OPTIM´ALN´I ROZHODOV´AN´I AˇR´IZEN´I

KAPITOLA 2. NELINEÁRNÍ
PROGRAMOVÁNÍ 26
5. Vypočtěte optimální konstantu r 0 proporcionálního regulátoru, který v regulačním
obvodu reguluje systém s přenosem
G(s) =
5
s(s + 1) 5 .
Vstupní signál je skok řízení w(t) = 1(t). Kritérium kvality řízení je
J(r 0 ) =
∫ ∞
0
(
e 2 (t) + 3u 2 (t) ) dt
kde e(t) je regulační odchylka a u(t) je akční veličina.
6. Mějme stejný regulační obvod jako v předchozím příkladě. Řízení je nulové, ale na
vstupu systému působí porucha, kterou můžeme považovat za náhodný signál blízký
bílému šumu. Navrhněte optimální konstantu proporcionálního regulátoru, při které
je rozptyl regulační odchylky minimální.
7. Je dán diskrétní systém popsaný stavovými rovnicemi
x(k + 1) = Mx(k) + Nu(k)
y(k) = Cx(k),
který řídíme pomocí lineární zpětné vazby ve tvaru
a) u(k) = −K 1 x(k)
b) u(k) = −K 2 y(k).
Vypočtěte optimální zpětnovazební matici K i v obou případech, která minimalizuje
kritérium
∞∑
J(K) = y T (k)Qy(k) + u T (k)Ru(k).
k=0
Návod k řešení:
Dosad’te rovnici regulátoru do stavové rovnice systému. Řešení této rovnice dosad ’te
do kritéria. Použijte vztah x T Qx = tr(xx T Q). Optimální zpětnou vazbu určíme z
podmínky ∂J = 0. Derivaci kritéria podle zpětnovazební matice K provedeme tak,
∂K
že stanovíme přírůstek kritéria J(K + ε∆K) a použijeme dvě následující tvrzení:
1) Mějme maticovou funkci F(X) = (A + BX) k a ε je nekonečně malá veličina
prvního řádu. Pak platí
F (X + ε∆X) = (A + BX) k +
k∑
ε (A + BX) k−i−1 B∆X (A + BX) i + ∆(ε 2 )
i=0
2) Mějme maticovou funkci f(X) = tr (F(X)) a ε je nekonečně malá veličina prvního
řádu. Platí-li
f (X + ε∆X) = f (X) + ε tr (M(X)∆X) + ∆(ε 2 ),
pak
∂f
∂X = MT (X)