OPTIM´ALN´I ROZHODOV´AN´I AˇR´IZEN´I

KAPITOLA 2. NELINEÁRNÍ
PROGRAMOVÁNÍ 18
2.4 Sedlový bod a dualita
2.4.1 Sedlové vlastnosti Lagrangeovy funkce
Při řešení úlohy nelineárního programování se ukazuje, že Lagrangeova funkce má v optimálních
bodech x ∗ , λ ∗ tzv. sedlový bod. Proto si nejprve vysvětlíme, co to je sedlový
bod a potom si uvedeme příslušná tvrzení.
Mějme tedy funkci s(x, y) definovanou na X × Y. Říkáme, že funkce s(x, y) má v
bodě x ∗ ,y ∗ sedlový bod, platí-li pro všechny (x, y) ∈ X × Y
respektive
s(x ∗ , y) ≤ s(x ∗ , y ∗ ) ≤ s(x, y ∗ )
s(x ∗ , y) ≥ s(x ∗ , y ∗ ) ≥ s(x, y ∗ )
V prvním případě říkáme, že se jedná o sedlový bod typu minimaxu a v druhém případě
o sedlový bod typu maximinima. Uvědomme si, že obecně platí
max
x∈X
min g(x, y) ≤ min
y∈Y y∈Y
max g(x, y) (2.26)
x∈X
Předchozí tvrzení snadno dokážeme. Zřejmě platí
min g(x, y) ≤ g(x, y),
y∈Y
pro x ∈ X, y ∈ Y
Nerovnost se neporuší maximalizací obou stran vzhledem k x, proto
max
x∈X
min
y∈Y
g(x, y) ≤ max g(x, y), pro
x∈X
y ∈ Y
Protože předchozí nerovnice platí pro všechna y ∈ Y, platí i pro y, pro kterou je pravá
strana minimální. Odtud plyne vztah (2.26).
Mějme následující problém
Potom platí tvrzení:
min {f(x) : g(x) ≤ 0 ; x ≥ 0} (2.27)
Věta: Jestliže x ∗ ≥ 0 , λ ∗ ≥ 0 je sedlovým bodem Lagrangeovy funkce
pak x ∗ je řešením úlohy (2.27).
L(x, λ) = f(x) + λ T g(x), (2.28)
Předchozí tvrzení je postačující podmínkou optima. Není třeba žádných předpokladů
o regularitě. Postačující podmínku snadno dokážeme. Sedlový bod Lagrangeovy funkce
splňuje nerovnice
L(x, λ ∗ ) ≥ L(x ∗ , λ ∗ ) ≥ L(x ∗ , λ) (2.29)
pro λ ≥ 0, λ ∗ ≥ 0, x ∈ X.