OPTIM´ALN´I ROZHODOV´AN´I AˇR´IZEN´I

KAPITOLA 2. NELINEÁRNÍ
PROGRAMOVÁNÍ 16
Předchozí Kuhnovy - Tuckerovy nutné podmínky snadno odvodíme z nutných podmínek
pro úlohy s omezením ve tvaru rovnosti. Upravíme tedy naši úlohu na tento tvar podle
následujícího postupu. Zavedeme si pomocnou proměnnou y a dostaneme ekvivalentní
úlohu ve tvaru
min {f(x) : h(x) = 0 ; g(x) + y [2] = 0}
kde y [2] = [ ] T
y1, 2 y2, 2 . . . , yp
2 je nezáporný vektor s kvadratickými složkami. Lagrangeova
funkce pro tuto úlohu je
L(x, y, λ, µ) = f(x) + λ T h(x) + µ T (g(x) + y [2] )
Podmínku nezápornosti Lagrangeova koeficientu µ odvodíme pomocí citlivosti kritéria
na změnu omezení. Omezení g(x) ≤ 0 určuje spolu s omezením h(x) = 0 množinu
přípustných řešení X. Uvažujme nyní nerovnostní omezení ve tvaru g(x) ≤ b, kde vektor
b má nezáporné složky. Toto omezení spolu s omezením h(x) = 0 určuje novou množinu
přípustných řešení X. Při tom platí, že X ⊃ X protože vlivem nezápornosti vektoru b
jsme uvolnili omezení. Minimum na větší množině nemůže být větší než minimum na
podmnožině. Proto platí
min f(x) ≤ min f(x)
x∈X
x∈X
Přírůstek kritéria při změně omezení min x∈X
f(x) − min x∈X f(x) ≤ 0 je tedy nekladný.
Při tom podle citlivostní věty platí ∂f(x)
∂b
= −µT . Z předchozího diferenciálního vztahu
plyne pro přírůstek kritéria vztah
∆f(x) = −µ T ∆b = −µ T b
Odvodili jsme, že pro nezáporné b ≥ 0 je přírůstek kritéria nekladný (∆f(x) ≤ 0) a proto
Lagrangeův koeficient µ musí být nezáporný µ ≥ 0.
Podmínku µ T g(x ∗ ) = 0 odvodíme z nutné podmínky minima, a totiž, že derivace
Lagrangeovy funkce L vzhledem ke všem proměnným musí být nulové. Proto po složkách
musí platit
∂L
∂y j
= 2µ j y j = 0
Platí tedy po složkách µ j y j = 0 čili také µ j y 2 j = 0. Z omezení plyne, že y 2 j = −g j (x) a
proto po složkách platí µ j g j (x) = 0. Odtud plyne podmínka µ T g(x ∗ ) = 0.
Nutné podmínky druhého řádu jsou formulovány v následující větě:
Věta: Předpokládáme, že funkce f, h, g ∈ C 2 a x ∗ je regulární bod omezení. Je-li x ∗
bod relativního minima, pak existují vektory λ a µ ≥ 0, že platí Kuhnovy - Tuckerovy
podmínky a Hessova matice
∇ 2 L(x ∗ ) = ∇ 2 f(x ∗ ) + λ T ∇ 2 h(x ∗ ) + µ T ∇ 2 g(x ∗ ) (2.25)
je pozitivně semidefinitní na tečné nadrovině aktivních omezení.
Pro postačující podmínky druhého řádu nestačí aby Hessova matice ∇ 2 L(x ∗ ) byla v
minimu pozitivně definitní na tečné nadrovině aktivních omezení, ale je třeba, aby L(x ∗ )
byla pozitivně definitní na podprostoru
M = { y : ∇h(x ∗ )y = 0 ; ∇g j (x ∗ )y = 0 ; j ∈ J}
✷