OPTIM´ALN´I ROZHODOV´AN´I AˇR´IZEN´I

KAPITOLA 3. MINIMALIZACE KVADRATICKÝCH FOREM 38
Triangulizace matice (to je úprava matice na horní trojúhelníkový tvar) se provádí pomocí
specielní ortogonální matice T, zvané matice planárních rotací, nebo také
Givensova rotace. Ortogonální matice je taková matice, pro kterou platí T T T = I.
Matici T volíme takovou, aby platilo
[ ] [ ]
ϕF ¯F
T =
h 0
Potom platí
M =
[
ϕF
h
] T [
ϕF
h
]
=
[
ϕF
h
] T [
ϕF
T T T
h
]
=
[ ¯F
0
] T [ ¯F
0
]
= ¯F T ¯F
Přitom předpokládáme, že matice F je horní trojúhelníková [ ] matice. Triangulizace spočívá
F
v podstatě ve vynulování posledního řádku matice (faktor zapomínání ϕ nebudeme
h
pro jednoduchost uvažovat).
Triangulizaci provádíme sekvenčně tak, že nejprve vynulujeme první prvek posledního
řádku vhodně zvolenou ortogonální maticí T, potom vynulujeme druhý prvek posledního
řádku opět vhodně zvolenou ortogonální maticí T a tak postupně vynulujeme všechny
další prvky posledního řádku. Při tom matice F mění koeficienty, ale zachovává trojúhelníkový
tvar a postupně se mění na horní trojúhelníkovou matici ¯F.
Postup ukážeme při nulování i-tého prvku posledního řádku, to je při (i)-té iteraci
popisovaného sekvenčního postupu. Ortogonální matice T je v tomto případě rovna
⎡
⎤
1
. . .
T =
1
c i . . . s i
⎢
⎥
⎣ . . .
⎦
−s i c i
Ortogonální matice T je rovna jednotkové matici s výjimkou prvků T i,i = c i , T i,ν = s i ,
T ν,i = −s i a T ν,ν = c i , kde ν je dimenze matice T. Aby matice T byla ortogonální maticí,
musí být koeficienty [ ] c i a s i omezeny vztahem c 2 i +s 2 i = 1. Násobíme-li takovou ortogonální
F
maticí matici , pak se ve výsledné matici změní pouze i-tý a poslední ν-tý řádek.
h
Pro tyto řádky platí
[
F
T
h
]
i,ν; .
=
=
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
⎤
c i . . . s i
⎥
. . . ⎦
−s i . . . c i
⎡
. . . 0 F i,i F i,i+1 . . . F i,ν
⎢
⎣ . . .
. . . 0 h (i−1)
i
⎤
. . . 0 ¯Fi,i ¯Fi,i+1 . . . ¯Fi,ν
. . .
. . . 0 0 h (i)
i+1 . . . h (i)
ν
⎥
⎦
h (i−1)
i+1 . . . h (i−1)
ν
⎤
⎥
⎦ =
kde horním indexem v závorce jsme označili krok (iteraci) algoritmu. Protože chceme
nulovat i-tý prvek posledního řádku, musí platit h (i)
i = −s i F i,i + c i h (i−1)
i = 0. Odtud