OPTIM´ALN´I ROZHODOV´AN´I AˇR´IZEN´I

¥§¦ ¢©¨
¡
¦ ¢ £ ¨
¥!¦ ¢ £ ¨
¦ ¢¤¨¤
¦ ¢ £ ¨
KAPITOLA 2. NELINEÁRNÍ
PROGRAMOVÁNÍ 12
2.3.1 Omezení typu rovnosti
Mějme tedy následující problém
min{f(x) : h(x) = 0} (2.11)
Nyní uvedeme nutné podmínky prvního řádu pro omezení typu rovnosti. Platí následující
lemma:
Lemma: Necht’ x ∗ je regulární bod omezení h(x) = 0 a je to lokální extrém funkce
f(x) vzhledem k omezením. Pak pro všechna y ∈ E n splňující
∇h(x ∗ )y = 0 (2.12)
musí také platit
∇f(x ∗ )y = 0 (2.13)
✷
¢¤£
Obrázek 2.2: Gradienty funkce a omezení v extrému
To znamená, že ∇f(x ∗ ) je ortogonální k tečné nadrovině - viz obr. 2.2. Označme
Jacobiho matici A = ∇h(x ∗ ). Tato matice má v regulárním bodě plnou řádkovou hodnost.
Označme b T = ∇f(x ∗ ). Pak, aby podle (2.12) a (2.13) soustavy Ay = 0, b T y = 0 měly
shodná řešení, musí být vektor b T lineární kombinací řádků matice A. Z toho plyne, že
∇f(x ∗ ) je lineární kombinací gradientů h(x) v bodě x ∗ . Proto platí následující věta:
Věta: Necht’ x ∗ je bod lokálního extrému f(x) vzhledem k omezením h(x) = 0. Dále
předpokládáme, že x ∗ je regulární bod omezení. Pak existuje vektor λ ∈ E m že
∇f(x ∗ ) + λ T ∇h(x ∗ ) = 0.
Předchozí podmínky můžeme vyjádřit také pomocí Lagrangeovy funkce L(x, λ)
L(x, λ) = f(x) + λ T h(x)
Nutné podmínky z předchozí věty tvrdí, že gradient Lagrangeovy funkce vzhledem k x
je nulový v bodě x ∗ a omezující podmínka h(x) = 0 je ekvivalentní podmínce nulovosti
gradientu Lagrangeovy funkce vzhledem k λ, čili
∇ x L(x, λ) = ∇ x f(x) + λ T ∇ x h(x) = 0
∇ λ L(x, λ) = h(x) = 0 (2.14)
✷