OPTIM´ALN´I ROZHODOV´AN´I AˇR´IZEN´I

KAPITOLA 4. LINEÁRNÍ PROGRAMOVÁNÍ 44
Směšovací problém
Máme n základních surovin. Úkolem je namíchat základní suroviny tak, aby výsledný
výrobek měl předepsané složení a surovinové náklady byly minimální. Množství jednotek
suroviny j-tého typu označíme x j , její cena za jednotku je c j . Požadované složení
výsledného produktu je popsáno vektorem b, jehož složky b i jsou rovny požadovanému
obsahu látky i ve výsledném produktu. Jednotkové množství základní suroviny j-tého
typu obsahuje a ij jednotek látky typu i. Hledáme tedy
kde matice A má prvky a ij .
min {c T x : Ax = b, x ≥ 0, }
Podobný je problém volby nejekonomičtější diety, spočívající ve volbě n různých druhů
potravin tak, aby jejich celková cena byla minimální a přitom jsme splnili požadavky na
vyrovnanou dietu.
Dopravní problém
Máme m výrobců a n spotřebitelů. i-tý výrobce vyrábí a i jednotek zboží a j-tý spotřebitel
potřebuje b j jednotek zboží. Veličina c ij je rovna nákladům na přepravu jednotky zboží od
i-tého výrobce k j-tému spotřebiteli. Proměnná x ij je rovna množství jednotek zboží od
i-tého výrobce k j-tému spotřebiteli. Chceme rozvést zboží od výrobců ke spotřebitelům
s minimálními náklady při respektování omezení. Hledáme tedy
⎧
⎨ m∑ n∑
min c
⎩ ij x ij :
i=1 j=1
n∑
x ij ≤ a i ,
j=1
m∑
x ij = b j , x ij ≥ 0,
i=1
⎫
m∑ n∑ ⎬
a i ≥ b j
⎭
i=1 j=1
Distribuční problém
Zde se jedná o matematický model problému optimálního rozpisu výroby na stroje či jiná
zařízení.
Pro každý z m strojů máme určit, kolik výrobků typu 1 až n se na něm bude vyrábět.
Přitom jsou známy počty hodin a i , 1 ≤ i ≤ m, které jsou k dispozici na jednotlivých
strojích a také požadované množství výrobků b j , 1 ≤ j ≤ n, typu j. Konstanty c ij jsou
náklady na hodinovou práci i-tého stroje při výrobě j-tého výrobku, k ij je hodinový výkon
i-tého stroje při výrobě j-tého výrobku a proměnné x ij jsou počty hodin i-tého stroje,
po které bude stroj vyrábět j-tý výrobek. Tento problém je specielní úloha lineárního
programování
⎧
⎨ m∑ n∑
min c
⎩ ij x ij :
i=1 j=1
n∑
x ij ≤ a i ,
j=1
⎫
⎬
m∑
k ij x ij = b j , x ij ≥ 0,
⎭
i=1
Mnoho problémů optimálního řízení dynamických systémů je možno převést na úlohu
lineárního programování. Typický příklad je optimální řízení lineárního diskrétního dynamického
systému s omezením velikosti vstupních veličin a lineárním kritériem (např.
časově optimální diskrétní řízení).
Také maticová hra, která je modelem antagonistického konfliktu dvou hráčů s konečným
počtem strategií vede na úlohu lineárního programování.