OPTIM´ALN´I ROZHODOV´AN´I AˇR´IZEN´I

KAPITOLA 3. MINIMALIZACE KVADRATICKÝCH FOREM 34
Z předchozího vztahu pro prvky matice M plyne algoritmus výpočtu prvků Choleskyho
rozkladu F. Pro i = 1, 2, . . . postupně počítáme nejprve diagonální prvky matice F podle
vztahu
√
F i,i = √ M i,i −
i−1 ∑
Fk,i
2
k=1
a potom jednotlivé prvky matice F vpravo od diagonály podle vztahu
F i,j = 1 [
]
∑i−1
M i,j − F k,i F k,j , j > i.
F i,i k=1
Je zřejmé, že při výpočtu faktorů se vyskytují dva problémy. Při výpočtu diagonálních
prvků matice F se vyskytuje odmocnina, což zdržuje výpočet. Proto byla vyvinuta jiná
faktorizace (popsaná později), která nevyžaduje výpočet odmocniny.
Závažnější problém nastane, když diagonální prvek F i,i je roven nule, nebot’ se jím při
výpočtu nediagonálních prvků matice F dělí. Choleskyho faktorizace není v tomto případě
jednoznačná a vždy jednoznačný rozklad dostaneme tím, že je-li některý diagonální prvek
matice F nulový, pak položíme rovný nule celý odpovídající řádek matice F. To znamená,
že vztah pro mimodiagonální prvky F i,j doplníme podmínkou
Jestliže F i,i = 0, pak F i,j = 0, ∀j > i.
Po rozkladu matice M provedeme již snadno minimalizaci kvadratické formy i výpočet
optimálního x. Provedeme následující serii úprav kvadratické formy
J(x, y) = [ x T y ] [ ]
x T M = [ x T y ] [ ]
[ ]∥
x T F T x ∥∥∥∥ 2
F =
y
y ∥ F y
Horní trojúhelníkovou matici F rozložíme na submatice
F =
[ ]
Fx F x,y
0 F y
kde dimenze rozkladu odpovídají dimenzi vektorů x a y. Při tom zřejmě submatice F x i
F y jsou horní trojúhelníkové matice. Kvadratická forma je potom rovna
[ ] [ ]∥ Fx F
J(x, y) =
x,y x ∥∥∥∥ 2
=‖ F
∥ 0 F y y
x x + F x,y y ‖ 2 + ‖ F y y ‖ 2
Minimum kvadratické formy vzhledem k proměnné x nastane zřejmě, když první člen na
pravé straně předchozího výrazu bude roven nule. Proto optimální x ∗ získáme z rovnice
F x x ∗ + F x,y y = 0 (3.13)
Protože matice F x je horní trojúhelníková matice, provedeme výpočet optimálního x ∗
po jednotlivých prvcích tohoto vektoru odspodu. Je-li pro některé i diagonální prvek
matice F x nulový, pak je podle předchozího nulový celý i-tý řádek této matice. Proto
odpovídající složka x ∗ i optimálního vektoru může být zvolena libovolně. V závislosti na
libovolně zvoleném x ∗ i vyjdou potom další prvky x ∗ k pro k < i. Všimněme si, že pro