OPTIM´ALN´I ROZHODOV´AN´I AˇR´IZEN´I

KAPITOLA 1. ÚVOD 4
Příklad 1.: Chceme rozdělit kapitál na dvě investiční možnosti, které označíme A,
B. Investice A nabízí zisk 1.2Kč za jednu investovanou korunu, zatímco z investice B
získáme pouze 1.1Kč z jedné investované koruny. V tomto případě (bez neurčitosti) je
naše rozhodnutí jasné, investujeme do A s větším ziskem. Uvažujme nyní, že zisk 10% z
investice B je jistý, ale zisk 20% z investice A je pouze v průměru. Tak např. získáme 0 Kč
s pravděpodobností 4/5 a velký zisk 6 Kč s pravděpodobností pouze 1/5. Střední hodnota
zisku z investice A je opět 20%. V reálné situaci bychom pravděpodobně ztrátu veškerého
vloženého kapitálu do nejistého zisku z investice A neriskovali a část kapitálu vložili do
jistého, ale menšího zisku z investice do B. Lepší je vrabec v hrsti, nežli holub na střeše.
Proto je důležité brát v úvahu riziko a správně formulovat optimalizační problém.
Příklad 2.: St. Peterburgský paradox Ještě názornější příklad nutnosti uvažovat
riziko plyne z následující hazardní hry. Hráč zaplatí x jednotek, aby se mohl účastnit
následující hazardní hry. Jsou prováděny následné vrhy mincí a hráč vyhraje 2 k jednotek,
padne-li mu za sebou k-kráte panna před tím, než mu poprvé padne lev.
Uvažujte nejprve bez jakýchkoli výpočtů, kolik byste byli ochotni zaplatit, abyste
mohli sehrát tuto hazardní hru, ve které můžete vyhrát značnou částku. Určitě nebudete
ochotni vložit do této hazardní hry více než desítky korun (abychom uvažovali konkrétní
jednotky). Je to způsobeno tím, že výhra je nejistá, zatímco vložená částka za účast ve
hře je ztracena jistě.
Spočtěme nyní, jaká je střední hodnota hry. Padne-li poprvé lev, hra končí, hráč
vyhraje 2 0 = 1 Kč a to se stane s pravděpodobností 1/2. Padne-li poprvé panna a pak lev
vyhrajete 2 1 Kč a to se stane s pravděpodobností 1/4. Padne-li dvakrát za sebou panna a
pak lev, vyhrajete 2 2 = 4 Kč a to se stane s pravděpodobností 1/8. Podobně vyhrajeme
x i = 2 i Kč padne-li i-kráte za sebou panna a pak lev, což se stane s pravděpodobností
p i = 1/(2 i+1 ). Střední hodnota výhry je tedy
∞∑
∞∑ 2 i
m = x i p i =
i=0 i=0
2 = 1 i+1 2 + 1 2 + 1 2 + . . . = ∞
To znamená, že střední hodnota výhry je ∞ a proto vložená částka za účast ve hře může
být libovolně veliká a přesto nemůžeme (ve střední hodnotě) prohrát. Vysoké výhry mají
ale malou pravděpodobnost, riziko ztráty je zde veliké a to bereme v reálné situaci v úvahu.
Příklad 3.: Nutnost získávání informací při sekvenčním rozhodování ukážeme na
následujícím jednoduchém příkladě. Máme systém popsaný stavovou rovnicí
x 1 (t + 1) = u(t) + v(t)
x 2 (t + 1) = x 1 (t) + u(t)
kde v(t) je náhodná posloupnost nabývající hodnot ±1, obě s pravděpodobností 0.5. Naším
úkolem je nalézt řízení u(0) a u(1) takové, aby střední hodnota E{|x 2 (2)|} byla minimální.
Spočtěme tedy nejprve střední hodnotu jednorázovým výpočtem
E{|x 2 (2)|} = E{|x 1 (1) + u(1)|} = E{|u(0) + v(0) + u(1)|}
= 0.5|u(0) + u(1) + 1| + 0.5|u(0) + u(1) − 1|