OPTIM´ALN´I ROZHODOV´AN´I AˇR´IZEN´I

KAPITOLA 1. ÚVOD 2
řešitele získaná při řešení podobných problémů a při přenášení výsledků do reality.
Situaci, při níž je potřeba se rozhodnout, budeme nazývat rozhodovací situace. Existuje
mnoho situací, jejichž matematický model je statický - popisuje pouze algebraické vztahy
mezi veličinami, které jsou časově neproměnné. Také při modelování složitých dynamických
systémů nám často nic jiného nezbude, než zanedbat jejich dynamiku a vytvářet
pouze statické modely. Proto se nejprve budeme zabývat řešením statických optimalizačních
problémů, u nichž se nevyskytuje čas jako nezávisle proměnná. Řešením těchto
problémů se zabývá samostatný vědní obor, který se nazývá matematické programování.
Jsou-li vztahy mezi veličinami lineární a kritérium je také lineární, dostaneme problém
lineárního programování. Obecná úloha tohoto typu vede na problém nelineárního programování.
Je-li modelem situace dynamický systém, pak optimalizační problém je problémem dynamické
optimalizace, který také často nazýváme problémem optimálního řízení. Protože
pro statickou úlohu nelineárního programování byla vypracována řada účinných numerických
metod, často se snažíme převést úlohu dynamické optimalizace na statický problém.
Existují však metody, které řeší problém dynamické optimalizace přímo. Jedná se o
variační metody, princip maxima a dynamické programování. Variační metody a princip
maxima formulují nutné podmínky, které musí splňovat optimální řešení. Jedná se
o řešení soustavy diferenciálních rovnic. Pomocí dynamického programování dostáváme
rekurentní vztahy, které jsou vhodné pro numerický výpočet.
Je již nyní zřejmé, že tato publikace tvoří pouze úvod do problematiky optimalizace.
Podrobnosti je třeba hledat ve speciální literatuře.
1.1 Optimalizační problémy
S optimalizačními problémy se setkáme téměř všude. Uvedeme nyní několik příkladů,
které zahrnují velkou třídu problémů.
1. Alokační problémy
Jedná se o optimální rozdělění zdrojů a určení optimálního výrobního programu. Výrobce
má k dispozici výrobní zařízení, která jsou schopna vyrábět n různých druhů výrobků
(zboží) z m surovin, jejichž zdroj je omezen. Problémem je rozdělit suroviny na možné
výrobky tak, abychom maximalizovali zisk.
Zisk z jednoho výrobku j-tého typu je c j a výrobce ho vyrábí x j kusů. Na výrobu
j-tého výrobku potřebuje výrobce a ij jednotek suroviny i-tého typu. Při tom má výrobce
k dispozici b i jednotek suroviny i-tého typu. Maximalizace zisku při uvažování omezení
zdrojů surovin vede zřejmě na následující úlohu
n∑
max{ c j x j :
j=1
m∑
a ij x j ≤ b i , x j ≥ 0}
j=1
neboli pomocí odpovídajících vektorů a matic
max{c T x : Ax ≤ b, x ≥ 0}.