OPTIM´ALN´I ROZHODOV´AN´I AˇR´IZEN´I

KAPITOLA 3. MINIMALIZACE KVADRATICKÝCH FOREM 42
Odtud plynou další dva vztahy dyadického algoritmu (3.20) a sice
Pro l = i a k > i plyne z (3.21) vztah
u j,k = f j,k − f i,k f j,i , d j =
( gj
d i
)
g i
Odtud plyne
f i,k g i f i,i + f j,k g j f j,i = u i,k d i u i,i + u j,k d j u j,i
u i,k = 1 d i
(g i f i,k + f j,i g j f j,k ) = g i
d i
f i,k + f j,ig j
d i
(u j,k + f i,k f j,i )
Odtud plynou poslední vztahy algoritmu dyadických redukcí a sice
u i,k = f i,k + µu j,k , kde µ = g jf j,i
d i
nebot’ dle (3.22) je roven jedné koeficient u f i,k . Dyadickou redukci můžeme provádět pouze
tehdy, když d i ≠ 0. Aby d i = 0 musí podle (3.22) být g i = 0 a současně (f j,i ) 2 g j = 0.
Pokud f j,i = 0, není třeba redukci provádět. Redukce je totiž již hotová, protože záměrem
redukce je nulování tohoto koeficientu. Pokud g j = 0, pak mohu druhou dyádu úplně
vypustit, protože nemá žádný vliv, je totiž celá rovna nule.
Vtip celé dyadické redukce je nulování jednoho prvku druhé dyády, při čemž je nutné,
aby první dyáda měla na odpovídajícím místě jednotkový prvek. Jednotkové prvky docílíme
pomocí pomocných jednotkových dyád s nulovou váhou. Matice M je při tomto rozšíření
rovna
[ ] T ( ) [ ]
I 0 I
M = diag
F g F
Sekvenčním nulováním prvků vybraných dyád a vypouštěním nulových dyád docílíme
toho, že matice U je opět monická horní trojúhelníková matice.
Poznámka: Pokud diagonální prvek f i,i ≠ 1, ale je nenulový, pak modifikaci dyád
můžeme přesto provést a výsledné vztahy jsou
d i = (f i,i ) 2 g i + (f j,i ) 2 g j
( ) gj
d j = g i (f i,i ) 2
d
( i
) gj
µ = f j,i
d i
u j,k = f j,k − f j,i f i,k
f i,i
, k = i + 1, . . . , ν
u i,k = f i,k
f i,i
+ µ u j,k ,
k = i + 1, . . . , ν
✷