Dynamika kontinua

mechanice se pod pojmem ”pozorovatel”, resp. vztaˇzná soustava v podstatě rozumí tuhé těleso
nesoucí hodiny. Nejobecnějˇsí změnu vztaˇzné soustavy lze zapsat ve tvaru
x ∗ = c (t)+Q (t) · (x − x0) ,
t ∗ = t − a, (1.5)
kde c (t) ječasově závisl´y vektor,Q (t) ječasově závisl´y ortogonální tenzor, x0 je pevn´y boda
a je konstanta. Zpravidla ˇríkáme, ˇze c (t) pˇredstavuje změnu počátku, protoˇze pevn´y bodx0 je
zobrazen na c (t) . Q (t) pˇredstavuje rotaci, resp. zrcadlení. Veličina je invariantní vzhledem ke
změně vztaˇzné soustavy (1.5), jestliˇze platí:
q ∗ = q, pro invariantní skaláry,
v ∗ = Q · v, pro invariantní vektory,
S ∗ = Q · S · Q T , pro invariantní tenzory (2. ˇrádu).
Poˇzadavek invariantnosti sil v˚uči změně vztaˇzné soustavy vede k:
b ∗ = Q · b a t ∗ = Q · t. (1.6)
Cvičení 2. Ukaˇzte, ze rychlost . x,deformační gradient F, tenzor rotace R aprav´ytenzorprotaˇzení U nejsou
invariantní vzhledem k (1.5) a lev´y tenzorprotaˇzení V je invariantní vzhledem k (1.5)!
vztahy
2 Eulerovy zákony mechaniky kontinua
Hybnost −→ H (p) a moment hybnosti −→ L (p; x0) části tělesa p vkonfiguraci χ ˜ (B,t)jsoudefinovány
−→ H (p) =
−→ L (p; x0) =
�
pχ
˜
�
pχ
˜
.
x dm,
(x − x0) × . x dm. (2.1)
Pohybové rovnice, vyjadˇrující vztah mezi p˚usobícími silami a vznikajícím pohybemkontinua,jsou
obdobou Newtonov´ych zákon˚u dynamikytuh´ych těles a naz´yvají se Eulerovy zákony. Zapisují se
stejně jako Newtonovy zákony axiomaticky:
f (p) =
−→
M (p; x0) =
.
−→
H (p) ,
.
−→
L (p; x0) . (2.2)
Vrovnicích (2.1) pχ samozˇrejmě nenípevná část prostoru, n´ybrˇz konfigurace v čase t.
˜
Cvičení 3. Pokud platí (2.2)1, potom (2.2)2 platí pro jedno x0 tehdy a jen tehdy, kdyˇz platípro vˇsechna x0.
Dokaˇzte!
19