Analiza stanu odkształcenia - Instytut Konstrukcji Budowlanych

12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA 30
W członie pierwszym należy zamienić wskaźniki i na k oraz k na i. W członie trzecim należy zmienić
wskaźniki i na j oraz k na i. Wzór (12.135) będzie miało postać
ds 2 = ∂ u k
∂ x j
⋅dx j
⋅ ∂ u k
∂ x i
⋅dx i
∂ u i
∂ x j
⋅dx j
⋅dx i
∂ u j
∂ x i
⋅dx i
⋅dx j
dx i
⋅dx i
. (12.136)
Różnica odległości w konfiguracji aktualnej i konfiguracji pierwotnej wynosi
ds 2 −ds 0 2 = ∂ u k
∂ x j
⋅dx j
⋅ ∂ u k
∂ x i
⋅dx i
∂ u i
∂ x j
⋅dx j
⋅dx i
∂ u j
∂ x i
⋅dx i
⋅dx j
dx i
⋅dx i
−dx i
⋅dx i
, (12.137)
który można przedstawić w formie
⋅
ds 2 −ds 0 2 =dx i
⋅dx ∂ u i
j
∂ u j
∂ u k
⋅ ∂ u k
j ∂ x j
∂ x i
∂ x i
∂ x . (12.138)
Wzór (12.138) można przekształcić
ds 2 −ds 0 2
2⋅dx i
⋅dx j
= ij L = 1 2 ⋅ ∂ u i
∂ x j
∂ u j
∂ x i
∂ u k
∂ x i
⋅ ∂ u k
∂ x j . (12.139)
Wzór (12.139) określa tensor dla odkształceń skończonych Lagrange'a (Greena). Jest to zbiór dziewięciu
bezwymiarowych wartości skalarnych, z których tylko sześć jest niezależnych ze względu na
L L
ij
= .
ji
(12.140)
Dla i=1 i j=1 wzór (12.139) będzie miał postać
L 11
= ∂ u 1
1 ∂ x 1
2 ⋅ ∂ u 1
⋅ ∂ u 1
∂ u 2
⋅ ∂ u 2
∂ u 3
⋅ ∂ u 3
1 ∂ x 1
∂ x 1
∂ x 1
∂ x 1
∂ x 1
∂ x . (12.141)
Dla i=2 i j=2 wzór (12.139) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater