Řešené příklady - Magisterský program Inteligentní budovy

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZEFAKULTA ELEKTROTECHNICKÁmagisterský studijní programInteligentní budovyELEKTRICKÉ SVĚTLO1Řešené příkladyProf. Ing. Jiří Habel, DrSc.a kolektivPraha2011

PředmluvaPředkládaná učební pomůcka je určena studentům 1.roč. magisterského učebního programu„Inteligentní budovy“ – zaměření elektrotechnické / informatické a tvoří vhodný doplněk vlastníhoučebního textu k usnadnění studia předmětu Elektrické světlo 1.Ve skriptu jsou v příkladech ukázány běžné postupy řešení základních světelně technickýchveličin i možnosti praktického využití jejich vzájemných souvislostí. V několika komplexnějšíchpříkladech jsou výsledky výpočtů ověřeny energetickými bilancemi. Čtenář v publikaci nalezne ivýpočty rozložení světelných toků bodových, přímkových a obdélníkových typů svítidel a příkladyilustrující vliv mnohonásobných odrazů v interiérech. Na přípravě pomůcky a řešení jednotlivýchpříkladů a na zpracování pomůcky se podíleli : Prof. Ing. Jiří Habel, DrSc., Ing. Tomáš Veselka,Ing. Marek Bálský, Ing. Rudolf Bayer a Ing. Jan Zálešák.Předložená učební pomůcka není jistě bez nedostatků. Proto budeme všem čtenářům vděčni zaveškeré jejich připomínky jak k obsahu, tak i ke způsobu zpracování látky.V Praze, v říjnu roku 2011Autořii

OBSAHPředmluva.......................................................................................................................................iOBSAH .........................................................................................................................................11. Rozlišení detailu....................................................................................................................22. Prostorový úhel......................................................................................................................33. Prostorový úhel......................................................................................................................44. Prostorový úhel......................................................................................................................55. Světelný tok sodíkové výbojky .............................................................................................66. Určení světelného toku ze svítivosti zdroje...........................................................................77. Určení svítivosti ze světelného toku zdroje...........................................................................78. Jas povrchu tělesa ve tvaru koule..........................................................................................89. Jas povrchu tělesa ve tvaru polokoule...................................................................................910. Jas povrchu tělesa ve tvaru válce.....................................................................................1011. Určení světlení z dopadlého toku na plošku....................................................................1212. Světelný tok a osvětlenost v poli bodového zdroje .........................................................1313. Světlení povrchu a integrální činitele odrazu a prostupu.................................................1514. Integrální činitele odrazu, prostupu a pohlcení................................................................1615. Osvětlenost v poli bodového zdroje ................................................................................1716. Osvětlenost v poli bodového zdroje ................................................................................1917. Světlení plochy v poli dvou bodových zdrojů .................................................................2018. Určení svítivosti zdroje vizuální metodou na fotometrické lavici...................................2419. Výpočet osvětlenosti v místnosti se čtyřmi svítidly bodového typu ...............................2520. Výpočet rozložení toku rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu...........3021. Výpočet rozložení světelného toku svítidla přímkového typu ........................................3322. Výpočet toku dopadajícího ze svítidla bodového typu na obdélník ................................3623. Graficko-početní metoda výpočtu toku rotačně souměrně vyzařujícího svítidla ..........3924. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje..........................................................4025. Výpočet světlenosti v poli přímkového typu ...................................................................4326. Mnohonásobné odrazy v duté ploše s otvorem................................................................4727. Výpočet rozložení světelného toku svítidla obdélníkového typu ....................................4928. Řešení mnohonásobných odrazů v prostoru ve tvaru kvádru..........................................5229. Rozložení jasů v prostoru ve tvaru kvádru ......................................................................5530. Řešení parametrů osvětlovací soustavy v programu DIALux.........................................5831. Analýza zapínacího proud žárovek..................................................................................6732. Analýza napájecího obvodu zářivky 36 W s indukčním předřadníkem ..........................6833. Kompenzace účiníku v obvodu zářivky 36 W s indukčním předřadníkem...................721

1. Rozlišení detailuUrčete vzdálenost, ze které lidské oko rozliší úsečku o délce 1 mm při rozlišovací schopnostioka 1’.Řešení:Pro malé úhly, zejména v oblasti minut, lze přistupovat k problému zjednodušeně podle obr. 1b.Obr. 1aObr. 1bObr. 1 Pozorovatel sleduje objekt o délce 1 mm ze vzdálenosti l pod úhlem 1’.[Při malých úhlech (cca do 1°) lze při řešení postupovat i podle obr. 1b].Výpočet pro situaci na obr. 1a:−30,5 mm 0,5 mm 0,5 ⋅10tg( 0,5')= ⇒ l = = = 3,438 ml tg( 0,5')tg( 0,5')Pro přepočet z minut na stupně, resp. z minut na radiány, lze použít vztahy°0,5'= ⋅π= 1454 , ⋅10180°Výpočet pro situaci na obr. 1b:−3( ) ( )( 0,5/60)0,5 60 ° = 8,333 ⋅10° ; 0,5'=−31mm1⋅10tg( 1')= ⇒ l = = 3,438 ml tg( 1')V tomto případě se výsledky obou přístupů liší až na 7. desetinném místě.Pro přepočet z minut na stupně, resp. z minut na radiány, lze použít vztahy°1'= ⋅π= 2,909 ⋅10180°−2( ) ( )( 1/60)1 60 ° = 1666 , ⋅10° ; 1'=−4rad−4rad2

2. Prostorový úhelPod jakým prostorovým úhlem vidí pozorovatel svítidlo S ve tvaru koule o průměru d = 30 cm,pokud jej pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l = 2,5 m od středu svítidla pod úhlem β = 30°podle obr. 2 ?Řešení:Obr. 2 Svítidlo S ve tvaru koule o průměru d se pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l.Úhel β svírá svislá osa o s svítidla se spojnicí středu svítidla S a bodu P.Prostorový úhel Ω, pod nímž je z bodu P vidět svítící povrch svítidla obecného tvaru zevzdálenosti l, lze spočítat podle vztahuΩA ⋅ cos β=2(sr; m 2 , m) (1)lkde A je svítící povrch svítidla, který pozoruje pozorovatel z bodu P,β je úhel mezi svislou osou o s a spojnicí středu svítidla S a bodem P,( A ⋅ cosβ ) je průmět svítícího povrchu svítidla do roviny kolmé k ose pohledu, tj. ke spojnicibodu S a bodu P.Svítící povrch svítidla S ve tvaru koule vidí pozorovatel z jakéhokoliv směru (tj. pro jakýkoliv1A⋅cosβ = ⋅π⋅ d ] ležící v rovině kolmé k paprsku l.úhel β) jako kruh [o ploše ( )24Z rovnice (1) pro hledaný prostorový úhel Ω, pod nímž je z bodu P vidět kruhový zdroj S, pakA ⋅ cosβ vyplývápo dosazení za ( )Ω =A ⋅lπlπ 0 32,51 2 1cos β ⋅ ⋅ d ⋅ ⋅ ,44= =2222= 11,31·10 -3 srZávěr:Pozorovatel z bodu P vidí svítidlo S ve tvaru koule pod prostorovým úhlem Ω = 11,31·10 -3 sr.3

3. Prostorový úhelPod jakým prostorovým úhlem vidí pozorovatel svítidlo S tvaru kruhu o průměru d = 30 cm,pokud jej pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l = 2,5 m od středu svítidla S a pod úhlem β = 30°podle obr. 3 ?Řešení:Obr. 3 Svítidlo S ve tvaru kruhu o průměru d se pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l.Úhel β svírá paprsek l s normálou N A k vyzařovací ploše svítidla.Při výpočtu hledaného prostorového úhlu Ω se vychází z obecné rovnice (1) uvedené v příkladu 2,do které se dosadí: l = 2,5 m; A = π·d 2 ; d = 0,3 m; β = 30°; cosβ = cos(30°)Závěr:A⋅Ω == 9,80·10 -3 sr22cos β π ⋅ d cos β π ⋅0,3 cos30°= ⋅ = ⋅222l 4 l 4 2,5Pozorovatel z bodu P vidí svítidlo S ve tvaru kruhu pod prostorovým úhlem Ω = 9,80·10 -3 sr.4

4. Prostorový úhelPod jakým prostorovým úhlem vidí pozorovatel svítidlo tvaru válce s podstavou o průměrud = 30 cm a výškou h = 40 cm ze vzdálenosti l = 2,5 m od středu svítidla, pokud jej pozorujez bodu P pod úhlem α = 30° dle obr. 4 ?Obr. 4 Svítidlo S ve tvaru válce s podstavou o průměru d a výškou h se pozoruje z bodu P ze vzdálenosti l. Úhelβ svírá svislá osa o s svítidla S se spojnicí středu svítidla S a bodu P.Řešení:Při výpočtu hledaného prostorového úhlu Ω se vychází z obecné rovnice (1) uvedené v příkladu2, kde součin ( A ⋅ cosβ ) představuje průmět povrchu válcové plochy roviny kolmé ke směrupohledu, tj. k paprsku l. Povrch válce si lze rozdělit na dílčí plochy podle obr. 5, a to na kruh aobdélník.Obr. 5 Z pohledu pozorovatele P lze povrch svítidla S ve tvaru válce rozdělit na kruh A k pozorovaný pod úhlemβ a na obdélník A o pozorovaný pod úhlem (90°-β), jak je naznačeno v pravé části obrázku.K získání celkového prostorového úhlu Ω dosadíme do obecného vztahu (1) úhel β a plochu A k ,úhel (90°-β) a plochu A o2( 90° −α) π ⋅ d cosα( h ⋅ d ) ⋅ cos( 90° − α )= ⋅ +=A⋅cosαB ⋅ cosΩ = +2222ll4 llπ ⋅2( 0,4 ⋅0,3) ⋅ cos( 90° − 30 )2, cos30°°0 34⋅2,5+2,52= 19,40·10 -3 srZávěr:5

Pozorovatel z bodu P vidí svítidlo S pod prostorovým úhlem Ω = 19,40·10 -3 sr.5. Světelný tok sodíkové výbojkyPři uvažování fotopického vidění určete světelný tok sodíkové výbojky 50 W, která vyzařuje navlnové délce λ = 555 nm zářivý tok Φ e (λ) = 8 W.17001600S v ě t e l n ý ú č i n e k z á ř e n í ( l m/ W )150014001300120011001000900800700600500400300K´(λ) - skotopické viděnímax. 1700 lm /W při 507 nm555 nmK´´(λ) K´´(λ) - - mezopické vidění viděníadaptační adaptační jas jas 0,1 0,1 cd.m cd.m -2 -2max. 756 lm /W při 532 nmK(λ) - fotopické viděnímax. 683 lm /W při 555 nmK´´(λ) - mezopické viděníadaptační jas 1 cd.m -2max. 695 lm /W při 545 nm2001000400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 620 640 660 680 700vlnová délka (nm)Obr. 6 Závislosti světelného účinku záření K(λ) normálního fotometrického pozorovatele při fotopickém,mezopickém a skotopickém vidění na vlnové délce viditelného záření.Řešení:Světelný tok Φ(λ) odpovídající zářivému monofrekvenčnímu toku Φ e (λ) při fotopickém viděnínormálního fotometrického pozorovatele se stanoví jako součin zmíněného zářivého toku Φ e (λ) asvětelného účinku K(λ) záření ze vztahuΦ( λ)= K(λ)⋅ Φ ( λ)(lm; lm/W, W) (2)eV daném případě Φ e (λ) = Φ e (555) = 8 W a tudíž K(λ) = K(555) = 683 lm·W -1 . Po dosazení dovztahu (2) pro hledaný světelný tok Φ(λ) vycházíZávěr:Φ( λ)= K(λ)⋅ Φ ( λ)= 683 ⋅ 8 = 5464 lm≐ 5460 lmeSvětelný tok sodíkové výbojky o příkonu 50 W je 5460 lm.6

6. Určení světelného toku ze svítivosti zdrojeZadání:Stanovte světelný tok Φ zdroje, jehož průměrná svítivost do dolního poloprostoru je I d = 48 cda do horního poloprostoru I h = 36 cd.Řešení:Svítivost I γ bodového zdroje ve směru určeném úhlem γ je rovna světelnému toku Φobsaženému v jednotkovém prostorovém úhlu Ω,.a to v souladu s definiční rovnicí svítivostidΦIγ =(cd; lm, sr) (3)dΩkde dΩ je prostorový úhel, jehož osa leží ve směru určeném úhlem γ a v jehož mezíchuvažovaný zdroj vyzařuje světelný tok dΦ.Prostorový úhel Ω celého prostoru je roven 4π a prostorový úhel poloprostoru je 2π. Je-liprůměrná svítivost I d do dolního a I h do horního poloprostoru, stanoví se hledané světelné toky Φ d aΦ h do dolního a horního poloprostoru ze vztahuZávěř:Φ = I ⋅ Ω = I ⋅ Ω + I ⋅ Ω = 48 ⋅2π+ 36⋅2π= 527,79 lm≐ 528 lmSvětelný tok Φ zdroje je 528 lm.ddhh7. Určení svítivosti ze světelného toku zdrojeZadání:Jaká je svítivost bodového zdroje světla, který vyzařuje světelný tok Φ = 1256 lm rovnoměrnědo všech směrů v prostoru?Řešení:Svítivost I γ bodového zdroje je definována vztahem (3) uvedeném v příkladu 6.Pokud je světelný tok Φ rovnoměrně vyzařován do všech směrů (Ω = 4π) je průměrná svítivostI rovna poměru toku Φ a prostorového úhlu Ω, tj.IΦ 1256 = = = 99,95 cd≐ 100 cdΩ 4πZávěr:Průměrná svítivost uvažovaného bodového zdroje rovnoměrně vyzařujícího tok 1256 lm docelého prostoru je 100 cd.7

8. Jas povrchu tělesa ve tvaru kouleZadání:Určete jas L povrchu tělesa ve tvaru koule o průměru d = 30 cm, které do všech směrů vyzařujes konstantní svítivostí I = 100 cd.Řešení:Obr. 7 Pozorovatel vidí z bodu P svítidlo tvaru koule o průměru d jako kruh o průměru d.Pro jas L γ svazku paprsků rozbíhajících se z bodového zdroje, jehož svítivost ve směru osysvazku je I γ , platí obecný vztahIγLγ= A ⋅ cosγ(cd·m -2 ; cd, m 2 ) (4)kde A je vyzařující plocha,γ je úhel mezi normálou N A plochy A a osou svazku paprsků I γ (viz obr. 8).Obr. 8 Náčrt průmětu (A·cosγ) svítící plochy A do roviny kolmé ke směru svítivosti I γ .Pokud pozorovatel P podle obr. 7 pozoruje svítidlo ve tvaru koule, uvidí z jakéhokoliv úhlu γ(obr. 8) kruh o průměru d. V daném případě je tedy pro libovolný úhel γ průmětZávěr:2dA⋅cos β = π ⋅(5)4a hledaný jas L se při konstantní svítivost I vypočte z rovniceIS100 100−π ⋅ d π ⋅ 0,34 42L = = = = 1414,71cd⋅ m2 2≐ 1415 cd·m -28

Hledaný jas L povrchu tělesa ve tvaru koule je tedy 1415 cd·m 2 .9. Jas povrchu tělesa ve tvaru polokouleZadání:Určete jas povrchu tělesa ve tvaru polokoule o průměru d = 30 cm ve směru k pozorovateliv bodě P (ve směru pod úhlem γ = 30° od normály N A ), je-li svítivost tělesa ve sledovaném směruI γ = 100 cd (viz obr. 9).Řešení:Obr. 9 Jas svítidla tvaru polokoule o průměru d hodnotí pozorovatel z bodu P. Úhel γ svírá normála N Akruhové podstavy svítící plochy polokoule a spojnice středu podstavy s bodem P.Pro jas L γ svazku paprsků rozbíhajících se paprsků platí vztah (4) uvedený v příkladu 8IγLγ= (cd·m -2 ; cd, m 2 ) (4)A ⋅ cosγDůležité je, že ve jmenovateli vztahu (4) je průmět svítící plochy A zdroje do roviny kolmé kesměru pohledu pozorovatele, tj. A ⋅cosγ.Pro daný případ je situace znázorněna na obr. 10.Obr. 10aObr. 10bObr. 10 Polokulové svítidlo je z bodu P (obr. 10a) vidět ve tvaru znázorněném na obr. 10b.Plocha A 2 představuje polovinu obsahu kruhu o průměru d, tj.2 1 2π ⋅dA2= ⋅4,plocha A 1 je pak rovna polovině kruhu pozorovaného pod úhlem γ, tj.Z obr. 10 je zřejmé, že v daném případě je průmět ( ⋅ cosβ )k ose pohledu roven2A ⋅cosγ.1 π⋅d1= 2⋅ 4A svítící plochy A do roviny kolmé221 π ⋅ d 1 π ⋅ dA⋅cos γ = A1+ A2= ⋅ ⋅ cosγ+ ⋅(6)2 4 2 49

Po dosazení do vztahu (6) pro hledanou hodnotu jasu vycházíLγ=IγA ⋅ cosγ=IγIγ=2A1 + A21 π ⋅ d 1 π ⋅ d⋅ ⋅ cosγ+ ⋅2 4 2 42==1 π ⋅0,3⋅2 41001 π ⋅0,3⋅cos30° + ⋅2 4= 1516 28,2 2≐ 1516 cd·m -2Závěr:Jas povrchu zadaného tělesa ve tvaru polokoule se svítivostí I γ = 100 cd v pozorovaném směruje 1516 cd·m -2 .10. Jas povrchu tělesa ve tvaru válceZadání:Určete jas povrchu svítícího tělesa ve tvaru válce s podstavou o průměru d = 30 cm, výškouh = 40 cm, a to ve směru pod úhlem γ = 30° od osy o v válce za předpokladu, že svítivost I γ danéhosvítidla v uvažovaném směru je rovna I γ = 100 cd (viz obr. 11).Obr. 11 Jas svítícího tělesa ve tvaru válce o průměru podstavy d a výšce h hodnotí pozorovatel z bodu P.Úhel γ se měří mezi normálou N A1 kruhové podstavy válce a spojnicí středu svítidla s bodem P.Přímka N A2 prochází středem válce a je kolmá k normále N A1 .Řešení:Pro jas L γ svazku paprsků rozbíhajících se paprsků platí vztah (4) uvedený v příkladu 8IγLγ= (cd·m -2 ; cd, m 2 ) (4)A ⋅cosγ10

Obr. 12aObr. 12bObr. 12 Svítící válec (obr. 12a) je z bodu P vidět ve tvaru znázorněném na obr. 12b.Pozorovanou svítící plochu lze rozdělit na svítící kruh podstavy A p pozorovaný pod úhlem γ jako plocha A 1a na plášť válce pozorovaný pod úhlem (90°-γ) jako plocha A 2 obdélníku.Z obr. 12 je zřejmé, že v daném případě je průmět ( ⋅ cosβ )k ose pohledu rovenA svítící plochy A do roviny kolmé2π ⋅ dA⋅cosγ= A1 + A2= ⋅ cosγ+ h ⋅ d ⋅ cosγ(7)4Po dosazení do vztahu (7) pro hledanou hodnotu jasu L γ vycházíLγ=IγA ⋅ cosγ=IγA + A12=π ⋅ d42Iγ⋅ cosγ+ h ⋅ d ⋅ cosγ=Závěr:100= = 824,98≐ 825 cd·m -2π2⋅0,3⋅cos30° + 0,4⋅0,3⋅cos30°4Jas povrchu zadaného tělesa ve tvaru válce s danou svítivostí v pozorovaném směru je825 cd·m -2 .11

11. Určení světlení z dopadlého toku na ploškuZadání:Určete světlení rovinné plošky A o obsahu S = 100 cm 2 , ze které vychází světelný tokΦ = 120 lm (obr. 13).Řešení:Obr. 13 Plocha A vyzařuje tok Φ.Světlení je definováno jako plošná hustota světelného toku dΦ v vyzařovaného z plošky dApodle výrazuMdΦv= (lm·m -2 ; lm, m 2 ) (8)dAPro průměrnou hodnotu světlení M plochy A vyzařující tok Φ v pak platíMΦv= (lm·m -2 ; lm, m 2 ) (9)APo dosazení do rovnice (9) pro hledané světelní M vycházíΦ 120M = = = 12000 lm·m -2S 0,01Závěř:Hodnota světelní M zadané plošky A je 12000 lm·m -2 .12

12. Světelný tok a osvětlenost v poli bodového zdrojeZadání:Určete světelný tok Φ dopadlý z bodového zdroje Z na plochu A kruhového tvaru o průměrud = 30 cm. Zdroj světla Z vyzařuje rovnoměrně do všech směrů s konstantní svítivostí I 0 = 100 cd aje od plochy A umístěn ve vzdálenosti l = 2,5 m (obr. 14). Dále určete osvětlenost plochy A. ZdrojZ osvětluje plochu A ze směru pod úhlem β = 30° měřeným od normály N A .Obr. 14 Zdroj Z osvětluje kruhovou plochu A ze vzdálenosti l. Osa svazku paprsků dopadajících ze zdroje Z naplochu A svírá s normálou N A úhel β.Řešení:Svítivost I γ svítidla bodového typu ve směru určeném úhlem γ je rovna světelnému toku Φobsaženému v jednotkovém prostorovém úhlu Ω.dΦIγ =(cd; lm, sr) (10)dΩkde dΩ je prostorový úhel, jehož osa leží ve směru určeném úhlem γ a v jehož mezíchuvažovaný zdroj vyzařuje světelný tok dΦ.Vyzáří-li zdroj do prostorového úhlu Ω světelný tok Φ, pak je průměrná svítivost I s v mezíchprostorového úhlu Ω rovnaΦI s= (cd; lm, sr) (11)ΩZ výrazu (11) vyplývá, že vyzařuje-li zdroj do prostorového úhlu Ω s konstantní svítivostí I s ,pak do prostorového úhlu Ω vyzáří světelný tok Φ, který se zjistí ze vztahuΦ = I Ω(lm; cd, sr) (12)s⋅Zadaný zdroj Z vyzařuje s konstantní svítivostí I 0 do celého prostoru. Svítivost I 0 je tedykonstantní i v mezích prostorového úhlu Ω A , pod kterým je z bodu Z vidět plocha A.Světelný tok Φ A dopadající na plochu A v mezích prostorového úhlu Ω A (obr. 15) lze tedyvypočítat ze vztahuΦ = I 0⋅(lm; cd, sr) (13)AΩ A13

Obr. 15 Z bodu zdroje Z je osvětlovaná plocha A vidět pod prostorovým úhlem Ω A .Prostorový úhel Ω, pod nímž je ze zdroje Z vidět plochu obecného tvaru ze vzdálenosti l lzespočítat podle vztahuA⋅cosβΩ = (sr; m 2 , m) (14)2lkde A je osvětlovaná plocha, která je z bodu Z vidět pod prostorovým úhlem Ω A ,1 2v daném případě A = ⋅π ⋅ d ,4β je úhel mezi spojnicí středu plochy A a zdrojem Z a normálou N A plochy A.Po dosazení do rovnice (14) pro prostorový úhel Ω A vycházíΩ A=22π ⋅ dπ ⋅0,3⋅ cos β⋅ cos30°A⋅cos β 4 4−3=== 9,79 ⋅10sr2 22ll2,5Dosadíme-li výsledek do vztahu (13), nalezneme již hledaný světelný tok Φ AΦ= I0 ⋅ = 100 ⋅ 9,79 ⋅10AΩ A−3= 0,98 lmPrůměrná osvětlenost E A plochy A se pak vypočte z výrazuΦAΦA0,98EA = = =22= 13,9 lxA π ⋅ d π ⋅0,34 4Stejná hodnota osvětlenosti E A se zjistí i dosazením do základního vzorce pro výpočetosvětlenosti E Pρ v bodě P obecně položené roviny ρ osvětlené svítidlem Z bodového typuIγ100E P ρ= ⋅ cos β = ⋅ cos30°= 13,6 lx2 2l 2,5Závěr:Světelný tok Φ dopadající na plochu A má hodnotu Φ A = 0,98 lm a osvětlenost E plochy Ahodnotu E A = 13,9 lx. K hodnotě osvětlenosti plošky A v bodě P lze dospět výpočtem světelnéhotoku Φ A dopadajícího na plochu A a vztažením tohoto toku na plochu A, nebo dosazením dozákladního vzorce pro výpočet osvětlenosti E Pρ v bodě P obecně položené roviny ρ.14

13. Světlení povrchu a integrální činitele odrazu a prostupuZadání:Mějme kruhovou difúzně odrážející a propouštějící plochu A o průměru d = 1 m. Integrálníčinitel odrazu plochy A je ρ = 0,7 a integrální činitel prostupu materiálu τ = 0,2. Na uvažovanouplochu A dopadá světelný tok Φ = 30 lm. Vypočítejte světelní M 1 povrchu A do poloprostoru,v němž je zdroj Z a M 2 do druhého poloprostoru (obr. 16).Řešení:Obr. 16 Zdroj Z osvětluje kruhovou plochu A o průměru d.Světlení M je obecně definováno vztahem (8) uvedeném v příkladu 11.Průměrná hodnota světlení M plochy A vyzařující (odrážející) tok Φ V se zjistí ze vztahu (9).Dopadá-li na difúzně odrážející plochu A tok Φ, odráží se od jejího povrchu do poloprostoru,v němž je zdroj Z světelný tok =Φ⋅ ρ . Obsah kruhové plochy A o průměru d se vypočtez výrazu1 2⋅ ⋅ d 4Φ oA = π . Po dosazení do vztahu (9) pro světlení M 1 vycházíΦo Φ ⋅ ρ 30 ⋅ 0,7M1= = =22= 26,7 lm·m -2A π ⋅ d π ⋅14 4Tok Φ p prošlý materiálem do poloprostoru 2 se stanoví z rovniceΦ p=Φ⋅τ.Průměrné světlení M 2 do poloprostoru 2 je rovno poměru toku Φ p a obsahu plochy AM2=ΦpA=Φ ⋅τ 30 ⋅ 0,2=22π ⋅ d π ⋅14 4= 7,6 lm·m -2Závěr:Zadaná plocha A po dopadu světelného toku Φ = 30 lm ze zdroje Z vykazuje do poloprostoru sezdrojem Z světlení M 1 = 26,7 lm·m -2 při daném integrálním činiteli odrazu ρ plochy A a doopačného poloprostoru M 2 = 7,6 lm·m -2 při daném integrálním činiteli prostupu τ materiálu plochyA.15

14. Integrální činitele odrazu, prostupu a pohlceníZadání:Mějme plochu A, na kterou dopadá světelný tok Φ = 1000 lm. 72 % světelného toku Φ se odplochy A odrazí a 230 lm látkou projde. Určete činitel pohlcení α materiálu plochy A.Řešení:Světelně technické vlastnosti látek charakterizují tři bezrozměrné integrální činitele: činitelodrazu ρ, činitel prostupu τ a činitel pohlcení α. Tyto činitele určují jaká část dopadajícíhosvětelného toku Φ se odrazí, projde látkou a je látkou pohlcena. Platí tedyρ + τ + α = 1(15)Pokud se podle zadání 72 % dopadajícího světelného toku Φ odrazí, je činitel odrazu ρ = 0,72.Dále víme, že látkou projde světelný tok Φ τ = 230 lm, což je 23 % z dopadajícího světelného tokuΦ = 1000 lm. Činitel prostupu je tedy τ = 0,23. Činitel pohlcení α se pak stanoví dosazením dorovnice (15) z výrazuZávěr:α = 1 − ρ −τ= 1−0, 72 −0,23 = 0,05Integrální činitele odrazu ρ, prostupu τ a pohlcení α určují, jaká část světelného toku Φ,dopadající např. na danou plochu A, se odrazí, projde a je pohlcena materiálem plochy.Sledovaný materiál plochy A vykazuje tedy při integrálním činiteli odrazu ρ = 0,72, hodnotuintegrálního činitele prostupu τ = 0,23 a hodnotu integrálního činitele pohlcení α = 0,05.16

15. Osvětlenost v poli bodového zdrojeZadání:Určete osvětlenost E Pρh v bodě P vodorovné srovnávací roviny ρ h (kolmé ke svisleorientovanému směru vztažné svítivosti I 0 ), kterou zajistí jediný bodový zdroj Z (viz obr. 17).Zadáno : ─ vztažná svítivost I 0 = 150 cd; h = 3 m; p = 4 m ,─ Rozložení svítivosti rotačně souměrně vyzařujícího zdroje vystihuje čára svítivosti,2jejíž tvar matematicky popisuje funkce f ( γ ) = cos γ .IŘešení:Obr. 17 Geometrické uspořádání zdroje Z a kontrolního bodu P ve vodorovné srovnávací rovině ρ h .V bodě P je vztyčena normála N ρh vodorovné srovnávací roviny ρ h (svislá čerchovaná čára).Obr. 18 Bodový zdroj Z osvětluje plošku dA v rovině ρ v okolí kontrolního bodu P.17

Ve směru ke kontrolnímu bodu P vykazuje zdroj Z svítivost I γ .Osvětluje-li se bodovým zdrojem Z ze vzdálenosti l ploška dA tvořící okolí bodu P v rovině ρ asvírá-li normála N ρ roviny ρ úhel β s paprskem l, lze odvodit pro osvětlenost E Pρ v bodě P roviny ρbodovým zdrojem výrazE P ρIγ⋅ cos β= (lx; cd, m 2 ) (16)2lJe-li křivka svítivosti uvažovaného rotačně souměrně vyzařujícího zdroje Z je v závislosti na úhlu γ2popsána funkcí f ( γ ) = cos γ , platí pro svítivost I γ vztahγI2( γ ) = ⋅ γI = III(17)0⋅ f0cosObr. 19 Znázornění průběhu charakteristické funkce f I (γ) = cos 2 γ v polárních souřadnicích.Pro úhel γ z obr. 17 vyplývá vztahp 4γ = β1 = arctg = arctg h 3= 53,13°(18)Vzdálenost l se stanoví z rovnicel2 2= h + p=32+ 42= 5 mSvítivost I γ uvažovaného zdroje ve směru pod úhlem γ = 53,13° se zjistí dosazenímdo vztahu (18)2( cos( 53,13°)) cd2I = I ⋅ cos γ = 150⋅54(19)γ0=Po dosazení do rovnice (16) pro osvětlenost E Pρh horizontální roviny ρ h v bodě P, kdy β 1 = γ,vycházíZávěr:I⋅ cos β( 53,13 )54 ⋅ cos °5γ 1E P ρ h= == 1,3 lx22lOsvětlenost E Pρh srovnávací roviny ρ h (kolmé k I 0 ) v bodě P ve vzdálenosti 5 m bodovýmzdrojem Z (I γ = 54 cd) je rovna E Pρh = 1,3 lx.18

16. Osvětlenost v poli bodového zdrojeZadání:Určete osvětlenost E Pρv v bodě P svislé srovnávací roviny ρ v [rovnoběžné se sněrem vztažnésvítivosti I 0 a kolmé k úsečce p (viz obr. 20) ], kterou zajistí jediný bodový zdroj Z.Zadáno : ─ vztažná svítivost I 0 = 150 cd; h = 3 m; p = 4 m ,─ rozložení svítivosti zdroje vystihuje čára svítivosti, jejíž tvar matematicky popisuje2funkce f ( γ ) = cos γ .IŘešení:Obr. 20 Geometrické uspořádání zdroje Z a kontrolního bodu P ve vertiklání rovině ρ v .Pro výpočet osvětlenosti E Pρ v bodě P obecné roviny ρ platí vztah (16) z příkladu 15.Rozložení svítivosti uvažovaného rotačně souměrně vyzařujícího zdroje je i v tomto případě2popsáno charakteristickou funkcí fI( γ ) = cos γ a tedy i rovnicí (19) z příkladu 15.Úhel γ se i v tomto případě stanoví z rovnice (18), tj. γ = 53,13° a tudíž je shodná i svítivost vesměru pod úhlem γ, tj. podle rovnice (19) I γ = 54 cd.Pro úhel β z obr. 20 vyplýváh 3β = arctg = arctg = 36,87°⇒cos β = 0,7999p 4Vzdálenost l kontrolního bodu P od zdroje Z se, v souladu s obr. 20, vypočte z rovnicel2 2= h + p=32+ 42= 5 mNyní můžeme dosadit získané hodnoty do vztahu pro osvětlenost E Pρv vertikální roviny ρ vv bodě PZávěr:E P ρ v=Iγ⋅cosβl2=( 36,87 )54 ⋅cos°25= 1,7 lx19

Osvětlenost E Pρv v bodě P svislé roviny ρ v ve vzdálenosti 5 m bodovým zdrojem Z(I γ = 54 cd) je rovna E Pρv = 1,7 lx.17. Světlení plochy v poli dvou bodových zdrojůZadání:Určete světlení M 1 a M 2 obou stran rovinné plošky A o rozměrech 10 x 20 cm, která se nacházív poli dvou bodových zdrojů Z 1 a Z 2 (obr. 21), vyzařujících světelné toky Φ Z1 a Φ Z2 s konstantnísvítivostí do celého prostoru.Výpočet proveďte za předpokladu, že ploška A vykazuje:1. oboustranně shodný rovnoměrně rozptylný odraz i prostup, Φ Z1 = Φ Z2 = 2900 lm.2. integrální činitel odrazu ρ = 0,5, integrální činitel prostupu τ = 0,15.Při řešení uvažujte: h = 1 m, p 1 = 2 m, p 2 = 1 m, β = 20°.Obr. 21 Zdroje světla Z 1 a Z 2 osvětlují povrchy A 1 a A 2 plochy A, jejíž normála svírá s vodorovnou rovinouúhel β.Řešení:Průměrná hodnota světlení M povrchu plochy A, který vyzařuje tok Φ v , je v souladus rovnicemi (8) a (9) rovna poměru Φv A.Celkový tok Φ v1 , který v daném případě vyzařuje povrch A 1 plochy A, se skládá z toku:1. [ρ·Φ Z1→A1 ]což je tok Φ Z1→A1 dopadlý ze zdroje Z 1 na A 1 a odrazí se od povrchu A 1 s činitelemodrazu ρ,2. [τ·Φ Z2→A2 ]což je tok Φ Z2→A2 dopadlý ze zdroje Z 2 na povrch A 2 a prošlý (s činitelem prostupu τ)materiálem plochy A na povrch A 1 .Pro tok Φ v1 , který povrch A 1 vyzařuje, platí tedy rovniceΦ[ ⋅Φ( Z1→A1)] + ⋅Φ( Z 2→2)[ ]= ρ τ(20)v1 A20

Celkový tok Φ v2 , který v daném případě vyzařuje povrch A 2 plochy A, se skládá z toku:1. [ρ·Φ Z2→A2 ]což je tok Φ Z2→A2 dopadlý ze zdroje Z 2 na A 2 a odrazí se od povrchu A 2 s činitelemodrazu ρ,2. [τ·Φ Z1→A1 ]což je tok Φ Z1→A1 dopadlý ze zdroje Z 1 na povrch A 1 a prošlý (s činitelem prostupu τ)materiálem plochy A na povrch A 2 .Pro tok Φ v2 , který povrch A 2 vyzařuje, platí tedy rovniceΦ[ ⋅Φ( Z 2→A2)] + ⋅Φ( Z1→1)[ ]= ρ τ(21)v2 AZ výrazů (20) a (21) vyplývá, že je nejprve třeba stanovit tok Φ Z1→A1 dopadající ze zdroje Z 1 napovrch A 1 , potažmo tok Φ Z2→A2 dopadající ze zdroje Z 2 na povrch A 2 .Připomeňme, že průměrná svítivost I p bodového zdroje v mezích určitého prostorového úhlu Ωje rovna poměru světelného toku Φ vyzářeného zdrojem do zmíněného úhlu Ω a velikostí tohotoprostorového úhlu, tj. platíΦI p= (cd; lm, sr) (22)ΩV daném případě každý zdroj vyzařuje tok Φ = 2900 lm a svítivost I obou zdrojů je stejná akonstantní do všech směrů celého prostoru [Ω = 4π]. Svítivost I zdroje Z 1 , resp. Z 2 do libovolnéhosměru prostoru se tedy v souladu s rovnicí (22) zjistí ze vztahuI =ΦΩ=2900 = 230,77 cd≐ 231 cd4 ⋅πZ obecného vztahu (22) dále vyplývá, že světelný tok Φ, který bodový zdroj vyzáří doprostorového úhlu Ω, se stanoví jako součin průměrné (v mezích zmíněného Ω) svítivosti I p zdroje avelikosti Ω,Φ = I Ω(lm; cd, sr) (23)p ⋅Protože svítivost I p = I = 231 cd obou zdrojů Z 1 a Z 2 je shodná a konstantní do celého prostoru,postačuje ke stanovení toků Φ Z1→A1 , resp. Φ Z2→A2 zjistit prostorové úhly Ω 1 a Ω 2 , pod nimiž jeplocha A vidět z bodu Z 1 , resp. Z 2 viz obr. 22.21

Obr. 22 K výpočtu prostorových úhlů Ω 1 a Ω 2 .Prostorové úhly Ω 1 a Ω 2 lze vypočítat ze vztahůΩ1=A⋅cos β1A ⋅ cos β2; Ω2=ll2122kdeA= A= 0, ⋅ , = , m1 21 0 2 0 022⎛ h ⎞ ⎛ ⎞− 1β⎜ ⎟1= arctg β = arctg⎜⎟ − 20°= 6,57°⎝ p1⎠ ⎝ 2⎠22 2 2l1= p1+ h = 2 + 1 =5m⎛ h ⎞ ⎛ ⎞+ 1β⎜ ⎟2= arctg β = arctg⎜⎟ + 20°= 65°⎝ p2⎠ ⎝ 1⎠22 2 2l1= p2+ h = 1 + 1 =2 m( 5 )( 6,57°)A1⋅ cosβ10,02 ⋅ cos−3Ω1 === 3,97 ⋅10sr22l1( 2)( 65°)A2⋅ cosβ20,02 ⋅ cos−3Ω2 === 4,23 ⋅10sr22l222

Při známé svítivosti I obou zdrojů a vypočtených prostorových úhlech Ω 1 a Ω 2 lze již podlerovnice (23) stanovit světelné toky Φ Z1→A1 a Φ Z2→A2 vyzařované zdroji Z 1 a Z 2 do prostorovýchúhlů Ω 1 a Ω 2 . Po dosazení do výrazu (23) pro toky Φ Z1→A1 a Φ Z2→A2 vycházíΦΦZ 1 → A 1= I ⋅ Ω1=−3= 231⋅3, 97 ⋅100,92 lmZ 2 → A 2= I ⋅ Ω2=−3= 231⋅4, 23 ⋅100,98 lmObr. 23 Ke stanovení toků Φ v1 a Φ v1 vycházejících z povrchu A 1 , resp. povrchu A 2 plochy A.Po dosazení toků Φ Z1→A1 a Φ Z2→A2 do rovnic (20) a (21) se již stanoví tok Φ v1 vycházejícíz povrchu A 1 a tok Φ v2 vycházející z povrchu A 2 .ΦΦ[ ⋅Φ( Z1→A1)] + τ ⋅Φ( Z 2 A2)[ ] = [ 0, 5 ⋅0,92] + [ 0,15 ⋅0 98]ρ = 0,61 lmv1 =→,[ ⋅Φ( Z 2→A2)] + τ ⋅Φ( Z1A1)[ ] = [ 0, 5 ⋅ 0,98] + [ 0,15 ⋅0 92]ρ = 0,63 lmv2 =→,Hledané průměrné hodnoty světlení M 1 a M 2 se získají vztažením toků Φ v1 a Φ v2 na obsah plochy AZávěr:Φv 10,61M1= = = 30,5 lm·m -2A 0,02Φv20,63M2= = = 31,5 lm·m -2S 0,02AAbychom mohli zjistit průměrné hodnoty světlení M obou stran rovinné plochy A v poli dvousvětelných bodových zdrojů Z 1 a Z 2 s daným světelným tokem Φ, bylo nejprve třeba vypočítatsvítivost I zdrojů a určením prostorové úhly Ω 1 , resp. Ω 2 , pod kterými jsou povrchy A 1 a A 2 plochyA z bodových zdrojů Z 1 , resp. Z 2 , vidět. Poté již bylo možno vyřešit světelné toky Φ Z1→A1 , resp.Φ Z2→A2 , dopadající na povrch A 1 , resp. A 2 , plochy A. Z toků Φ Z1→A1 a Φ Z2→A2 pak byly stanovenytoky Φ v1 , resp. Φ v2 , vycházející z povrchů A 1 , resp. A 2 a jejich vztažením ne velikost plochy Abyly konečně určeny hledané hodnoty světlení M 1 = 30,5 lm·m -2 a M 2 = 31,5 lm·m -2 obousledovaných povrchů.23

18. Určení svítivosti zdroje vizuální metodou na fotometrické laviciZadání:Na fotometrické lavici byla vizuální metodou měřena svítivost světelného zdroje Z (obr. 24). Určetesvítivost zdroje Z za předpokladu, že je dáno:1. svítivost normálu I N = 103,4 cd,2. vzdálenost normálu l N = 1 m,3. vzdálenost měřeného zdroje l Z = 2,43 m.Obr. 24 Geometrické uspořádání normálu N svítivosti, zkoušeného zdroje Z a hranolu H na fotometrickélavici a znázornění pozice pozorovatele při vizuálním měření svítivosti přímým pozorováním.Pozorovatel změnou polohy fotometru (hranolu H) nastavuje stejný jas obou v okuláru sledovaných povrchů.Řešení:Po vyrovnání jasů stěn fotometrického hranolu pozorovatelem podle obr. 24 platí vztahIIZN=l2Z2NlZ předchozí rovnici stačí tedy vyjádřit I Z a dosaditIZ=2Z⋅ IN2lNl=22 , 43 ⋅ ,2103 41≐ 611 cd24

19. Výpočet osvětlenosti v místnosti se čtyřmi svítidly bodového typuZadání:Určete průměrnou hladinu osvětlenosti E p srovnávací roviny ρ a rovnoměrnost r osvětlenív místnosti o půdorysu 8x5 m a výšce h = 3,5 m. Místnost je osvětlena čtyřmi svítidly opatřenýmirozptylným krytem ve tvaru koule. Umístění svítidel je zakótováno v obr. 25. Délka závěsu svítidelpod stropem je h z = 0,8 m.Světelný tok každého svítidla je Φ Z = 21170 lm, vztažná svítivost I 0 ‘ = 80 cd/klm. Průměrrozptylných krytů svítidel d z = 0,25 m. Kontrolní body jsou na srovnávací rovině rozmístěny podleobr. 25. Srovnávací rovina ρ se nachází ve výšce 0,85 m nad podlahou.Obr. 25 Místnost o půdorysu 8x5 m je osvětlena čtyřmi zavěšenými (délka závěsu h z = 0,8 m) svítidly (označenyčerveně) s rozptylným krytem ve tvaru koule o průměru d z = 0,25 m. Výška místnosti je h = 3,5 m. Srovnávacírovina ρ se uvažuje ve výšce h 3 = 0,85 m. Osvětlenost se ověřuje v devíti kontrolních bodech (označeny zeleně).Řešení:Aby bylo možné určit průměrnou hladinu osvětlenosti E p a rovnoměrnost osvětlení r, je potřebanejprve spočítat osvětlenosti v jednotlivých měřicích bodech od všech čtyř svítidel, tzn. spočítatosvětlenosti v daném bodě postupně pro jednotlivá svítidla a pak je sečíst. Osvětlenost v bodě P jvodorovné srovnávací roviny ρ 0 od svítidla Z i (podle obr. 26)EijI= cosγij(24)lγij⋅2ijkde I ij je je svítivost ve směru γ podle obr. 26,l ij je vzdálenost bodu P j od zdroje Z i ,γ ij je úhel mezi normálou N ρ a úsečkou l ij .25

Ke stanovení osvětlenosti ve vybraném kontrolním bodě P j bude tedy třeba určit vzdálenost l ijbodu P j od svítidla Z i a dále úhel γ ij mezi normálou srovnávací roviny N ρ a úsečkou l ij , který je přidaném uspořádání totožný s úhlem mezi normálou srovnávací roviny N ρ a úsečkou l ij podle obr. 26.Obr. 26 Svítidlo Z i osvětluje bod P j srovnávací roviny ρ.Jelikož jsou svítidla osazena rozptylnými kryty kulového tvaru, uvažujme, že svítivost svítidelbude do všech směrů konstantní a tudíž svítivost I γ bude pro všechny úhly γ rovna vypočtenésvítivosti vztažné I 0 (viz obr. 27).Obr. 27 Křivka svítivosti svítidla s ideálně rozptylným kulovým krytem.Byla zadána svítivost I 0 ‘ vztažená na klm. K získání aktuální svítivosti pro dané světelné zdrojese světleným tokem Φ z = 21170 lm použijeme vztah'I0800= ⋅Φ= ⋅21170= 1694 cd I γ(25)IZ=1000 100026

Výška h 2 (viz obr. 25) je pro kombinaci všech svítidel Z i a bodů P j srovnávací roviny ρ totožná.h⎛ dz⎞ ⎛ 0,25 ⎞= h − h1− h3= h −⎜hz + ⎟ − h3= 3, 5 −⎜0,8 + ⎟ − 0,8 1,775 m (26)⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠2=kde h je výška místnosti podle zadání,h 1 je vzdálenost světelného středu svítidla od stropu (viz obr. 26),h 3 je výška srovnávací roviny (viz obr. 25),h z je délka závěsu svítidla (viz obr. 25),d z je průměr baňky svítidla (viz obr. 25).Pro výpočet úhlů γ ij a vzdáleností l ij dosadíme ∆x ij , ∆y ij a ∆z ij (viz obr. 26) do vztahůlij2ij2ij2ij= ∆x+ ∆y+ ∆z(27)⎛ 2 2⎛ p ⎞ ⎞⎜ ∆xij+ ∆yijij⎟ ⎟γ ⎜ij= arctg = arctg⎜ ∆ ⎟(28)⎝ ∆zij⎠zij⎝ ⎠Hodnoty ∆x ij a ∆y ij lze odečíst z obr. 28.Obr. 28 Půdorys místnosti.Zelená čísla označují kontrolní body, červená čísla vyznačují umístění svítidel.Při užití značení kontrolních bodů a svítidel dle obr. 28 vycházejí hodnoty vzdálenosti l 1j a úhlu γ 1j(svítidlo Z 1 viz obr. 26) jak uvedeno v tab. 1.j - číslo bodu l 1j (m) γ 1j (°)1 2 3 1,943 2,707 5,014 24,013 49,024 69,2654 5 6 2,272 2,952 5,15 38,625 53,035 69,8397 8 9 3,482 3,96 5,787 59,354 63,365 72,137Tab. 1 Vzdálenosti l 1j a úhly γ 1j jednotlivých kontrolních bodů P j od svítidla Z 1 .Body P j jsou v tabulce umístěny dle obr. 28.27

Po dosazení hodnot z tab. 1 do vztahu (24) pro výpočet osvětlenosti E ij vychází hodnotyosvětleností sestavené do tab. 2.j – číslo boduE 1j (lx)1 2 3 409,878 151,590 23,8564 5 6 256,381 116,894 22,0137 8 9 71,219 48,428 15,516Tab. 2 Hodnoty osvětlenosti E 1j srovnávací roviny v kontrolních bodech P j zajištěné svítidlem Z 1 .Osvětlenosti v tab. 2 zahrnují světelný tok pouze od svítidla Z 1 . Podle obr. 28 jsou měřicí body P j asvítidla Z i rozmístěny symetricky. Ze symetrie plynou rovnosti osvětlenostíE = =(29)11E23= E37E49E = =(30)12E22= E38E48E = =(31)13E21= E39E47E = =(32)14E34= E26E46E = =(33)15E25= E35E45E = =(34)16E24= E36E44E = =(35)17E31= E29E43E = =(36)18E32= E28E42E = =(37)19E27= E33E41Pro výpočet celkových osvětleností v kontrolních bodech P j od všech svítidel lze tedy použíthodnoty z tab. 2. Pro každý bod P j platí vztahEjE1 j+ E2j+ E3j+ E4j= (38)Např. pro výpočet osvětlenosti E 1 v bodě P 1 bude platitE = + , (39)1E11+ E21+ E31+ E41= E11+ E13+ E17E19přičemž hodnoty E 11 , E 13 , E 17 a E 19 jsou již spočteny v tab. 2.Výsledné celkové hodnoty osvětleností v kontrolních bodech jsou uvedeny v tab. 3.j – číslo boduE j (lx)1 2 3 520,469 400,036 520,4694 5 6 556,788 467,576 556,7887 8 9 520,469 400,036 520,469Tab. 3 Celkové osvětlenosti E j v kontrolních bodech P j srovnávací roviny.28

Z důvodu symetrie místnosti, rozložení kontrolních bodů P j a svítidel Z i jsou některé hodnotyosvětleností shodnéE , E = E1= E3= E7= E9E2= E8,46Průměrná hodnota osvětlenosti E P se stanoví z údajů v tab. 3 podle vztahu9∑Ejj= 1 4463EP= = = 496 lx(40)9 9Rovnoměrnost r lze získat ze vztahuZávěr:9∑min Ejj=1 400,036r == = 0,807(41)E 495,9PAby bylo možné určit průměrnou hladinu osvětlenosti E P srovnávací roviny ρ, bylo nejprvetřeba zjistit osvětlenosti E ij kontrolních bodů P j od jednotlivých svítidel Z i . Poté byly sečtenyv daných kontrolních bodech P j osvětlenosti E j od všech čtyř svítidel Z i a jejich aritemtickýmprůměrem byla získána průměrná hladina osvětlenosti E P .Rovnoměrnost r byla určena poměrem nejmenší hodnoty získané osvětlenosti v kontrolnímbodě E j a průměrné hladiny osvětlenosti E P .Pro osvětlení pracovních prostorů dle normy ČSN EN 12464-1 je třeba navrhnout osvětlovacísoustavu tak, aby po celou dobu provozu soustavy v udržovacím období navrženém v projektu bylazajištěna udržovaná osvětlenost E m . Udržovaná osvětlenost je tedy hodnota místně průměrnéosvětlenosti na daném povrchu, pod kterou nesmí osvětlenost po dobu zvoleného cyklu údržbypoklesnout. Hodnota udržované osvětlenosti E m se získá z hodnoty průměrné osvětlenosti E Pvynásobením udržovacím činitelem z, jehož hodnota závisí zejména na využití místnosti, čistotěprostoru a na délce cyklu údržby a pohybuje se od 0,5 pro silně znečištěné prostory až po 0,8 avyšší hodnoty pro velmi čisté místnosti s nižší roční dobou využití). Pokud by se uvažoval např.udržovací činitel z = 0,7 (čistá místnost, 3-letý cyklus údržby), bude v daném případě udržovanáosvětlenost rovnaEm= E ⋅ zP=496 ⋅0,7=347lxPozn. V souladu s normou ČSN EN 12464-1 je v pracovních prostorech nezbytné splnit i řadudalších požadavků, zejména zabránit oslnění (UGR L ) a zajistit vhodné podání barev (indexpodání barev R a > 80).29

20. Výpočet rozložení toku rotačně souměrně vyzařujícího svítidlabodového typuZadání:Vypočtěte světelné toky dopadající z difúzně vyzařujícího svítidla bodového typu na stěny ana srovnávací rovinu místnosti ve tvaru kvádru o délce = 8 m, šířce = 4 m a výšce = 3,25 m.Svítidlo je zapuštěno uprostřed stropu, jeho vyzařovací plocha je v rovině stropu a jeho svítivostv kolmém směru je I 0 (cd).Dáno : ─ srovnávací rovina je umístěna ve výši 0,85 m nad podlahou;Řešení:─ výška h svítidla (i stropu) nad srovnávací rovinou je h = 3,25 – 0,85 = 2,4 m;I I ⋅ fI γ = ⋅ cos .─ pro svítivost difúzně vyzařujícího svítidla platí výraz ( ) γ1. Výpočet světelného toku Φ 0 dopadajícího na srovnávací rovinuγ=0I0fIplochy srovnávací roviny [obr. 29] platí vztahObr. 29= cosPro tok Φ 0 z daného bodového zdroje Z [ ( γ ) γΦ0=12I0⎡⎢⎢⎣a1+a2⋅ arctgb1+a2+b1+b2⋅arctg], který dopadá na obdélník tvořící čtvrtinua1+b(lm; cd, -) (42)kde c = 8 2 = 4 m , d = 4 2 = 2 m ,poměrné rozměry a = c h = 4 2,4 = 1,67; b = d h = 2 2,4 = 0, 83.Z rovnice (42) pak vycházíΦ0 = I0⋅ 0,5⋅ 0,9284351987 = I0⋅ 0,4642175994Tok Φ 30 na celou srovnávací rovinu je čtyřnásobný, tj.Φ30 = 4 ⋅ I0⋅ 0,4642175994 = I0⋅1,856870398Φ 30 ≈ I 0 · 1,857 (lm, cd, -) (42a)2⎤⎥⎥⎦30

2. Výpočet světelného toku dopadajícího na stěny kvádruObr. 30Pro tok Φv dopadající z daného bodového zdroje Z [f I (γ) = cos γ] na obdélník umístěný podleobr. 30 v rovině rovnoběžné se směrem I 0 platí rovniceΦ v=12I0⎡ 1a ⎤⎢arctg a − ⋅arctg⎥ (lm) (43)22⎢⎣1+b 1+b ⎥⎦kde a = c p , b = d pPodle vztahu (43) se vypočtou toky dopadající vždy na polovinu jak delší, tak kratší ze stěny.Polovina delší stěny má rozměry c = 4 m, d = h = 2, 4 m, p = 2 m, takže poměrné rozměry jsou:a = c p = 4 2 = 2; b = d p = 2,4 2 = 1,2 .Na polovinu delší stěny dopadá tedy tok Φ v1a , který se vypočte podle rovnice (43)Φ, 5⋅0,5260321542 = I ⋅0 2630160771v 1 a= I0⋅0 0,Na celou delší stěnu pak dopadá tok dvojnásobný, tj.Φv 1= I0⋅0, 5260321542 = & I0⋅0,526(43a)Polovina kratší stěny má rozměry c = 2 m, d = h = 2, 4 m, p = 4 m, takže poměrné rozměry jsou:a = c p = 2 4 = 0,5; b = d p = 2,4 4 = 0,6 .Na polovinu kratší stěny dopadá tedy tok Φ v2a , který se vypočte podle rovnice (43)Φv2 a= I0⋅0, 5 ⋅0,1163289739 = I0⋅0,05816448695Na celou kratší stěnu pak dopadá tok dvojnásobný, tj.Φv 2= I0⋅0,1163289739= & I0⋅ 0,116(43b)Tok Φ 20 dopadající na obě delší a na obě kratší stěny, tedy na všechny stěny, je rovenΦ = I ⋅ ⋅ 0,5260321542 + 0,1163289739 = I 1,Φ( ) 284722256( 0,526 + 0,116) = I 1, 28520 020⋅20=0⋅ 2⋅0⋅I (lm, cd, -) (44)31

3. Ověření výsledku výpočtuVzhledem k tomu, že na strop z uvažovaného svítidla nedopadá žádný tok, pak součet tokůdopadlých na srovnávací rovinu Φ 30 a na stěny Φ 20 , tzn.ΦΦ30+ Φ20 010⋅= I ⋅ ,856870398 + I 1,284722256 = I 0 3,14159265430+ Φ20 0100⋅= I ⋅ ,857 + I ⋅1,285= I 3,142(45)musí být roven toku Φ sv vyzařovanému difúzním svítidlem Z.Mezi světlením M a jasem L difúzně vyzařující plochy platí známý vztahM= π ⋅ L(lm·m -2 , -, cd·m -2 ) (46)Jsou-li rozměry vyzařující plochy A vyz zanedbatelné v porovnání se vzdáleností od kontrolníchbodů na srovnávací rovině (což je v daném případě splněno, neboť jde o svítidlo bodového typu)pak je svítivost I 0 daného svítidla ve zvoleném vztažném směru (tj. ve směru normály k vyzařovacíploše) rovna součinu jasu L a velikosti A vyz vyzařovací plochyI0 = L ⋅(cd; cd·m -2 , m 2 ) (47)A vyzTok Φ sv vyzařovaný difúzně svítící plochou daného svítidla je roven součinu průměrné hodnotysvětlení M a velikosti A vyz vyzařovací plochy svítidla, tzn.Φsv= M ⋅ A vyz(lm, lm·m -2 , m 2 ) (48)Dosadí-li se do rovnice (48) vztahy (46) a (47) vychází pro hledaný tok Φ sv , že je rovensoučinu čísla π a svítivosti I 0 , tedyΦsv= M · A = π ⋅ L ⋅ A = π ⋅ I 0= 3,141592654 · I 0 (49)vyzvyzPorovnáním rovnic (45) a (49) se již snadno ověří, že výsledky předchozích výpočtů jsou správné.Pozn. Výsledky jsou uváděny na více desetinných míst pouze pro jejich snadnější vzájemnéporovnání.Při výpočtu světelných toků obvykle plně postačí počítat se čtyřmi platnými číslicemi.32

21. Výpočet rozložení světelného toku svítidla přímkového typuZadání:Vypočtěte světelné toky dopadající z daného svítidla Sv přímkového typu na stěny místnosti ana srovnávací rovinu.Místnost ve tvaru kvádru [o rozměrech: délka = c = 8 m, šířka = d = 4 m, výška = 3,25 m] jeosvětlena jedním difúzně vyzařujícím svítidlem přímkového typu. Přímkový zdroj délky c = 8 m jetvořen pěti v řadě za sebou osazenými svítidly se zářivkami 1 x 58 W zapuštěnými ve stropě.Přímkový zdroj Sv je umístěn rovnoběžně s podélnou osou místnosti podle obr. 31.Obr. 31V daném případě vyzařování svítidla přímkového typu popisují charakteristické funkce svítivostiIπ( γ ) cos γ ; f ( α ) = cosαf (50)=IδPředpoklay : ─ srovnávací rovina je umístěna ve výši 0,85 m nad podlahou.─ výška svítidla Sv (i stropu) nad srovnávací rovinou jeh = 3 , 25 − 0,85 = 2,4 m .Řešení:─ počítejte s obecnou hodnotou I 10 (cd·m -1 ) svítivosti zdroje připadajícína 1 m jeho délky.1. Výpočet světelného toku dopadajícího na srovnávací rovinuPro tok Φ 0(½) dopadající z difúzně vyzařujícího přímkového zdroje Sv na polovinu srovnávacíroviny platí výrazΦ0( 1 )2⎡ a ⋅ ba ⎤2 b= I10h⎢⋅ arctg + 1+a ⋅ arctg − arctgb⎥222⎢⎣1+b 1+b1+a ⎥⎦kde a = c h = 8 2,4 = 3,333; b = ( d 2) h = 2 2,4 = 0, 8333Φ ( ) = I10⋅ 2, 4 ⋅ 2,680720997 = I10⋅ 5,361441994 = & I10⋅ 5 , 361410 2Na celou srovnávací rovinu dopadá tok Φ 0 rovný dvojnásobku Φ 0(½) , tj.(51)Φ = 2⋅Φ0( ) = I10⋅12,86746079 ≐ I 10·12,8675 (lm) (52)10233

2. Výpočet světelného toku dopadajícího na stěny kvádruPro tok Φ v21 dopadající z difúzně vyzařujícího přímkového zdroje Sv na jednu z delších stěnmístnosti na obr. 31 platí vztahΦ v 21= I10⎡p⎢g⋅ arctg g −⎢⎣2 2gg1+g + r⋅ arctg + ln2221+r 1+r 1+g ⋅ 1+r2⎤⎥⎥⎦(53)kde g = c p = 8 2 = 4; r = h p = 2,4 2 = 1,2Φ v= I ⋅ ⋅1828893572, = I ⋅3,657787144 = & I ⋅3 657821 1021010,Na obě delší stěny tedy dopadá tok Φv (21+22) rovný dvojnásobku toku Φ v21 , tj.Φv( 21 + 22) = 2 ⋅Φv21= I10⋅ 2 ⋅ 3, 657787144 = I10⋅7,315574288 ≐ I 10 7,3156(lm) (54)Pro tok Φ k23(½) dopadající z difúzně vyzařujícího přímkového zdroje Sv na polovinu jedné z kratšíchstěn místnosti na obr. 31 platí vztahΦ k 23= I10c12⎡⎢arctgt + s ⋅ arctg⎢⎣ts−1+s2⋅ arctgt1+s2+ t ⋅ lns2+ t2⋅t ⋅ 1+s21+t+ t22⎤⎥⎥⎦kde t = ( d 2 ) c = 2 8 = 0, 25;s = h c = 2,4 8 = 0,3(55)Φ ( ) 108 0 1546783173101237426538101 ,k= I ⋅ ⋅ . = I ⋅ ,= & I ⋅ 2374123 2Na jednu kratší stěnu dopadá dvojnásobekΦ k= I ⋅ , 474853076 = & I ⋅ 2 474823 10210,Na obě kratší stěny místnosti dopadá pak tok Φ k(23+24) rovný dvojnásobku toku Φ k23 , tj.Φk ( 23 + 24) = 2 ⋅Φk23= I10⋅ 4,949706152 ≐ I 10 4,9497(lm) (56)Na všechny stěny místnosti podle obr. 31 dopadá ze svítidla Sv přímkového typu tok Φ 2 , který sestanoví sečtením dílčích výsledků z výrazů (54) a (56)( , 3156 + 4,9497) = ⋅122653Φ & (lm)2= I10⋅ 7 I10,34

3. Ověření výsledku výpočtuVzhledem k tomu, že na strop místnosti nedopadá ze svítidla Sv žádný tok je celkový tok Φ svvyzářený zmíněným svítidlem roven( 12, 86746079 + 7,315574288 + 4 949706152)Φ sv= I= 25,13274123·I 1010⋅,( 12, 8675 + 7,3156 + 4 9497)Φ sv= & I≐ 25,1327·I 10 (57)10⋅,Pro difúzně vyzařující plochu A vyz svítidla s konstantním jasem L platí základní vztahy, a to1. pro světlení M: M = π ⋅ L (lm·m -2 ; -, cd·m -2 )2. pro svítivost I 0 ve vztažném směru (tj. ve směru normály k vyzařovací ploše A vyz ):I0 = L ⋅ A vyz(cd; cd·m -2 , m 2 )3. pro tok Φ sv vyzařovaný difúzně svíticí plochou A vyz :Φsv= M ⋅ A = π ⋅ L ⋅ A = π ⋅vyzvyzI 0(lm; lm·m -2 , m 2 ; -, cd·m -2 , m 2 ; -, cd) (58)V případě svítidla přímkového typu třeba do vztahu (58) pro tok Φ sv za svítivost I 0 dosaditsoučin I 0= I 10⋅ c svítivosti I 10 (cd·m -1 ) a délky c = 8 m, takže rovnice pro tok Φ sv má pak tvarΦ sv= π ⋅ I = π ⋅ I ⋅ c = , 141592654 ⋅ I 8 = 25,13274123·I 10 (59)0 10310⋅Porovnáním výsledků výrazů (57) a (59) se již snadno ověří, že výsledky předchozích výpočtů jsousprávné.Pozn.Výsledky jsou uváděny na více desetinných míst pouze pro jejich snadnější ověření.Při výpočtu světelných toků obvykle plně postačí počítat se čtyřmi platnými číslicemi.K přiblížení představy o hodnotě svítivosti I 10 připadající na 1 m délky vyzařovací plochyv příkladu uvažovaného svítidla přímkového typu :Z křivek svítivosti uváděných v katalozích zářivkových svítidel s rozložením svítivostiblízkým kosinusovému lze snadno zjistit, že svítivost I 0 ( cd klm ) svítidla ve vztažném směrupřipadající na 1000 lm světelného toku zářivky bývá např. 230 cd klm .Uváží-li se, že zářivka 58 W vyzařuje světelný tok přibližně 5000 lm, pak svítivost I 0 svítidlas jednou zářivkou 58 W ve vztažném směru bude I 0 = 230·5 = 1150 cd.Délka svítidla se zářivkou 58 W (o délce 1,5 m) je cca 1,6 m a tudíž svítivost I 10 připadající na 1 mdélky takového svítidla přímkového typu bude přibližněI = 1150 16 , & 720 cd m, tzn. orientačně 700 cd/m.10=35

22. Výpočet toku dopadajícího ze svítidla bodového typu na obdélníkZadání:Vypočtěte světelný tok, který dopadá z difúzně a rotačně souměrně vyzařujícího svítidla Zbodového typu na obdélníkovou plochu BCDG kolmou ke směru vztažné svítivosti I 0 a umístěnouv rovině ρ 0 podle obr. 32, a to ve vzdálenosti h = ZG = 2,4 m tak, že kolmý průmět bodu Z doosvětlované roviny se ztotožňuje s vrcholem G obdélníku BCDG.Ve zvoleném pravoúhlém souřadnicovém systému x y z leží směr vztažné svítivosti I 0 ve směruosy z. Rovina ρ 0 je rovnoběžná se souřadnicovou rovinou x y.Ověřte současně možnost praktického využití přibližné metody řešení výpočtem hledaného tokuz osvětleností několika dílčích ploch, na které se osvětlovaný obdélník rozdělí.Řešení:Obr. 32Pro svítivost I γ difúzně a rotačně souměrně vyzařujícího svítidla bodového typu platí vztah1. Přesný výpočet( γ ) = ⋅ cosγII(cd; cd, -) (60)γ= I0 ⋅ f I0Pro tok Φ 0 , který z bodového difúzně vyzařujícího zdroje Z, dopadá na obdélník BCDG kolmýke směru I 0 a umístěný podle obr. 32 platí rovnice1 ⎡ ab ba ⎤Φ0= I0⎢ ⋅arctg+ ⋅arctg⎥22222⎢⎣1+a 1+a 1+b 1+b ⎥⎦(lm; cd, -) (61)kde c = 8 2 = 4 m; d = 4 2 = 2 ma poměrné rozměry a = c h = 4 2, 4 = 167 , ; b = d h = 2 2,4 = 0,83Z rovnice (60) vychází pro hledaný světelný tok vztahΦ0 000,= I ⋅ , 5 ⋅0,9284351987 = I ⋅0 4642175994Pozn.Φ 0 ≐ I 0 · 0,4642 (lm; cd) (62)Pokud by vztažná svítivost I 0 uvažovaného svítidla byla rovna I 0 = 1000 cd, pak by2průměrná osvětlenost E p celé plochy A = 4 ⋅ 2 = 8 m obdélníku BCDG bylaE p( 1000 ⋅0, 4642) 8 = & 464 8 58 lx= Φ&0A ==36

2. Přibližné řešeníRozdělme osvětlovaný obdélník BCDG např. na osm stejných dílčích ploch o rozměrechc 1 = 1 m [ve směru osy x] a d 1 = 1 m [ve směru osy y]. Obsah jednotlivých dílčích ploch je tedystejný a je roven 1 m 2 . Ve středu každé dílčí plochy umístěme kontrolní bod P i [index i označujepořadové číslo dílčí plochy].Předpokládá se, že osvětlenosti E i v kontrolních bodech P 1 až P 8 jsou rovny průměrnýmhodnotám osvětlenosti v rámci každé dílčí plochy. Potom tok Φ i dopadající na i-tou dílčí plochu jerovenΦ = E ⋅ A = E ⋅1 = E(lm; lx, m 2 ) (63)iiiiiPro osvětlenost E Pρ bodovým zdrojem Z v bodě P obecně položené roviny ρ platí vztahIγE P ρ= 2⋅ cos β(lx; cd, m 2 ) (64)lkde I γ je svítivost zdroje Z ve směru k bodu P, tj. ve směru pod úhlem γ měřeném od směruvztažné svítivosti I 0 ,l je vzdálenost kontrolního bodu P od zdroje Z, β je úhel sevřený normálou osvětlovanéroviny ρ se spojnicí bodu Z s bodem P.V daném případě leží osvětlovaný obdélník BCDG v rovině ρ 0 kolmé ke směru vztažnésvítivosti I 0 (obr. 32). Normála osvětlované roviny je tudíž rovnoběžná se směrem I 0 . Z tohovyplývá, že úhel β = γ. Zadané svítidlo Z bodového typu vyzařuje do všech směrů podlekosinusového zákona v souladu s rovnicí (60). Dosadíme-li uvedené skutečnosti do obecnéhovztahu (64), vychází pro osvětlenost E i v kontrolním bodě P i vztahEi1cos ⋅(lx; cd, -, m) (65)l2= I0⋅ γi2ikde2 2 2 2 2 2 2li= xi+ yi+ h = xi+ yi+ 2,4 ;(x i , y i , h = 2,4 m) souřadnice bodu P i (střed i-té dílčí plošky);γ i je úhel sevřený paprskem l i a směrem I 0 (obr. 32), pro který platí výraz⎛ 2 2 ⎞⎜ xi+ yiγ = ⎟iarctg(rad) (66)⎜ h ⎟⎝ ⎠37

P ix i(m)y i(m)2liγ i (rad)2cos γ i2cos γilP 1 0,5 0,5 6,26 0,28652 0,92013 0,1469853P 2 0,5 1,5 8,26 0,58254 0,69734 0,0844233P 3 1,5 0,5 8,26 0,58254 0,69734 0,0844233P 4 1,5 1,5 10,26 0,72384 0,56140 0,0547177P 5 2,5 0,5 12,26 0,81560 0,46982 0,0383214P 6 2,5 1,5 14,26 0,88207 0,40393 0,0283259P 7 3,5 0,5 18,26 0,97443 0,31544 0,0172751P 8 3,5 1,5 20,26 1,00842 0,28430 0,0140328− − − − − ∑ 0,46850482i∑⎛⎜⎝2cos γ ⎞i= 0,46852⎟li⎠Tab. 4 Přehled dílčích výpočtůHledaný světelný tok dopadající ze zdroje Z na obdélník BCDG je tedy přibližně roven⎛ cos ⎞Φ = I∑ I⎝ ⎠2γ0⋅⎜ i=2⎟0,li⋅ 0 4685(lm; cd) (67)Pozn.Pokud by vztažná svítivost I 0 uvažovaného svítidla byla rovna I 0 = 1000·cd, pak by2průměrná osvětlenost E p celé plochy A = 4 ⋅ 2 = 8 m obdélníku BCDG byla přibližněE p( 1000 ⋅ 0, 4685) 8 = ( 468 5 8)= Φ&0A =,≐ 58,6 lxPorovnáním přibližného výsledku ve výrazu (67) s přesným výsledkem v rovnici (62) zjistíme,že chyba přibližného řešení činí 0,9 %, což je v daném případě plně vyhovující. Zvolené rozděleníosvětlované plochy je tudíž pro praktický výpočet ve sledované situaci dostačující. Obdobnépostupy, většinou s jemnějším dělením, se aplikují v počítačových programech.38

23. Graficko-početní metoda výpočtu toku rotačně souměrněvyzařujícího svítidlaKe stanovení světelných toků rotačně souměrně vyzařujících zdrojů a svítidel se v praxi častoužívá graficko-početní metoda Rousseauova. Kolem dané křivky svítivosti se opíše jednotkovákružnice, jejíž průměr se rozdělí např. na 10 dílů (viz obr. 33). Tak vzniknou proužky, jimžv prostoru odpovídají dílčí prostorové úhly ve tvaru kulových pásů.Výška proužků je rovna (∆γ i . sinγ i ). Středům pásků odpovídají z křivky svítivosti odečtenéhodnoty I γ svítivostí.iObr. 33Dílčí světelný tok ∆Φ vyzařovaný do pásma charakterizovaného úhlem γ i je pak úměrnýsoučinu výšky pásma ∆γ i . sinγ i a svítivostí I , tj. plošce ∆A γ i v diagramu nakresleném v pravé částiiobr. 33 s čarou světelných toků resp. Rousseauovou čarou.Využívá-li se při kreslení měřítka svítivosti 1 (cm) = u (cd) a je-li poloměr jednotkové kružniceroven r (cm), pakΦn2π ⎛ ⎞= ⎜∑ ∆A⎟r ⎝ i=1⎠i.u(lm) (68)Je-li vyzařování nesouměrných zdrojů či svítidel popsáno několika křivkami svítivosti, znichž každá odpovídá určitému rozmezí ∆ς i , úhlu ς , pak je možno světelný tok takového zdroječi svítidla stanovit z výrazuΦ =12πm∑i=1∆ζ. Φiikde m je počet oblastí úhlu ∆ζ i , respektive počet křivek svítivosti popisujících vyzařovánív jednotlivých oblastech ∆ζ i úhlu ζ.Φ i je světelný tok rotačně souměrně vyzařujícího zdroje či svítidla stanovený některouz dříve uvedených metod pro i-tou křivku svítivosti.(69)39

24. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdrojeZadání:Difúzně vyzařující svítidlo obdélníkového typu o rozměrech c = 1,2 m, d = 0,6 m je zavěšenove výšce h = 2 m nad srovnávací rovinou. Svítící plocha svítidla je rovnoběžná se srovnávacírovinou. Srovnávací rovina leží v souřadnicové rovině x, y. Kontrolní bod P leží v počátkusouřadnicového systému. Průmět bodu P do roviny zdroje se ztotožňuje s vrcholem svítícíhoobdélníku.−2Jas difúzně svíticího obdélníku L = konst = 3000 cd ⋅ m .Poměrné rozměry obdélníku a = c h = 1 ,2 2 = 0,6; b = d h = 0,6 2 = 0, 3 .Vypočtěte osvětlenosti, které svíticí obdélník zajistí v bodě P ve všech třech souřadnicovýchrovinách.Řešení:A. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje L = konst. přesnou metodouPro průměty ε x , ε y , ε z světelného vektoru ε do souřadnicových os, tj. pro osvětlenosti třísouřadnicových rovin v bodě P, při zadaném geometrickém uspořádání platí odvozené vztahy:εx=L ⎡1b⎢arctgb− ⋅arctg22⎢⎣1+a 1+a2⎤⎥⎥⎦εy=L ⎡1a⎢arctga − ⋅arctg22⎢⎣1+b 1+b2⎤⎥⎥⎦εz=L ⎡ ab ba⎢ ⋅ arctg + ⋅arctg2222⎢⎣1+a 1+a 1+b 1+b2⎤⎥⎥⎦Po dosazení vychází3000 ⎡10,3 ⎤εx= ⎢arctg0,3 − ⋅arctg⎥ = 113,3 lx222⎢⎣1+0,6 1+0,6 ⎥⎦3000 ⎡10,6 ⎤εy= ⎢arctg0,6 − ⋅arctg⎥ = 61,2 lx222⎢⎣1+0,3 1+0,3 ⎥⎦3000 ⎡ 0,60,3 0,30,6 ⎤εz= ⎢ ⋅ arctg + ⋅arctg⎥ = 419,1 lx22222⎢⎣1+0,6 1+0,6 1+0,3 1+0,3 ⎥⎦40

B. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje L=konst. metodou náhradyplošného zdroje jedním zdrojem bodovýmPro tok Φ sv svíticího obdélníku L = konst. platí = M ⋅ A = π ⋅ L ⋅ A = π ⋅ I0, neboť z výrazuLγ= Iγ( A⋅ cosγ) plyne L = 0I0A , odkud I = L ⋅ A = L ⋅ A0 0. Pro svítivost I γ bodového zdrojes ohledem na podmínku L = konst. platí Iγ= I 0⋅cosγ, kde vztažná svítivostI = L ⋅ A = 3000⋅12, ⋅0 6 = 2160 cd0,Předpokládáme-li, že bodový zdroj je umístěn v geometrickém středu obdélníku, pak bude úhelγ (mezi osou z a paprskem l spojujícím střed obdélníku a bod P) možno spočítat ze vztahu2 20,3 + 0,6γ = arctg = 0,3236 rad = 18,5°⇒cosγ= 0,948 .22 2 2 2Vzdálenost l se spočte z rovnice l = 0, 3 + 0,6 + 2⇒l = 2,11m.Svítivost I γ bodového zdroje ve směru paprsku l budeIγ= I ⋅cosγ= 2160 ⋅0 948 = 2047,7 cd.0,Hledaná osvětlenost E P(xy) souřadnicové roviny xy v bodě P potom budeΦ sv22( ) = ( I γl ) ⋅ cos β = ( 2047,7 2,11 ) ⋅0,948E P xy≐ 436 lxVýsledek přesného výpočtu 419 lx, takže chyba činí [( 436 419)419] ⋅100− ≐ 4 %.41

C. Výpočet osvětlenosti v poli obdélníkového zdroje L=konst. metodou náhradyplošného zdroje čtyřmi zdroji bodovýmiSvítící obdélník se rozdělí na 4 stejné části (I, II, III, IV).Svítivost každého dílčího zdroje ve směru normályI)II= III= IIII= IIV= 2160 4 540 cd0 0 0 0=2 20,15 + 0,3γ = arctg= 0,166 = 9,5°; cosγI22 2 2 2( lI) = 0, 15 + 0,3 + 2⇒lI= 2,028 mIγ I= I0 I⋅ cosγI= 540 ⋅0,982 = 530,3 cdEII)I=22( xy ) = ( I γ IlI) ⋅ cosγI= ( 530,3 2,028 ) ⋅ 0,9480,948P I= 127,7 lx2 20,15 + 0,9γ = arctg= 0,428 = 9,5°; cosγII222 2 2( lII) = 0, 15 + 0,9 + 2⇒lII= 2,2 mIγ II= I0 II⋅ cosγII= 540 ⋅0,9098 = 491,3 cdEII=22( xy ) = ( I γ IIlII) ⋅ cosγII= ( 4913 , 2,2 ) ⋅ 0,9480,9098P II= 92,7 lxIII)220,9 + 0,45γ = arctg= 0,4668 = 26,7°; cosγ22 22 2( lIII) = 0, 9 + 0,45 + 2⇒lIII= 5,0125 mI = I ⋅ γ = 540 ⋅0 893 = 482,4 cdIII III=γ IIIE0 IIIcos III,22( xy) = ( I γ IIIlIII) ⋅ cosγIII= ( 482,4 5,0125 ) ⋅0,9480,893P III= 86 lxIV)γ220,3 + 0,45= arctg= 0,264 = 15,13°; cosγ22 22 2= 0 3 + 0,45 + 2⇒l = 2,IV IV=( l ) mIV,IV07γ IV= I0 IV⋅ cosγIV= 540 ⋅0,965I = 521,1 cdE22( xy) = ( I γ IVlIV) ⋅ cosγIV= ( 5211 , 2,07 ) ⋅0,9650,965P IV= 117,3 lxSoučet osvětleností od čtyř dílčích zdrojů je roven 423,4 lxPřesným výpočtem zjištěno 419,1 lx ⇒Chyba přibližného výpočtu při rozdělení svíticí plochy obdélníku na 4 dílčí je 1 % ,což je v daném případě plně vyhovující přesnost.42

25. Výpočet osvětlenosti v poli přímkového typuZadání:Svítidlo přímkového typu o délce 1,2 m se zářivkou 1x36 W (3350 lm) je zavěšeno ve výšceh = 2 m nad srovnávací rovinou ρ 0 . Za předpokladu, že v příčné rovině π, v podélné rovině δ iv nakloněných rovinách τ je rozložení svítivosti svítidla kosinusové a svítivost I 0 ve vztažnémsměru je rovnaŘešení:I = 200 cd klm , tj. 200 ⋅ ( 3350 1000 ) = 670 cd pro 3350 lm,0vypočtěte v bodě P, umístěném podle obrázku, osvětlenost EPρroviny ρ00 ⊥ δ.A. Výpočet osvětlenosti v poli svítidla přímkového typu přesným výpočtemObr. 34Průmět bodu P na osu zdroje se ztotožňuje s koncem C 1 zdroje (viz obr. 34). Kolmá vzdálenostbodu P v rovině ρ 0 od podélné svislé roviny δ je p = 1 m.Určení vzdálenosti l 12 2l1= 2 + 1 = 2,236 mStanovení úhlu γ( p ) = ( 1 2) 0,5tg γ = h =γ = arctg 0 , 5 = 26,6⇒cosγ= 0,8944Svítivost I γ celého svítidla pod úhlem γ v příčné rovině π pro 1000 lm jeIγ= I ⋅ cosγ= 200 ⋅0 89440,Iγ= 179 cd 1000 lm43

Svítivost I 1γ na 1 m délky svítidla je = ( 179 12 , ) 149,2 cd/mI pro 1000 lm.1 γ=Úhel α z , pod kterým je z kontrolního bodu P vidět celé svítidlo délky 1,2 m se určí ze vztahu( 1,21) = 0,4925535 rad [ sinα= 0,472877;cos 0,881128]αz= arctg lzαz=Průmět ε y výsledného světelného vektoru ε r do osy y se vypočte z rovnice( I l ) ⋅ f ′( α )εγ′y=1 1zkde pro kosinusové rozdělení svítivosti v rovině π i v rovině δ( α ) = ( 1 ) ⋅ ( α + sinα⋅ cosα)f ′′ 2zzPo dosazení f (z) = 0 , 5 ⋅ ( 0,4925535 + sinαz⋅ cosα) = 0,45461Potom = ( 149 2, 236) ⋅ 0,45461=30,3 lx lm 101,6zz′′ αz.ε pro 1000 = lx pro 3350 lm.yHledaná osvětlenost E = ε ⋅cos γ = 1016 , ⋅0,8944 = 90 8 ≈ 91 lx.Pρ y0,B. Výpočet osvětlenosti v poli svítidla přímkového typu metodourozdělení svítidla na čtyři dílčí zdrojePředpoklady:- svítivost je rovnoměrně rozdělena po délce svítidla přímkového typu,- dílčí svítidla se umístí do geometrických středů jednotlivých částí,- délka každého z dílčích svítidel je 0,3 m (jde o bodové zdroje).- vzdálenosti středů částí Z 1 , Z 2 , Z 3 a Z 4 od počátku přímky C 1 jsou:0,15 m; 0,45 m; 0,75 m; 1,05 m.- svítivost ve vztažném směru připadající na 1 m délky svítidla pro 3350 lmI( 12 , ) ⋅ ( 3350 1000) = ( 200 12 , ) ⋅3,35 558,3 cd/m10= I0=- svítivost ve vztažném směru každého dílčího zdroje délky 0,3 m je rovnaIZ= I1 0Z= I2 0Z= I3 0Z= I10=0 4⋅0, 3 = 558,3 ⋅0,3 167,5 cd1. Příspěvek E P ρ 0 ( Z 1 ) od dílčího zdroje Z 1 k hledané osvětlenosti EPρ 0Vzdálenost lZstředu zdroje Z11 od bodu Pl12 2( 2 + 1 ) + 0,0225 = 5,0225⇒l = 2,m012, 15 =2412 2Z= l1+ZVzdálenost p 1 bodu P od průmětu bodu Z 1 do roviny ρ 0p2 2= + 0, 15⇒= 1,01119 m ≈ 1,01 m211 p1Úhel γZmezi paprskem l1Za vztažným směrem ( I10Z)1γSvítivost( p h ) = 0,46811rad⇒ cos 0 89242arctg =Z 1 1Z,1I= γ⋅ cosγ= 167,5 ⋅0,89242 149,5 cdγ Z= I1 0 Z=1 Z.1β1= γZ⇒cos β = cosγZ= 0,Pro rovinu ρ 0 ⊥ δ platí 892421 1144

Příspěvek od Z 1P22( Z ) = [ IγZlZ] ⋅cosγZ= [ 149,5 2,24 ] ⋅089242E= 26,6 lx.ρ,0 11 112. Příspěvek E P ρ 0 ( Z 2 ) od dílčího zdroje Z 2 k hledané osvětlenosti EPρ 0Vzdálenost lZstředu zdroje Z22 od bodu Pl2Z22 2( 2 + 1 ) + 0,2025 = 5,2025⇒l = 2,m022, 45 =2812= l1+ZVzdálenost p 2 bodu P od průmětu bodu Z 2 do roviny ρ 0p22= + 0, 45⇒= 1,00966 m ≈ 1,1 m221 p2Úhel γZmezi paprskem l2Za vztažným směrem ( I20Z)2γSvítivost( p h ) = 0,50153 rad ⇒ cos 0 87685arctg =Z 2 2Z,2I= γγ Z⋅ cosγ= 167,5 ⋅0,87685 146,9 cd= I2 0 Z=2 Z2Pro rovinu ρ 0 ⊥ δ platí β γ ⇒ cos β = cosγ= 0 87685Příspěvek od Z 2EP2=ZZ,2 222( Z ) = [ IγZlZ] ⋅cosγZ= [ 146,9 2,281 ] ⋅087685ρ= 24,8 lx.,0 22 223. Příspěvek E P ρ 0 ( Z 3 ) od dílčího zdroje Z 3 k hledané osvětlenosti EPρ 0Vzdálenost lZstředu zdroje Z33 od bodu P2l2Z32 2( 2 + 1 ) + 0,5625 = 5,5625⇒l = 2,m032, 75 =35852= l1+ZVzdálenost p 3 bodu P od průmětu bodu Z 2 do roviny ρ 0p22= + 0, 75⇒p 1,25 m2313=Úhel γZmezi paprskem l3Za vztažným směrem ( I30Z)3γSvítivost( p h ) = 0,5586 rad ⇒ cos 0 848arctg =Z 3 3Z,3I= γγ Z⋅cosγ= 167,5 ⋅0,848 142,0 cd= I3 0 Z=3 Z3Pro rovinu ρ 0 ⊥ δ platí platí β γ ⇒ cos β = cosγ= 0 848Příspěvek od Z 3P3=ZZ,3 322( Z ) = [ IγZlZ] ⋅cosγZ= [ 142 2,3585 ] ⋅0848E= 21,7 lx.ρ,0 33 33345

4. Příspěvek E P ρ 0 ( Z 4 ) od dílčího zdroje Z 4 k hledané osvětlenosti EPρ 0Vzdálenost lZstředu zdroje Z44 od bodu Pl2 2( 2 + 1 ) + 11025 , = 6,1025⇒l 2,m142, 05 =472 2Z 4= l1+Z=Vzdálenost p 4 bodu P od průmětu bodu Z 4 do roviny ρ 0p2 2= + 105 , ⇒ p 1,43 m2414=Úhel γZmezi paprskem l4Za vztažným směrem ( I40Z)4γSvítivost( p h ) = 0,6213 rad ⇒ cos 0 8131arctg =Z 4 4Z,4I= γγ Z⋅cosγ= 167,5 ⋅0,8131 136,2 cd= I4 0 Z=4 Z4Pro rovinu ρ 0 ⊥ δ platí platí β γ ⇒ cos β = cosγ= 0 8131Příspěvek od Z 4EP4=ZZ,4 422( Z ) = [ IγZlZ] ⋅cosγZ= [ 136,2 2,47 ] ⋅08131ρ= 18,1 lx.,0 44 44Hledaná osvětlenost EPρje rovna součtu dílčích příspěvků0Závěr:E = 26, 6 + 24,8 + 217 , + 18 1 = 91,2 lxPρ0,Přesným výpočtem byla zjištěna osvětlenost 90,8 lx.Chyba výpočtu při nahrazení svítidla čtyřmi dílčími bodovými zdroji je chyba[( 912− 90,8)90,8] ⋅100, = 0,44 %Z výsledků je patrno, že pro zadané kosinusové rozdělení svítivosti svítidla přímkového typujsou oba způsoby výpočtu prakticky plně srovnatelné. V počítačových programech se vesměsaplikují výpočty s bodovými svíticími prvky a svítidla přímkového typu se dělí většinou podstatnějemněji než naznačeno v příkladu.446

26. Mnohonásobné odrazy v duté ploše s otvoremZadání:Vypočtěte světelný tok Φ, který vlivem mnohonásobných odrazů dopadne na vnitřní difúznípovrch A duté plochy s otvorem A 0 . Dále zjistěte hodnotu toku Φ A0 vycházejícího otvorem A 0 , zapředpokladu, že žádné mnohonásobné odrazy nevznikají a hodnotu téhož světelného toku přirespektování vlivu mnohonásobných odrazů. Tyto dvě varianty porovnejte.Uvažujte, že na vnitřní povrch plochy A dopadá počáteční tok Φ 0 .Dáno : povrch duté plochy A má tvar půlkoule s poloměrem r otvoru A 0 r = 1 m;činitel odrazu ρ vnitřního difúzního povrchu plochy A je ρ = 0,7.Řešení:Pozn.Obr. 35 Povrch duté plochy A odráží difúzně s činitelem odrazu ρ.obecně je činitel vazby ψ 1→2 mezi plochou 1 a plochou 2 definován vztahem:Φ1→2Φ1→2ψ1→2= =Φ ρ ⋅Φvyz11U difúzně odrážející duté plochy A s otvorem A 0 se vyskytují dva činitele vazby, a to :činitel vazby ψ A→Ao = ψ AAo (mezi plochou A a otvorem A 0 ),ψ = ψ (plochy A samotné se sebou),činitel vlastní vazbyAApro které platí vztahy1=ψ +ψAA ψ = A00ψ = 1−ψAAAA0 0APrůběh procesu mnohonásobných odrazů v duté difúzní ploše je zřejmý z následující tabulky.Φ dsloupec 1 sloupec 2 sloupec 3 sloupec 4na plochu Adopadne tokz toku ve sl. 1plocha Aodrazí tokz toku ve sl. 2na plochu Aznovu dopadneΦ0ρ ⋅Φ0⋅ ρ ⋅Φ02 2ψ ⋅ ρ ⋅Φ 0ψ ⋅ ρ ⋅ ρ ⋅Φ0⋅ ρ ⋅Φ02 22 23 3ψ ⋅ ρ ⋅Φ0ψ ⋅ ρ ⋅ ρ ⋅Φ0⋅ ρ ⋅Φ03 33 34 4ψ ⋅ ρ ⋅Φ0ψ ⋅ ρ ⋅ ρ ⋅Φ0⋅ ρ ⋅Φ0z toku ve sl. 2vychází otvorem A 0tokψ ( −ψ) ⋅ ρ ⋅01 Φ2ψ ( 1−ψ) ⋅ψ⋅ ρ ⋅Φ02ψ ( 1−ψ) ⋅ψ⋅ ρ3 ⋅Φ03ψ ( 1−ψ) ⋅ψ⋅ ρ4 ⋅Φ0... ... ... ...1Φ1 −ψ . ρ= Φ = ( 1 ) A⋅ −ψ⋅ ρ ⋅Φ00011−ψ⋅ ρ47

Výsledný tok dopadající na vnitřní difúzní povrch plochy A je ve sloupci 1 tabulky (jako součetgeometrické řady s kvocientem ψ·ρ ) označen Φ d = Φ = γ · Φ 01kde γ je činitel mnohonásobných odrazů γ = 1 −ψ⋅ ρTokΦA 0vycházející otvorem A 0 je ve 4. sloupci tabulky (opět jako součet geometrické řadys kvocientem ψ·ρ ) a je tudíž rovenΦ= Φ= ρ ⋅Φ⋅ψ=⋅Φ. ψA→A0 A0AA00 AA01−ψ1 1AA. ρ−Odtud ekvivalentní činitel odrazu ρ eρ=ρ . ψAA0⋅Φ0( −ψ).ρAA0ρ =eΦΦA0=1−ρ ⋅ψAA0( 1−ψ) ⋅ ρ0 AA0Řešení:Světelný tok Φ bez odrazů , který vychází otvorem A 0 za předpokladu, že nevznikají žádnémnohonásobné odrazy je rovenΦ bezodrazů= Φ0 ⋅ ρ ⋅ψ= 0,35 ⋅Φ0kde Φ bez odrazů je tok vystupující otvorem A 0 ,ρ je činitel odrazu,Φ 0 je počáteční světelný tok dopadlý na vnitřní povrch A duté plochy.Světelný tok dopadající na plochu A 0 při respektování mnohonásobných odrazů:Nejprve se vypočte činitel vazby:2A0π ⋅ rψ = 1−ψAA= 1−= 1−2A 4 ⋅π⋅ r2Na plochu A dopadne tok:Φ d= 0 50,= 11⋅Φ1−ψ .ρ 1−0,5⋅0,7,0= ⋅Φ0= 1538Světelný tok Φ Ao , který vychází otvorem A 0 za předpokladu, že se respektuje vlivmnohonásobných odrazů v duté ploše s difúzním vnitřním povrchem A (součet 4.sloupcetabulky) se vypočte ze vztahuΦ A1= ⋅,1−ψ.ρ⋅Φ( 1−ψ) ⋅ ρ ⋅Φ0 0= 538⋅00ΦVýstupní tok Φ Ao při respektování mnohonásobných odrazů je tedy přibližně o 35 % vyšší nežtok Φ bez odrazů .048

27. Výpočet rozložení světelného toku svítidla obdélníkového typuZadání:Vypočtěte světelné toky dopadající v místnosti ve tvaru kvádru ze stropu, který představujedifúzně vyzařující svítidlo obdélníkového typu, na stěny místnosti a na srovnávací rovinu.Místnost ve tvaru kvádru [o rozměrech: délka = 8 m, šířka = 4 m, výška = 3,25 m] je osvětlenadifúzně vyzařujícím stropem, tedy svítidlem obdélníkového typu s konstantním jasem L ve všechsměrech.Vyzařování svítidla obdélníkového typu v takovém případě (L = konst.) popisují charakteristickéfunkce svítivosti:Iπ( γ ) cos γ ; f ( γ ) = cosα=Iδf (70)Srovnávací rovina je umístěna ve výši 0,85 m nad podlahou.Výška stropu nad srovnávací rovinou jeŘešení:h = 3 , 25 − 0,85 = 2,4 m .Pro tok Φ 0 dopadající ze stropu (který představuje difúzně vyzařující obdélníkový zdroj) nasrovnávací rovinu platí rovniceΦ0⎡22 a2 b= 2Lh⎢a1+b ⋅ arctg + b 1+a ⋅ arctg − a ⋅ arctg a − b ⋅ arctgb+22⎢⎣1+b1+a2 2( 1+a )( 1+b ) ⎤⎥⎦1⋅ ln (lm; cd·m -2 , m, -, -) (71)22 1+a + b+2kde a, b značí poměrné rozměry:a = c h;b = dhPozn.Vzorec (Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.) je odvozen pro případ dvou obdélníků orozměrech c, d umístěných nad sebou v rovnoběžných rovinách ve vzdálenosti h. Jde tedyo kvádr, v němž svíticí obdélník[o rozměrech c, d] představuje strop a osvětlovaný obdélník srovnávací rovinu;výška stropu nad srovnávací rovinou je označena písmenem h.V daném případě jsou poměrné rozměry a, b [vztažené k výšce h stropu nad srovnávací rovinou]rovny: a = c h = 8 2,4 = 3,333; b = d h = 4 2,4 = 1, 666 .Po dosazení do vztahu (Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.) pro tok Φ 0 vychází2Φ = 2 ⋅ L ⋅ 2, 4 ⋅3,926903336 = L ⋅ 45,23792643 = & L ⋅ 45 23790,Na srovnávací rovinu tedy ze svíticího stropu dopadá světelný tok Φ 0Φ 0 ≐ L · 45,238 (lm) (72)49

Pro tok Φ v21 dopadající ze stropu (jako z difúzně vyzařujícího obdélníkového zdroje) na jednuz delších stěn místnosti platí vztahΦ v 21Pozn.502 2 2( a + b )( 1+a )2 2a ( 1+a + b )1 ⎡2a2 a2= Lh ⎢4ab⋅ arctg + 4a⋅ arctg a − 4a1+b ⋅ arctg + a ⋅ ln224 ⎢⎣b1+b2 2 2( a + b )( 1+b )2 2 2b ( 1+a + b )2 2( 1+a )( 1+b ) ⎤⎥⎦2− b ⋅ ln− ln2 21+a + bkde jsou opět zavedeny poměrné rozměry obdélníků(lm; cd·m -2 , m, -, -) (73)a = c h a b = d h .Rovnice (Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.) je odvozena pro situaci, kdy svíticí aosvětlovaný obdélník leží ve vzájemně kolmých rovinách, při čemž:1. svítící a osvětlovaný obdélník mají jednu stranu shodné délky označenu písmenem c,2. druhý rozměr svítícího obdélníku je označen písmenem d,3. druhý rozměr osvětlovaného obdélníku je označen písmenem h.V případě, že se počítá tok Φ v21 dopadající na delší (8 m) stěnu [označenou 21] místnosti, majísvíticí a osvětlovaný obdélník společnou stranu c o délce 8 m a poměrné rozměry potom jsou:a = 8 2,4 = 3,333; b = 4 2,4 = 1,666Po dosazení z rovnice (Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.) dostaneme2( 1 4) ⋅ L ⋅2, 4 ⋅13,03544417 = L ⋅18,7710396 = ⋅1877121= L ,Φ v &Na obě delší stěny [označené 21 a 22] tedy dopadá tok Φ v(21+22) rovný dvojnásobku toku Φ v21 , tj.Φv( 21 + 22) = 2⋅Φv21= L ⋅2⋅18, 7710396 = L ⋅37,5420792≐ I 10 · 37,542(lm) (74)Pro výpočet toku Φ v23 dopadajícího ze stropu (jako z difúzně vyzařujícího obdélníkovéhozdroje) na jednu z kratších stěn [označenou 23] místnosti se využije opět vztah (Chyba! Nenalezenzdroj odkazů.), do kterého se ovšem oproti předchozímu případu dosadí vzájemně zaměněnépoměrné rozměry, tj.a = 4 2, 4 = 1666 , ; b = 8 2,4 = 3,333 ,pro které pak z výrazu (Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.) vychází tok na kratší stěnu2( 1 4) ⋅ L ⋅ 2, 4 ⋅6,163527527 = L ⋅8,875479639 = ⋅8875523= L ,Φ v &Na obě kratší stěny [označené 23 a 24] místnosti dopadá pak tok Φ v(23+24) rovný dvojnásobku tokuΦ v23 , tj.Φv( 23 + 24) = 2⋅Φv23= L ⋅ 2⋅8, 875479639 = L ⋅17,75095928≐ L · 17,751(lm) (75)−

Na všechny stěny zadané místnosti dopadá z uvažovaného difúzně vyzařujícího stropu tok Φ v2 ,který je roven součtu toků dopadajících na obě jak delší, tak kratší stěny, tj.( 37, 542 + 17 751)Φ v & = L · 55,293 (lm)2= L ⋅,Ověření výsledku výpočtuCelkový tok Φ sv vyzařovaný difúzně svíticím stropem je roven součtu toků dopadlých nasrovnávací rovinu a na stěny prostoru, tj.( 45 , 23792643 + 37,5420792 + 17,75095928)Φ sv= L ⋅= L · 100,5309649( 45 , 238 + 37,542 + 17,751)Φ sv= & L ⋅ ≐ L · 100,53 (lm) (76)Strop místnosti je v daném případě difúzně vyzařující plochou, pro kterou (kromě konstantního jasuL ve všech směrech) platí další základní vztahy, a to1. pro světlení M:M= π ⋅ L(lm·m -2 ; -, cd·m -2 ) (77)2. pro tok Φ sv vyzařovaný difúzně svítící plochou o velikosti A vyz :Φsv= M ⋅ A = π ⋅ L ⋅ Avyzvyz(lm; lm·m -2 , m 2 ; -, cd·m -2 , m 2 ) (78)Z toho vyplývá, že světelný tok Φ sv vyzařovaný difúzně svítícím stropem (o rozměrech 8x4 m)je podle předchozí rovnice (Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.) úměrný nejen jasu L, ale i velikostiA vyz vyzařovací plochy, tj.( 8 ⋅ 4)sv= π ⋅ L ⋅ A = L ⋅π⋅ = L · 100,5309649 (79)ΦvyzZ porovnání výsledků výrazů (Chyba! Nenalezen zdroj odkazů.) a (Chyba! Nenalezen zdrojodkazů.) je zřejmé, že výsledky předchozích výpočtů jsou správné.Pozn.Výsledky jsou záměrně uváděny na více desetinných míst pouze pro jejich snadnějšíporovnávání.Při výpočtu světelných toků obvykle plně postačí počítat se čtyřmi platnými číslicemi.51

28. Řešení mnohonásobných odrazů v prostoru ve tvaru kvádruZadání:Uvažte, stejně jako v předchozím 27. příkladu, místnost ve tvaru kvádru [o rozměrech: délka = 8 m,šířka = 4 m, výška = 3,25 m], která je osvětlena difúzně vyzařujícím stropem, tedy svítidlemobdélníkového typu s konstantním jasem L ve všech směrech a stanovte světelné toky, které přirespektování vlivu mnohonásobných odrazů dopadají na strop, stěny a na srovnávací rovinuumístěnou 0,85 m nad podlahou.Počáteční světelné toky Φ 20 , Φ 30 dopadající v uvažovaném prostoru ze svíticího stropu na stěny asrovnávací rovinu byly stanoveny v předchozím 27. příkladu a jsou rovny :tok na všechny stěny Φ = Φv = L 55,293 lm ;tok na srovnávací rovinu20 2⋅30= Φ0= L ⋅Φ 45,238 lm .Počáteční tok Φ 10 dopadající ze svíticího stropu zpět na strop je pochopitelně s ohledem na rovinnýcharakter stropu nulový Φ 10 = 0.Uvažují-li se stěny jako jedna plocha, lze pro řešení mnohonásobných odrazů v daném kvádrunapsat tři rovnice o třech neznámých tocích Φ 1 , Φ 2 , Φ 3 , které na strop, stěny a srovnávací rovinudopadají po proběhnutí dostatečného počtu odrazů.ΦΦΦ1= Φ10+ ψ21⋅ ρ2⋅Φ2+ ψ31⋅ ρ3⋅Φ3[ Φ + ψ ⋅ ρ ⋅Φ + ψ ⋅ ⋅ ]2=2⋅20 12 1 1 32ρ3Φ3γ (80)3= Φ30+ ψ13⋅ ρ1⋅Φ1+ ψ23⋅ ρ2⋅Φ2Předchozí soustavu rovnic lze upravit do tvaruΦ =1−ψ21⋅ ρ2⋅Φ2−ψ31⋅ ρ3⋅Φ3Φ102⋅ψ12⋅ ρ1⋅Φ1+ Φ2− γ2⋅ψ32⋅ ρ3⋅Φ3= γ2⋅Φ20− γ (81)−ψ13⋅ ρ1⋅Φ 1−ψ23⋅ ρ2⋅Φ2+ Φ3= Φ30Pro determinant soustavy je pak možno odvodit vztahD 1−[ γ ⋅ ρ ⋅ ρ ⋅ ρ ⋅( ψ ⋅ψ⋅ψ+ ψ ⋅ψ⋅ψ) + ρ ⋅( ρ ⋅ψ⋅ψ+ γ ⋅ ρ ⋅ψ⋅ψ) +=2 1 2 3 21 32 13 31 12 23 1 3 31 13 2 2 12 21+ γ2⋅ ρ2⋅ ρ3⋅ψ32⋅ψ23](82)Činitele vazby ψ 12 ψ 13 ψ 21 ψ 23 ψ 31 ψ 32 vyskytující se v soustavě rovnic (80) se vyjádřív závislosti na činiteli ψ 13 vazby mezi stropem a srovnávací rovinou (tj. pro dva obdélníky nadsebou).Vychází se při tom z geometrických souvislostí:ψ = ; = ; =(83)31ψ13ψ32ψ12ψ21ψ23i z jednoduché energetické bilance:1 ψ= ψ12+13, odkud ψ121−ψ13Pro činitele vazby ψ 12 a ψ 21 lze odvodit vztah:= (84)52

ψAA( 1−ψ) = ⋅( −ψ)1121= ⋅ψ12= ⋅131A2A22kde m je index místnosti, pro který platí výraz m ( c ⋅ d ) [ hv ⋅ ( c + d )]m= ,h v je výpočtová výška, tj. výška fiktivní roviny svítidel nad srovnávací rovinou.V daném případě leží fiktivní rovina v rovině stropu h v= h = 3 , 25 − 0,85 = 2,4 m .Pro činitele γ 2 mnohonásobných odrazů mezi jednotlivými plochami stěn platí22213(85)1γ = 21−ψ⋅ ρ(86)Činitel vlastní vazby ψ 22 mezi stěnami vyplývá z energetické bilance1= ψ + ψ + ψ ,222123ze které po dosazení již uvedené souvislosti ψ 21 = ψ 23 vychází pro činitele vazby ψ 22 rovniceψ22− 2⋅ψ21= 1−⋅ 1( − )= 1 m ψ(87)13Po dosazení vztahu (85) do výrazu (87) a do výrazu (86) vychází pro činitele γ 2mnohonásobných odrazů výrazγ =21⎡ A1−ρ2⋅⎢1−2⎣ A12⋅( 1−ψ)13⎤⎥⎦=1−ρ21[ 1−m ⋅( 1−ψ)]13(88)Pro c = 8 m; d = 4 m; h = 2,4 m vychází index místnosti m = 1,111 a dáleψ= , 44999 ; ψ = 0,305561;ψ = ψ = 0,55001;ψ = 0,388878 ; γ = 1241371302312 32222,Po dosazení a vyřešení soustavy rovnic (81) vycházíΦ1= 19,02049513⋅ L ; Φ2= 86,530466868 ⋅ L ; Φ3= 64, 44960923⋅LPředpokládají-li se činitele odrazu ρ1= 0, 7 ; ρ2= 0,5 ; ρ3= 0,2 , vyzařují (včetně vlivu mnohonásobnýchodrazů) sekundární zdroje (strop a stěny) toky:strop Φ1 ⋅ ρ1= 13,3143465 ⋅ Lstěny Φ2 ⋅ ρ2= 43,26523343 ⋅ LZ těchto toků dopadnou na srovnávací rovinu tokyze stropu Φ ⋅ ρ ⋅ψ= 5 991322782 ⋅ L1 1 13,2ρ2⋅ψ23= 13,ze stěn Φ ⋅ 22016799 ⋅ LVlivem mnohonásobných odrazů dopadá tedy na srovnávací rovinu součet uvedených toků, tj.19,21149077 · LZe známých toků dopadlých na srovnávací rovinu (o ploše A 3 = 8 · 4 = 32 m 2 ) lze již stanovitmístně průměrnou osvětlenost, a to jak její hodnotu celkovou= 64, 44960923⋅32 = 2,01405288 · L (100 %)E3 celkLtak její složku přímou = 45, 23811846⋅32 = 1,41369130 · L (70,2 %)E3 přL53

a složku odraženou = 19, 21149077 ⋅ 32 = 0,60035908 · L (29,8 %)E3 odrLPozn.Je zřejmé, že odražená složka průměrné osvětlenosti tvoří v tomtopřípadě 30 % z celkové průměrné osvětlenosti srovnávací roviny.Z výsledků dále vyplývá i hodnota činitele využití η E pro výpočet osvětlenosti( π ⋅ 32)ηE= Φ3Φzdrojů= 64, 44960923 ⋅ L L ⋅ = 0,641kde = M ⋅ A = π ⋅ L ⋅ A = π ⋅ L 32 ; přičemžΦ zdrojů1 11⋅2A1= 8 ⋅ 4 = 32 m .Lze též určit celkový průměrný jas L 2 stěn, neboť stěny z toku Φ 2 na ně dopadlého odrážejí tokodkudL2ρΦ2⋅2= M2⋅ A2= π ⋅ L2⋅ A2Φ2⋅ ρ2Φ2⋅ ρ286,530466868⋅L ⋅ 0,5= === 0, 239⋅Lπ ⋅ A π ⋅2⋅h⋅ ( c + d)π ⋅ 2 ⋅ 2,4 ⋅ (8 + 4)2Pozn. Z výsledku vyplývá, že např. pro průměrný jas L svítícího stropu L ≈ 200 cd·m -2 bycelkový průměrný jas stěn činil L 2 ≈ 48 cd·m -2 .Z obdobné rovnice, do které se dosadí počáteční tok Φ 20 = 55,293 · L je možno vypočítatpřímou složku L 20 průměrného jasu stěnL20Φ20⋅ ρ2Φ20⋅ ρ255,293⋅L ⋅0,5= === 0,1528⋅Lπ ⋅ A π ⋅ 2⋅h⋅(c + d)π ⋅ 2⋅2,4⋅(8 + 4)2což v daném případě je cca 64 % z celkového či výsledného jasu L 2 stěn.54

29. Rozložení jasů v prostoru ve tvaru kvádruZadání:V interiéru ve tvaru kvádru s difúzními světelně činnými plochami stanovte s uvažováním vlivumonohonásobných odrazů průměrné jasy zmíněných základních ploch.Stěny uvažujte jako jednu plochu.Za předpokladu, že všechny světelně činné plochy v uvažovaném interiéru vykazují vlastnostidifúzně odrážejících ploch lze mnohonásobné odrazy ve vnitřní dutině prostoru uvažovaného vetvaru kvádru (1 – fiktivní rovina svítidel, 2 – stěny jako jedna plocha, 3 – srovnávací rovina) popsattřemi rovnicemi . Neznámými jsou toky Φ 1 , Φ 2 , Φ 3 dopadající na zmíněné plochy pomnohonásobných odrazech.Vyjádří-li se podle dříve odvozených vztahů činitele vazby ψ 21 , ψ 31 , ψ 12 , ψ 32 , ψ 23v závislosti na činiteli vazby ψ 13 vychází pro determinant D soustavy výraz⎡ m22 ⎤D = 1−⎢γ2⋅ ρ2⋅ ⋅( 1−ψ13) ⋅( 2⋅ρ1⋅ ρ3⋅ψ13+ ρ1+ ρ3) + ( ψ13) ⋅ ρ1⋅ ρ3⎣ 2⎥(89)⎦Pro výsledný tok Φ 1 dopadající po mnohonásobných odrazech v uvažovaném prostoru nafiktivní rovinu svítidel (popřípadě na strop) se dostane rovnicekdeΦ1A1⋅Φ10+ B1⋅Φ20+ C1⋅Φ30= (90)1 ⎡ m2 ⎤A1= ⋅⎢1−γ2⋅ ⋅( 1−ψ13) ⋅ ρ2⋅ ρ3D ⎣ 2 ⎥(91)⎦1 mB1= ⋅γ2⋅ ⋅( 1−ψ13) ⋅ ρ2⋅( 1+ψ13⋅ ρ3)(92)D 21 ⎡ m2 ⎤C1= ⋅ ρ3⋅⎢γ2⋅ ⋅ ( 1−ψ13) ⋅ ρ2+ ψ13D ⎣ 2 ⎥(93)⎦Podobně se pro výsledný tok Φ 2 dopadající po mnohonásobných odrazech na stěny odvodívztahkdeΦ2A2⋅Φ10+ B2⋅Φ20+ C2⋅Φ30= (94)1A2= ⋅γ2⋅ ρ1⋅( 1−ψ13) ⋅( 1+ψ13⋅ ρ3)(95)D2[ − ( ψ ) ⋅ ρ ⋅ ρ ]1B2= ⋅γ2⋅ 113 1 3(96)D1C2= ⋅γ2⋅ ρ3⋅( 1−ψ13) ⋅( 1+ψ13⋅ ρ1)(97)DNejdůležitější z hlediska stanovení průměrné osvětlenosti v bodech srovnávací roviny je ovšemurčení výsledného světelného toku Φ 3 , který po mnohonásobných odrazech ve sledovaném kvádru55

(místnosti) dopadá na srovnávací rovinu (popřípadě na podlahu). Pro tok Φ 3 vychází řešenímsoustavy rovnic výrazkdeΦ3A3⋅Φ10+ B3⋅Φ20+ C3⋅Φ30= (98)1 ⎡ m2 ⎤A3= ⋅ ρ1⋅⎢γ2⋅ ⋅( 1−ψ13) ⋅ ρ2+ ψ13D ⎣ 2 ⎥(99)⎦1 mB3= ⋅γ2⋅ ρ2⋅ ⋅( 1−ψ13) ⋅( 1+ψ13⋅ ρ1)(100)D 21 ⎡2 m ⎤C3= ⋅⎢1−γ2⋅ ( 1−ψ13) ⋅ ⋅ ρ1⋅ ρ2D ⎣2 ⎥(101)⎦Vyřešení výsledného toku Φ 1 dopadajícího po mnohonásobných odrazech na fiktivní rovinusvítidel umožňuje stanovit střední hodnotu osvětlenosti této roviny a zejména pak její průměrný jasL 1e . Vychází-li se z dříve uvedeného předpokladu, že povrchy stropní dutiny rovnoměrně rozptylněodrážejí, pak se místně průměrný jas L 1e fiktivní roviny svítidel, resp. povrchu stropní dutiny,vypočte z rovnice1ρ1⋅Φ1L1e= ⋅π A1(cd·m -2 ; -; lm, m 2 ) (102)Hodnoty toku Φ 1 se též využívá při výpočtu tabulek činitelů využití η L1 pro výpočetprůměrného jasu stropní dutiny tokovou metodou. Činitel η L1 , se při tom zjišťuje v závislostina toku Φ Z všech zdrojů světla, instalovaných v daném z prostoru, ze vzorceρ Φη 1 1L= ⋅(-; -, lm, lm) (103)1π ΦZObdobně na základě vypočtené hodnoty výsledného toku Φ 2 dopadajícího po mnohonásobnýchodrazech na stěny, lze stanovit místně průměrný jas L 2 difúzně odrážejících stěn z výrazuL2=1⋅πρ2⋅ΦA22(cd·m -2 ; -, lm, m 2 ) (104)respektive činitele využití η L2 pro výpočet průměrného jasu stěn tokovou metodou z rovniceρ2m Φ2ηL= ⋅ ⋅(-; -, -, lm, lm) (105)2π 2 ΦZ56

Průměrná osvětlenost srovnávací roviny (popř. podlahy) v daném prostoru je rovna podíluvýsledného toku Φ 3 dopadajícího na tuto rovinu v procesu mnohonásobných odrazů a velikosti A 3půdorysu osvětlované místnosti. Vyřešení toku Φ 3 dovoluje však zvláště vypočítat hodnotu činitelevyužití η E uvažované osvětlovací soustavy, potřebného pro výpočet průměrné osvětlenostisrovnávací roviny tokovou metodou. Činitel η E se totiž stanoví jako poměr toku Φ 3 k toku Φ Z všechzdrojů instalovaných v daném prostoru, tj.Φ 3ηE =(-; lm, lm) (106)ΦZMístně průměrný jas srovnávací roviny L 3 se vypočte z výrazuL3=1⋅πρ3⋅ΦA33(107)Určuje-li se např. průměrná osvětlenost srovnávací roviny odpovídající pouze odraženýmsvětelným tokům, je třeba stanovit tok dopadající na srovnávací rovinu pouze vlivemmnohonásobných odrazů v daném prostoru. Tento tok se snadno zjistí z rovnice (98) tím, že se napravé straně této rovnice odečte tok Φ 30 přímo dopadající ze svítidel na srovnávací rovinu.Analogicky je takto možno stanovit i tzv. odraženou složku činitele využití η E osvětlovací soustavy.57

30. Řešení parametrů osvětlovací soustavy v programu DIALuxZadání:Výpočet osvětlenosti srovnávací rovinyS využitím programu DIALux stanovte základní parametry osvětlovací soustavy v prostoru ve tvarukvádru.Pro jednoduchost uvažujte srovnávací rovinu v úrovni podlahy.Řešení:Po zvolení položky Nový interiérový projekt (obr. 36)Obr. 36případně po najetí myší na položku Projekt se přes pravé tlačítko dostaneme do nabídky Vložitnovou místnost.Ve vyvolaném dialogovém okně zadáme rozměry místnosti. Lze také přidávat body a tvarovatnavrhovaný prostor (obr. 37). Body přidáváme přes pravé tlačítko myši v okně s grafickýmnaznačením místnosti.58

Obr. 37Po definování místnosti můžeme v kartě Metody plánu údržby definovat činitel údržby.Pokud nezvolíme položku Úhrně, ale Rozšířen pak je třeba posléze u svítidel definovat plánúdržby v položce Zpracovat činitele údržby (obr. 38).Obr. 38Definování ploch odraznosti je pod záložkou Plochy místnosti.Vložení svítidla lze provést jednoduše přetažením *.LDT souboru na položku DIALuxovéhookna použitá svítidla.Polohu svítidla lze měnit při kliknutí na konkrétní svítidlo (nebo skupinu svítidel) s tím,že v akčních záložkách můžeme editovat Pozice/rotace, Montážní výška.59

V levé části okna DIALuxu (obr. 39) v posloupnosti stromuProjekt/Místnost je položka Uživatelská úroveň. Toto jestandardně definovaná výpočtová plocha (srovnávací rovina)programu DIALux. Je třeba nastavit její výšku a velikost okrajůod stěn.Při složitějších tvarech místností však nastává problém aDIALux neumožňuje nastavit vzdálenost jednoho metru, což jevzdálenost požadovaná normou. V takovém případě je třebavložit výpočtovou plochu ručně.Obr. 39Na záložce Objekty (nachází se vlevo dole) můžeme získat tělesa, která se dají vložitdo navrhované místnosti. Takto lze simulovat přirozené stavební prvky jako jsou schody, výtahy,podhledy, okna, dveře, apod.Pokud již v návrhové dokumentaci objektu není zaznačeno přesné rozmístění pracovních pozic(například kancelářské stoly, obráběcí místa atd.) navrhuje se celý prostor na konkrétní hladinuosvětlenosti požadovanou normou.60

Obr. 40V záložce Objekty (obr. 40) také nalezneme položku Výpočtové plochy. Pro jednoduchévýpočty postačí volba Výpočtová plocha. Tato plocha může být následně upravena podlelibovolného tvaru a rozměru místnosti či prostoru.61

Výpočet osvětleností je pak dostupný přes volbu Výstupy/spustit výpočet. Výsledné hodnotyzle najít v záložce Výstup (vlevo dole), kde rozklikáním stromu projektu se dostaneme k položceUživatelská úroveň či Výpočtová plocha (obr. 41). Při označení konkrétních výstupních listův této nabídce je můžeme pomocí Soubor/Exportovat/Výstupy uložit ve formátu PDF připravitk tisku.Obr. 4162

Zadání:Řešení:Stanovení činitele oslnění UGR v zadaném prostoruUrčete činitel oslnění UGR pro místnost s půdorysem ve tvaru písmene L.Nejprve nadefinujeme v programu DIALux místnost při obdobném postupu jak je popsánv předchozím příkladu (obr. 42).Obr. 42Po odsouhlasení rozměrů místnosti přidáme svítidla. Vybereme libovolná svítidla, buďtoze souboru *.LDT který máme k dispozici, nebo z nabídky Volba svítidel/DIALux katalogy/…Svítidla rozmístíme dle předpokládaného rozmístění svítidel zpracovávaného prostoru (obr. 43).63

Obr. 43Dalším krokem je umístění výpočtové plochy pro zjištění činitele oslnění UGR.Oslnění budeme zjišťovat pro stojícího člověka – tedy ve výpočtové výšce h = 150 cm.Výpočtovou plochu lze nalézt na umístění Objekty/Výpočtové plochy/Výpočtová plocha UGR.Odtud ji jednoduše myší přetáhneme do stávajícího projektu a poté přizpůsobíme tak, aby pokrývalacelou plochu místnosti či prostoru, který má být vyhodnocen (obr. 44).Obr. 44Nastavení těchto ploch provedeme v položkách Geometrie, kde výšku roviny h v položce Z: na1,5 m. Výpočet činitele oslnění je třeba provést ve 4 různých směrech pohledu. Proto si výpočtovou64

plochu vložíme 4 krát a její orientaci upravujeme v položce Pozorovatel zadáním úhlů: 0°, 90°,180°, 270°.Přes nabídku Výstupy/Spustit výpočet zadáme zpracování prostoru a výsledky můžeme čístpod záložkou Výstupy.Zde již dle předchozího příkladu rozbalujeme nabídku Projekt1/místnost1/Plochymístnosti/Výpočtová plocha UGR/…Činitel oslnění UGR je pak maximální hodnota, která se vyskytne na výpočtové ploše.V každém směru pohledu je pak třeba vyhodnotit tohoto činitele, a pokud neodpovídá požadavkůmnormy dle konkrétního určení prostoru, je třeba podniknout nápravu.Pozn:v souladu s požadavky normy ČSN EN 12464-1 mají hodnoty činitele oslnění UGRvyhovovat podmínce uvedené v následující tabulce.prostorpodmínkachodby UGR ≤ 28schodiště UGR ≤ 25tělocvičny UGR ≤ 22kanceláře UGR ≤ 19technické kreslení UGR ≤ 16Zadání:Výpočet osvětlenosti a rovnoměrnosti osvětlení pracovní plochy a jejího okolíNamodelujte situaci místnosti tvaru kvádru osazenou svítidly, kde předmětem výpočtu budepracovní plocha tvaru a velikosti desky pracovního stolu s hodnocením osvětlenosti jak místazrakového úkolu, tak okolní oblasti. Zhodnoťte také rovnoměrnost osvětlenosti.Návrh realizujte pro kancelářský prostor kde je na pracovní ploše požadována udržovanáosvětlenost E m ≥ 500 lx a rovnoměrnost E min /E m ≥ 0,8. Pro okolní oblast pak je hodnota udržovanéosvětlenosti E mo ≥ 300 lx s rovnoměrností E min /E m ≥ 0,5.Udržovací činitel volte v rozmení 0,7 – 0,8.Řešení:Nejprve nadefinujeme v programu DIALux navrhovaný prostor. Poté osadíme svítidly společněs následným zpracováním udržovacího činitele.Dalším krokem je vložení výpočtové plochy pracoviště. Ta je k nalezení v cestě Objekty /Výpočtové plochy / Pracoviště. Výpočtovou plochu, kterou přetažením z menu do navrhovanéhoprostoru aplikujeme lze adjustovat při výběru položky Pracovní oblast či Okolní oblast (obr. 45).65

Obr. 45Po nastavení vhodných rozměrů pracovní plochy na rozměr stolu (zde šířka 1,5 m a hloubkastolu 0,75 m) je možno nastavit velikost okolní oblasti s tím, že okolní oblast má přesahovat oblastpracovní o 0,5 m na každé straně.K přesnému usazení rovin tak, aby měly střed ve stejném bodě je možno využít nástroj„Vyznačit pomocnou linii“ a s ním vytvořit průsečík úhlopříček pracovní oblasti, do nějž se pakusadí i střed okolní oblasti. Na obr. 45 je tento kříž vyznačen červenou barvou.Zvolí-li se svítidla se zářivkami, pak po provedení výpočtu dostáváme tyto hodnoty:Pracovní oblast E m = 720 lx E min /E m = 0,859Okolní oblast E m = 450 lx E min /E m = 0,684Pokud by nebyly splněny požadavky zadání, je třeba upravit osvětlovací soustavu.66

31. Analýza zapínacího proud žárovekZadání:Zjistěte velikost zapínacího proudu žárovek o příkonu 60 W a 100 W za provozní teplotyt = 2740 K pro žárovku 100 W a t = 2710 K pro žárovku 60 W .Řešení:Proud I protékající vláknem žárovky (resistence R t ) napájené napětím U : I = U Rt.Resistence (odpor) R t wolframového vlákna žárovky při provozní teplotě t [°C] v závislosti naR t= R 1+α ⋅ t 20odporu R 20 téhož vlákna při teplotě 20 °C: [ ( )]Odtud resistence (odpor) při 20 °C:R20=20−Rt1+α .( t − 20)Parametry pro wolfram: měrný odpor 6,0 µΩ·cm = 0,06 Ω·mm 2 /m(pro srovnání pro Cu 1,75 µΩ·cm = 0,0175 Ω.mm 2 /mpro Al 0,033 Ω·mm 2 /m)teplotní součinitel odporu α = 0,0048 °C -1(pro srovnání pro Cu 0,004 °C -1 )Provozní odpor R t vlákna žárovky o příkonu P při napětí U :2R t= U Pžárovka 100 W, 230 VR = U 2 = 230 2tP 100 = 529 Ω při jmen. proudu In= U Rt= 230 529 = 0,435 Ažárovka 60 W, 230 VR = = 230 2 60 = 881 tU P7 Ω při jmen. proudu In= U Rt= 230 8817 , = 0,261APro žárovku 100 W (provozní teplota v kelvinech t = 2740 K):předpokládaná provozní teplota ve °C: t = ( 2740 − 270) ° C = 2470°CR 20 =R t / 12,8[ 1+⋅ ( t − 20)] = 529 [ 1+0,0048 ⋅ ( 2470 − 20)] = 41 ΩR = Rt α520,[ 1 + ⋅ ( t − 20)] = [ 1+0, 0048 ⋅ ( 2470 − 20)] = 12,76α ≐ 12,8zapínací proud při 20 °C: Iz= U R 20= 230 R 20= ( 230 Rt) ⋅12,8 = I n · 12,8Pro žárovku 60 W (provozní teplota v kelvinech t = 2710 K):R 20 =R t / 12,6[ 1+⋅ ( t − 20)] = 8817 , [ 1+0,0048 ⋅ ( 2440 − 20)] = 68 ΩR = Rt α320,[ 1+ ⋅ ( t − 20)] = [ 1+0,0048 ⋅ ( 2440 − 20)]α = 12,6zapínací proud při 20 °C: U R = R = ( 230 R ) ⋅126Iz= 20230 20t, = I n · 12,6Zapínací proud uvedených žárovek bude tedy 12,8 resp. 12,6 krát větší než provozníproud žárovek.Pozn.1) V praxi se obvykle uvádí, že zapínací proud žárovek je asi 11 krát větší než provozníjmenovitý proud.2) Podle ČSN ISO 31-5 Veličiny a jednotky:v obvodech ss proudu: el. odpor, resistancev obvodech stříd. proudu: reál. část impedance – resistenceimag. část impedance – reaktance67

32. Analýza napájecího obvodu zářivky 36 W s indukčním předřadníkemŘešeníPředpoklady :1. Obvod je napájen z elektrické sítě s jmenovitým napájecím napětím 230 V (schémazapojení je nakresleno na obr. 46).Obvodem protéká jmenovitý proud I = 0,43 A.Napětí na oblouku je U o = 103 V.Činný příkon zářivky je 36 W.Ztráty v předřadné tlumivce se uvažují 9 W.Elektrický oblouk hořící v zářivce představuje impedanci Z o induktivního charakteru,pro kterou platí rovniceZ = R + X(Ω) (108)o2o2okde R o je rezistence (činný odpor) oblouku (Ω),X o je induktivní reaktance oblouku (Ω).2. předřadná tlumivka představuje v obvodu impedanci Z t induktivního charakteru, prokterou platíZ = R + X(Ω) (109)t2t2tkde R t je rezistence (činný odpor) tlumivky (Ω),X t je induktivní reaktance tlumivky (Ω).Všechny zmíněné prvky R o , X o , R t , X t jsou v obvodu zapojeny do série (náhradní schéma zapojeníje nakresleno na obr. 46)Z výkonové bilance obvodu (pro 1. harmonickou) vyplývá:zdánlivý příkonS = U ⋅ I = 230 ⋅0, 43 = 98,9 VA(110)činný příkonP = 36 + 9 = 45 W(111)účiník obvodu (pro 1. harmonickou)P 45cos ϕ = = = 0,455(112)S 98,9jalový příkonQ = U ⋅I⋅sinϕ= 98,9 ⋅ 1−0,4552 = 88,1 VAr(113)z pravoúhlého trojúhelníku příkonů, v němž P, Q představují odvěsny a přeponu tvořízdánlivý příkon S (svírající s odvěsnou P úhel ϕ ), lze stanovit fázový posun ϕ mezinapětím U a proudem I protékajícím sledovaným obvodem např. z rovnice⎛ 2 ⎞⎜ 1−0,455ϕ = arctg ⎟ = arctg 1957 , = 63°(114)⎜ ⎟⎝0,455⎠68

Z uvažovaných činných ztrát 9 W na rezistenci R t tlumivky, pro které platí vztahse vypočte rezistence (činný odpor) R t tlumivky z výrazuR 2 t⋅ I = 9W2R = 9 0,43 = 48,7 Ω(115)tÚbytek napětí na rezistenci R t tlumivky je tedyUR t= Rt⋅ I = 48 , 7 ⋅0,43 = 20,93 = & 21V(116)Z fázorového diagramu na obr. 46 je vidět, že průmět (U·cosϕ) fázoru U napájecího napětído reálné osy (v níž leží fázor proudu I) je roven součtu úbytku napětí U Ro na rezistenci R ooblouku a úbytku napětí U Rt na rezistenci R t tlumivky, tj.UR+ UR= U ⋅cosϕ= 230 ⋅0,455 = 104,65 V (117)otZ předchozí rovnice vychází úbytek napětí U Ro na rezistenci obloukuU U ⋅cosϕ −U= 104 , 65 − 20,93 = 83,7 V (118)=oRtRFázor U o napětí na oblouku, jehož velikost je zadána hodnotou U o = 103 V, tvoří přeponupravoúhlého trojúhelníku s odvěsnami představovanými úbytkem napětí U Ro = 83,7 V na rezistenciR o oblouku a úbytkem napětí U Xo na reaktanci X o oblouku, takže platí vztah( U ) 2 + ( U ) 2= 83 7 ( ) 2 U2U = 103 =, +(119)oRoodkud vychází úbytek napětí U Xo na reaktanci X o oblouku2222( U ) + ( U ) = 103 + 83,7XoU == 60 V (120)Xoo R oÚhel ϕ o , který svírá fázor U o s úbytkem napětí U Ro lze stanovit z výrazu⎛ 60 ⎞ϕo= arctg⎜⎟ = 36°(121)⎝ 83,7⎠Průmět (U·sinϕ) fázoru napětí U do osy kolmé k ose proudu je roven součtu úbytku napětí U Xtna reaktanci X t tlumivky a úbytku napětí U Xo na reaktanci X o oblouku, tj.Usin 230 1 0,4552 X+ UX= U ⋅ ϕ = ⋅ − = 204,8 V(122)toZ předchozí rovnice lze již stanovit úbytek napětí U Xt na reaktanci X t tlumivkyU = U ⋅sinϕ −U= 204 , 8 − 60 = 144,8 = & 145 V(123)Xt X oFázor napětí U t napětí na tlumivce tvoří přeponu pravoúhlého trojúhelníku s odvěsnamipředstavovanými úbytkem napětí na rezistenci tlumivky U Rt = 21 V a úbytkem napětí na reaktancitlumivky U Xt = 145 V, takže pro velikost napětí U t na tlumivce platí vztah222 2U = ( U ) + ( U ) = 145 + 21 = 146,5 V(124)tR t X tXo69

Úhel ϕ t , který svírá fázor U t s úbytkem napětí U Rt lze stanovit z výrazu⎛145 ⎞ϕt= arctg ⎜ ⎟ = & 82°(125)⎝ 21⎠Z úbytku napětí U Xt = 145 V = X t · I na reaktanci tlumivky X t lze tuto reaktanci vypočítatXt= UXI = 145 0,43 = 337 Ω(126)tImpedance Z t tlumivky se pak stanoví jako přepona impedančního pravoúhlého trojúhelníkus odvěsnami tvořenými rezistencí R t = 48,7 Ω tlumivky a reaktancí X t = 337,2 Ω tlumivkyz rovnice2 222Z = R ) + ( X ) = 48,7 + 337,2 = 340,7 Ω(127)t(ttPro reaktanci X t tlumivky platí, že je rovna součinu kruhové frekvence ω = 2π · f = 2π · 50 = 314 aindukčnosti L t tlumivky, tj.X= ω ⋅(128)tL tZ předchozí rovnice vyplývá pro indukčnost L t tlumivky vztahL = ω = 337 , 2 314 = 1,074 H(129)tX tPro úplnost ještě stanovme náhradní parametry oblouku, tzn. rezistenci R o a reaktanci X o .Z úbytku napětí U Ro = 83,7 V = R o · I na rezistenci R o oblouku vyplývá velikost náhradnírezistence obloukuRo = URI = 83 , 7 0,43 = 194,65 = & 195 Ω(130)oObdobně z úbytku napětí U Xo = 60 V = X o · I na reaktanci X o oblouku vyplývá velikost náhradníreaktance obloukuXo= UXI = 60 0,43 = 139,53 = & 140 Ω(131)oNáhradní impedance Z o oblouku se pak stanoví jako přepona impedančního pravoúhléhotrojúhelníku s odvěsnami tvořenými rezistencí R o = 195 Ω oblouku a reaktancí X o = 140 Ω obloukuz rovnice222 2Z = R ) + ( X ) = 195 + 140 = & 240 Ω(132)o(ooFázorový diagram analyzovaného obvodu se sériově zapojenými rezistencemi R t tlumivky a R ooblouku a reaktancemi X t tlumivky a X o oblouku je v měřítku nakreslen na obr. 46.70

Obr. 4671

33. Kompenzace účiníku v obvodu zářivky 36 W s indukčnímpředřadníkem1. kompenzace účiníku (1. harmonické) cosϕ v = 1 při zachování činného příkonu[činné složky proudu]Pro daný jmenovitý proud I = 0,43 A zářivky 36 W a uvažované ztráty 9 W v indukčnímpředřadníku byl vypočten účiník obvodu (pro 1. harmonickou) cosϕ = 0,455.Činná složka I č proudu I potom budeI č= I ⋅cosϕ= 0 , 43 ⋅0,455 = & 0,196 AJalová (induktivní) složka I jL proudu I se zjistí ze vztahuI jL2= I ⋅sinϕ= 0,43⋅1−0,455 = 0,3829 = & 0,383 AK vykompenzování účiníku na hodnotu cosϕ = 1 se paralelně na svorky napájecího napětípřipojí kondenzátor s kapacitou C, kterým bude protékat proud I jC rovný jalové složceproudu I jL . Schéma zapojení je nakresleno na obr. 47 a odpovídající fázorový diagram naobr. 48. Přitom platíI= U X = ω ⋅C⋅U= I = 0 383 = 314 ⋅C⋅ 230jC CjL,Takže potřebná kapacita C kompenzačního kondenzátoru je−6C = 0, 383 314 230 = 5,3 ⋅10F = 5,3µFObr. 47 Schéma zapojeníObr. 48 Fázorový diagram vystihující kompenzaciúčiníku na cosϕ v = 1 při zachování činného příkonu72

2. kompenzace účiníku (1. harmonické) cosϕ v = 0,95 při zachování činného příkonu[činné složky proudu]Nový výsledný proud I v se určí z činné složky proudu I č = 0,196 A vydělením cosϕ v = 0,95, tj.I = cosϕ= 0 , 196 0,95 = & 0,206 AvI čvV tomto případě (pro odlišení) kapacitu kompenzačního kondenzátoru označme písmenem C 2Schéma zapojení je naznačeno na obr. 49.Proud I jC2 kondenzátorem C 2 bude o proud I vj menší než jalová složka I jL indukčního prouduv předchozím případě, tj. o proudI ⋅sinϕ= 0,206 ⋅ 1−0,952 = 0,0643 Avj= I v vtakžeIjC 2= IjL− Ivj== 0, 3829 − 0,0643 0,3186 ASituaci vystihuje fázorový diagram na obr. 50. Při tom platí vztah= ⋅ω ⋅ ,I jC 2U C 2z něhož pro hledanou kapacitu C 2 vyplývá rovnice( U )C = IjCω ⋅C22−6= 0, 3186 314 230 = 4,41⋅10F & 4,4µF2=Obr. 49 Schéma zapojeníObr. 50 Fázorový diagram vystihující kompenzaciúčiníku na cosϕ v = 0,95 při zachování činnéhopříkonu73