OPTIM´ALN´I ROZHODOV´AN´I AˇR´IZEN´I

KAPITOLA 2. NELINEÁRNÍ
PROGRAMOVÁNÍ 20
nebot’ volbou λ ≥ 0
ϕ(x) = f(x) pro x ∈ X
ϕ(x) = ∞ pro x ∉ X
Proto platí
min
x∈X
f(x) = min
x
max L(x, λ) (2.35)
λ≥0
Úloha (A) je totožná s původní úlohou (2.30) a proto se nazývá primární úloha. Úloha
(B) je duální úloha. Mezi primární a duální úlohou nelineárního programování platí
vztah - viz (2.26)
(Primární úloha)
min x
max L(x, λ) ≥ max
λ≥0 λ≥0
min x
L(x, λ) (Duální úloha) (2.36)
Pro úlohu konvexního programování při splnění podmínek regularity platí věta o sedlovém
bodě, pak
min x
max L(x, λ) = max min
λ≥0 λ≥0 x
L(x, λ) = L(x ∗ , λ ∗ ) = f(x ∗ ) (2.37)
a primární i duální úloha mají stejné řešení, které je totožné s řešením původní úlohy.
Duální úlohu můžeme upravit. Protože x není omezeno, platí
min x
L ⇒ ∂L
∂x = ∂f
∂x + λT ∂g
∂x = 0
Duální úlohu můžeme tedy vyjádřit ve tvaru
max
λ
{f(x) + λ T g(x) :
∂f
∂x + ∂g
λT
∂x = 0 ; λ ≥ 0 } (2.38)
Dualita úloh matematického programování je velmi důležitá, nebot’ řešením duální úlohy
se k optimu blížíme zdola. Naopak řešením primární úlohy se k optimu blížíme shora.
Existuje celá řada algoritmů nelineárního programování, které jsou založeny na sedlových
vlastnostech Lagrangeovy funkce.
Příklad: Nalezněte duální úlohu k úloze lineárního programování.
Nejběžnější tvar úlohy lineárního programování je
Nejprve upravíme tuto úlohu na úlohu minimalizace
Lagrangeova funkce pro tuto úlohu je
Duální úloha je tedy
max { c T x : Ax ≤ b, x ≥ 0 } (2.39)
min { −c T x : Ax − b ≤ 0, −x ≤ 0 }
L(x, λ, µ) = −c T x + λ T (Ax − b) + µ T (−x)
max min L(x, λ, µ) = max {L(x, λ, µ) : ∇ xL(x, λ, µ) = 0, λ ≥ 0, µ ≥ 0} (2.40)
λ≥0,µ≥0 x
λ,µ