracja pierwotna
A', B', C', D' – konfiguracja aktualna
Rys. 12.12. Opis materialny i opis przestrzenny.
Jeżeli przemieszczenia u i będą małe to pochodne przemieszczeń także będą małe a iloczyny pochodnych
przemieszczeń będą wielkością małą wyższego rzędu i mogą zostać pominięte. Tensor Lagrange'a będzie miał
postać
L ij
= 1 2 ⋅ ∂ u i
∂ u
j
∂ x j
∂ x . (12.162)
i
Tensor Eulera będzie miał postać
E ij
= 1 2 ⋅ ∂ u i
∂ u
j
∂ j
∂ . (12.163)
i
Ponadto, gdy przemieszczenia są małe to różnica pomiędzy współrzędnymi x i i x i będzie pomijalnie mała.
Można przyjąć więc, że
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater