Dynamika kontinua
Dynamika kontinua
Dynamika kontinua
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
a pro 2. Piola-Kirchhoff˚uv tenzor tvar<br />
Div F·�Tκ<br />
˜<br />
..<br />
+ ρκb<br />
= ρκ x, �Tκ<br />
˜ ˜ ˜<br />
= �T T κ ! (4.22)<br />
˜<br />
Cvičení 12. Ukaˇzte, ˇze Piola-Kirchhoffovy tenzory napětí aCauchyhotenzornapětí jsou pro malé posuvyse<br />
zanedbatelnou chybou stejné!<br />
Pozn. V pˇrípadě mal´ych posuv˚u se v literatuˇre zpravidla pouˇzívá prooznačení tenzoru napětí<br />
symbol σ, resp. σij.<br />
5 Ekvivalentní procesy<br />
Zformálního hlediska lze pohyb χ ˜ tělesa a soustavu sil p˚usobících na těleso definovat jako tzv.<br />
dynamick´y proces,jestliˇze jsou splněny Cauchyho zákony (4.5) a (4.7). Pro těleso s danou distribucí<br />
hmotnosti pak rovnice (4.5) jednoznačně určuje hustotu objemov´ych sil b pro specifikované pole<br />
napětí T apohybχ ˜ . Jsou samozˇrejmě pˇrípady, kdy je hustota objemov´ych sil pˇredem dána; zde<br />
se vˇsak zajímáme o mnoˇzinu vˇsech moˇzn´ych pˇrípad˚u anenítudíˇz d˚uvod jakkoliv omezovat b.<br />
� �<br />
ˇRíkáme, ˇze dvojice funkcí χ, T<br />
˜<br />
definuje dynamick´y proces, kdyˇz χ je zobrazení tělesa B na<br />
˜<br />
jeho konfigurace v prostoru a kdyˇz T je spojité pole tenzoru napětí definované vkaˇzdém čase t na<br />
konfiguraci Bχ. ˜<br />
Pˇri změně vztaˇzné soustavy podle (1.5) se χ změní na χ∗ :<br />
˜ ˜<br />
x ∗ �<br />
�<br />
∗ ∗<br />
≡χ (X, t )=c (t)+Q (t) ·<br />
˜<br />
χ (X, t) − x0<br />
˜<br />
. (5.1)<br />
Pˇredpoklad (1.6) zajiˇst’uje, ˇze hustota objemov´ych sil a kontaktní síly jsou invariantní v˚uči změně<br />
vztaˇzné soustavy. Protoˇze vektor vnějˇsí normály n je invariantní, plyne z Cauchyho lemmatu (3.4),<br />
ˇze tenzor napětí je rovněˇz invariantní vzhledem ke změně vztaˇzné soustavy,tj. T ∗ = Q · T · Q T .<br />
Dva dynamické procesy<br />
�<br />
χ∗ , T<br />
˜<br />
∗<br />
�<br />
a<br />
� �<br />
χ, T<br />
˜<br />
svázané v´yˇse uveden´ym zp˚usobem pˇredstavují t´yˇz<br />
pohyb a tutéˇz soustavu kontaktních sil z hlediska dvou r˚uzn´ych pozorovatel˚u. Obecně seoznačují<br />
jako ekvivalentní dynamické procesy.<br />
6 Objektivní časové derivace tenzoru napětí<br />
V mnoha úlohách mechaniky <strong>kontinua</strong> jsme nuceni pracovat s časov´ymi derivacemi rozličn´ych<br />
veličin. Pˇritom se běˇzně stává, ˇze pˇrísluˇsná časová derivace, viz. část 1.6, není invariantní v˚uči<br />
změně vztaˇzné soustavy. Z fyzikálního hlediska je vˇsak u celé ˇrady veličin nepˇrijatelné, aby jejich<br />
hodnoty, resp. hodnoty jejich derivací závisely na volbě pozorovatele. Napˇr. časová derivace<br />
Cauchyho tenzoru napětí T (X,t) není invariantní, jak se lze snadno pˇresvědčit. Jestliˇze bychom<br />
formulovali fyzikální zákon svazující pohyb χ ˜ (X,t)konkrétního materiálového prostˇredí srychlostí<br />
časové změny tenzoru napětí vyjádˇrené pomocíčasové derivace Cauchyho tenzoru napětí, pakby<br />
25
Change language