OPTIM´ALN´I ROZHODOV´AN´I AˇR´IZEN´I

KAPITOLA 3. MINIMALIZACE KVADRATICKÝCH FOREM 32
Předchozí vztah platí pro pozitivně definitní matici A. Pokud je matice A pouze pozitivně
semidefinitní, pak místo inverze matice je třeba použít pseudoinverzi (viz dále).
Hessova matice druhých derivací minimalizované kvadratické formy je rovna matici
(A + A T ) a proto při pozitivně semidefinitní matici A je existence minima zajištěna.
Pozn: Úplně podobným postupem můžeme hledat minimum kvadratické formy vzhledem
k vektoru y.
✷
Jednodušší metoda minimalizace kvadratických forem spočívá v jejich úpravě na úplný
čtverec. Kvadratickou formu (3.4) upravíme do tvaru
J(x, y) = (x − x ∗ ) T A (x − x ∗ ) + y T Cy − (x ∗ ) T Ax ∗ (3.8)
kde x ∗ je zatím nějaký vektor. Aby předchozí kvadratická forma byla rovna kvadratické
formě (3.4), musí zřejmě platit
−(x ∗ ) T Ax = y T Dx,
−x T Ax ∗ = x T By
Protože předchozí vztahy platí pro všechna x, platí zřejmě
−(x ∗ ) T A = y T D,
−Ax ∗ = By
Po transpozici první rovnice a následném sečtení obou rovnic dostaneme
Neznámý vektor x ∗ je tedy roven
− ( A + A T ) x ∗ = ( B + D T ) y
x ∗ = − ( A + A T ) −1 ( B + D T ) y.
Kvadratická forma (3.8) je minimální vzhledem k proměnné x tehdy, když x = x ∗ , nebot’
x ∗ není na x závislé. Proto x ∗ je optimální hodnota x, minimalizující kvadratickou formu.
Výsledek je stejný jako při použití derivací - viz (3.7). Při minimalizaci kvadratických
forem jejich úpravou na úplný čtverec získáme jejich minimum jednoduše bez použití
derivací. Minimální hodnotu kvadratické formy dostaneme dosazením x ∗ do (3.8).
Z předchozích vztahů je zřejmé, že můžeme předpokládat, že matice A je symetrická
matice. Pokud tomu tak není, můžeme ji symetrizovat zavedením nové symetrické matice
A s = 1 2 (A + AT ) a výsledek optimalizace se zřejmě nezmění. Podobně lze symetrizovat i
matici C. Také můžeme předpokládat, že matice B a D jsou si až na transpozici rovny.
Pokud tomu tak není, pak zavedeme novou matici B 1 podle vztahu B+D T = 2B 1 a touto
novou maticí B 1 nahradíme matice B a D v kvadratické formě podle vztahu B = B 1 ,
D = B T 1 . Hodnota kvadratické formy se zřejmě nezmění. Proto budeme dále předpokládat,
že matice A i matice C jsou symetrické matice a matice B a D jsou si až na transpozici
rovny.
Kvadratické formy můžeme zapisovat také ve tvaru
J(x, y) = [ x T y T ] [ A B
B T C
] [
x
y
]
. (3.9)