OPTIM´ALN´I ROZHODOV´AN´I AˇR´IZEN´I

£¤ §¦
£¥¤ §¦
£¥¤ ¢¡¨¦© £¤ ¢¡¦ ¤ ¢¡¨¦
KAPITOLA 2. NELINEÁRNÍ
PROGRAMOVÁNÍ 10
Definice: Funkce f definovaná na konvexní množině X je konvexní, jestliže pro libovolné
x 1 , x 2 ∈ X a každé α, 0 ≤ α ≤ 1 platí
f(αx 1 + (1 − α)x 2 ) ≤ αf(x 1 ) + (1 − α)f(x 2 )
Platí-li ostrá nerovnost (pro x 1 ≠ x 2 ), pak funkce je striktně konvexní. Také součet i
pozitivní lineární kombinace konvexních funkcí je funkce konvexní.
Je-li h(x) konvexní funkce, pak množina X určená nerovností
X = {x : h(x) ≤ b}
je konvexní pro libovolné reálné b. Předchozí tvrzení platí i pro množinu X tvořenou
soustavou nerovností (h 1 (x) ≤ b 1 , . . . , h m (x) ≤ b m ), kde h i (x) jsou konvexní funkce. Pro
konvexní funkce diferencovatelné platí následující dvě tvrzení:
Věta: Je-li f ∈ C 1 , pak funkce f je konvexní na konvexní množině X právě tehdy,
když
f(x) ≥ f(x 1 ) + ∇f(x) (x − x 1 )
pro všechna x, x 1 ∈ X.
Věta: Je-li f ∈ C 2 , pak funkce f je konvexní na konvexní množině X obsahující
vnitřní bod právě tehdy, když Hessova matice H(x) je pozitivně semidefinitní pro x ∈ X
✷
H(x) = ∇ 2 f(x) ≥ 0 x ∈ X.
První tvrzení plyne z toho, že konvexní funkce leží nad tečnou ve svém libovolném bodě
- viz obr. 2.1. Druhé tvrzení je mnoharozměrové zobecnění známého faktu, že konvexní
funkce jedné proměnné má druhou derivaci kladnou. Předchozí nutné podmínky lokálních
¢¡
Obrázek 2.1: Konvexní funkce leží nad tečnou v libovolném bodě
extrémů se pro konvexní funkce mění na globální podmínky nutné a postačující.
Věta: Je-li f konvexní funkce definovaná na konvexní množině X, potom množina Γ,
na které funkce f dosahuje minima, je také konvexní a libovolné relativní minimum je
globální minimum.
Věta: Necht’ f ∈ C 1 na konvexní množině X. Je-li x ∗ ∈ X a pro všechna x ∈ X platí
∇f(x ∗ )(x − x ∗ ) ≥ 0, pak x ∗ je bod globálního minima funkce f na X.