Dynamika kontinua
Dynamika kontinua
Dynamika kontinua
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
časovou derivaci kinetické energieav´ykon vnitˇrních sil některé části p tělesa B sv´ykonem hustoty<br />
objemov´ych sil a měrn´ych napětí p˚usobících na tuto část<br />
⎛<br />
�<br />
⎝<br />
1 .<br />
x ·<br />
2<br />
. ⎞.<br />
�<br />
x dm⎠<br />
+ T : Ddv =<br />
�<br />
t· . �<br />
x ds +<br />
p<br />
pχ<br />
˜<br />
∂pχ<br />
˜<br />
pχ<br />
˜<br />
b· . x dm, (4.8)<br />
kde první člen na levé straně rovnice (4.8) odpovídá časové derivaci kinetické energie, druh´y člen<br />
popisuje v´ykon vnitˇrních sil a členy na pravé straněrovnicevyjadˇrují v´ykon objemov´ych sil a<br />
kontaktních napětí.<br />
Cvičení 8. Odvod’te (4.8)!<br />
Obdobněsedápˇridruˇzit vhodn´ynapět’ov´y tenzor i k Lagrangeovu tenzoru pˇretvoˇrení. Uvaˇzujme<br />
v´yslednou kontaktní sílu fc (p) vyjádˇrenou jednak v okamˇzité konfiguraci pχ pomocí integrálu vek-<br />
˜<br />
toru měrného napětí t pˇres hranici ∂pχ, viz (1.2), a jednak v referenční konfiguraci pomocí integrálu<br />
˜<br />
vektoru měrného napětí tκ<br />
˜<br />
pˇres hranici ∂pκ<br />
˜<br />
�<br />
�<br />
fc (p) = tds (x) =<br />
∂pχ<br />
˜<br />
∂pκ<br />
˜<br />
tκds (X) , (4.9)<br />
˜<br />
kde podle I. kapitoly x = κ (X). Zrovnice(4.9)jevidět, ˇze tκ je rovnoběˇzné s t, ale jeho velikost<br />
˜ ˜<br />
je modifikována lokální změnou elementární ploˇsky:<br />
˜<br />
tκ ˜<br />
= ds (x)<br />
t. (4.10)<br />
ds (X)<br />
Podle fundamentálního Cauchyho lemmatu existuje tenzor Tκ (X,t) takov´y, ˇze<br />
˜<br />
tκ ˜<br />
= Tκ · nκ =<br />
˜ ˜<br />
ds (x)<br />
T · n, (4.11)<br />
ds (X)<br />
kde nκ<br />
˜<br />
je jednotkov´y vektorvnějˇsí normály v X. Vztah mezi nκ<br />
˜<br />
a n odvodíme pomocí rovnice (I,<br />
1.26) zapsané v elementárním tvaru:<br />
ρdv (x) =ρκdv (X) . (4.12)<br />
˜<br />
˜<br />
Pro elementární čtyˇrstěn s podstavou ds leˇzící na hranici ∂p lze pˇredchozí relaci psát jako<br />
odkud<br />
ρds (x) n T · dx =ρκds (X) n<br />
˜<br />
T κ<br />
˜<br />
n =<br />
· dX =ρκds (X) n<br />
˜<br />
T κ<br />
˜<br />
ρκ<br />
˜ �<br />
˜<br />
F<br />
ρ<br />
−1� T ds (X) �<br />
· nκ = J F<br />
˜ ds (x) −1� T<br />
· nκ<br />
˜<br />
· F −1 ·dx, (4.13)<br />
ds (X)<br />
. (4.14)<br />
ds (x)<br />
Vrov.(4.14)2 byl vyuˇzit jeˇstě vztah (I, 1.46). Kombinací (4.14) a (4.11) obdrˇzíme:<br />
Tκ ˜<br />
�<br />
= JT· F −1�T , T =J −1 Tκ · F<br />
˜<br />
T . (4.15)<br />
Tenzor napětí Tκ se označuje jako 1. Piola - Kirchhoff˚uv tenzor napětí. Vˇsimněte si, ˇze zatímco z<br />
˜<br />
Cauchyho tenzoru napětí lze okamˇzitě stanovitokamˇzit´y vektornapětí t, tent´yˇz vektornapětí lze<br />
23
Change language