Dynamika kontinua

II. ZÁKLADY DYNAMIKY V MECHANICE KONTINUA
1 Síly a momenty
Ze vˇsech axiom˚u mechaniky se nejobtíˇzněji formulují axiomy pro soustavy sil a moment˚u. V
kursech mechaniky se obvykle zavedou síly a momenty sil jako zvláˇstní druh vektor˚u. Explicitní
soupis formálních vlastností sil se zpravidla neuvádí.
Vklasické mechanice kontinua vystačíme s pˇredstavou, ˇze síly jsou nositelem mechanické in-
terakce mezi tělesy. (Je dobré siuvědomit, ˇze ne kaˇzdá interakce musí mít nutně mechanickou
povahu v makroskopickém smyslu. V termodynamice se rozliˇsuje dále napˇr. tepelná interakce,
interakce spojená sv´yměnou částic mezi objekty atd.) Prohlásíme tedy, ˇze síly a momenty patˇrí
mezí základní prvky mechaniky, podobně jakotělesaapohyb,ajsoudány apriori.
Sledujme nyní některou část p tělesa B. Síly p˚usobí na tuto část tělesa v jeho konfiguraci pχ. ˜
Budeme rozliˇsovat dva typy sil: objemovou sílu fb (p), která jeabsolutně spojitou funkcí objemu
pχ ˜
a kontaktní sílu fc (p), která jeabsolutně spojitou funkcí povrchu hranice ∂pχ. V´ysledná síla
˜
f (p) p˚usobící na pχ ˜
kde
je dána vztahem
f (p) =fb (p)+fc (p) , (1.1)
fb (p) =
fc (p) =
� �
bdm = ρbdv,
pχ
˜
�
∂pχ
˜
pχ
˜
tds. (1.2)
Veličinu b naz´yváme hustotou objemov´ych sil aveličinu t měrn´ym napětím.
V´ysledn´y momentsíly −→ M (p; x0) vzhledem k bodu x0 je definován takto:
�
−→
M (p; x0) =
�
(x − x0) × bdm + (x − x0) × tds. (1.3)
pχ
˜
(Pozn. Pˇridrˇzujeme se obvyklého označení momentu síly velk´ym písmenem. Aby nevzniklo ne-
dorozumění, jevektorov´ycharaktertéto veličiny vyznačen ˇsipkou, nikoliv tučn´ym tiskem, kter´y
máme vyhrazen pro tenzory, viz. kap. I. Tatáˇz poznámka platí níˇze pro vektor hybnosti −→ H a
vektor momentu hybnosti −→ L .)
Cvičení 1. Dokaˇzte, ˇze platí
∂pχ
˜
−→
M � p; x � � −→ � � �
0 = M (p; x0)+ x0−x0 × f (p)! (1.4)
Dále poˇzadujeme, aby síly a momenty byly nezávislénapozorovateli (vztaˇznésoustavě). Pˇredpoklá-
dáme tedy, ˇze síly a momenty jsou takzvaně invariantní v˚uči změně vztaˇzné soustavy. V klasické
18

mechanice se pod pojmem ”pozorovatel”, resp. vztaˇzná soustava v podstatě rozumí tuhé těleso
nesoucí hodiny. Nejobecnějˇsí změnu vztaˇzné soustavy lze zapsat ve tvaru
x ∗ = c (t)+Q (t) · (x − x0) ,
t ∗ = t − a, (1.5)
kde c (t) ječasově závisl´y vektor,Q (t) ječasově závisl´y ortogonální tenzor, x0 je pevn´y boda
a je konstanta. Zpravidla ˇríkáme, ˇze c (t) pˇredstavuje změnu počátku, protoˇze pevn´y bodx0 je
zobrazen na c (t) . Q (t) pˇredstavuje rotaci, resp. zrcadlení. Veličina je invariantní vzhledem ke
změně vztaˇzné soustavy (1.5), jestliˇze platí:
q ∗ = q, pro invariantní skaláry,
v ∗ = Q · v, pro invariantní vektory,
S ∗ = Q · S · Q T , pro invariantní tenzory (2. ˇrádu).
Poˇzadavek invariantnosti sil v˚uči změně vztaˇzné soustavy vede k:
b ∗ = Q · b a t ∗ = Q · t. (1.6)
Cvičení 2. Ukaˇzte, ze rychlost . x,deformační gradient F, tenzor rotace R aprav´ytenzorprotaˇzení U nejsou
invariantní vzhledem k (1.5) a lev´y tenzorprotaˇzení V je invariantní vzhledem k (1.5)!
vztahy
2 Eulerovy zákony mechaniky kontinua
Hybnost −→ H (p) a moment hybnosti −→ L (p; x0) části tělesa p vkonfiguraci χ ˜ (B,t)jsoudefinovány
−→ H (p) =
−→ L (p; x0) =
�
pχ
˜
�
pχ
˜
.
x dm,
(x − x0) × . x dm. (2.1)
Pohybové rovnice, vyjadˇrující vztah mezi p˚usobícími silami a vznikajícím pohybemkontinua,jsou
obdobou Newtonov´ych zákon˚u dynamikytuh´ych těles a naz´yvají se Eulerovy zákony. Zapisují se
stejně jako Newtonovy zákony axiomaticky:
f (p) =
−→
M (p; x0) =
.
−→
H (p) ,
.
−→
L (p; x0) . (2.2)
Vrovnicích (2.1) pχ samozˇrejmě nenípevná část prostoru, n´ybrˇz konfigurace v čase t.
˜
Cvičení 3. Pokud platí (2.2)1, potom (2.2)2 platí pro jedno x0 tehdy a jen tehdy, kdyˇz platípro vˇsechna x0.
Dokaˇzte!
19

3 Euler-Cauchyho princip napětí
Funkční závislost hustoty objemov´ych sil b aměrn´ych napětí t v rov. (1.2) m˚uˇze b´yt velmi
obecná:
b = b (x,t,p,B) , t = t (x,t,p,B) . (3.1)
i) Co se t´yče hustoty objemov´ych sil, omezíme se pouze na takovépˇrípady, kdy b není ovlivněno
pˇrítomností těles v prostoru:
b = b (x,t) . (3.2)
Takovéobjemovésíly naz´yváme externí. (Pˇrípady obecnějˇsích objemov´ych sil, tzv.vzájemn´ych sil
jako je napˇr. univerzální gravitace, nebudeme uvaˇzovat). Jestliˇze b je gradientem skalárního pole,
hovoˇríme o tzv. konzervativní síle.
ii) U kontaktních sil se omezíme pouze na takové pˇrípady, kdy měrné napětí t vjakémkoliv
místě ačase má stejnou hodnotu pro vˇsechny části p, které mají společnou tečnou rovinu a leˇzí
na stejné stranětéto roviny
t = t (x,t,n) , (3.3)
kde n je vektor vnějˇsí normály k ∂p vkonfiguraci χ ˜ , vizobr.2.1.Takováměrná napětí se naz´yvají
jednoduchá.
Obr. 2.1 Vektor vnějˇsí normály n avektorměrn´ych napětí t vbodě x hranice ∂p
Pˇredpoklady zakotvenévrovnicích (1.1), (1.2)3 a (3.3) se společněoznačují jako Euler-Cauchyho
princip napětí atvoˇrí klíčov´ybodklasické mechaniky kontinua. Vyuˇzití tohoto principu je zaloˇzeno
na Cauchyho fundamentálním lemmatu: existujetenzorT (x,t)-tzv.tenzor napětí, takov´y, ˇze
t (x,t,n) =T (x,t) · n. (3.4)
Zatímco v rovnici (3.3) závisí t jeˇstě libovolně nan, pak rovnice (3.4) ˇríká, ˇze vektor měrného
napětí je lineární homogenní funkcí normály n.
Cvičení 4. Ukaˇzte, ˇze Cauchyho fundamentální lemma plyne z rovnic (2.2)1 a (3.3) aplikovan´ych k části p
tvaru elementárního čtyˇrstěnu podle obr. 2.2!
20

Obr. 2.2 Část p tvaru elementárního čtyˇrstěnu
4 Cauchyho zákony mechaniky kontinua
Vd˚usledku Cauchyho lemmatu m˚uˇzeme psát Eulerovy zákony (2.2) pro kontinuum, kteréjepo-
drobené jednoduch´ym měrn´ym napětím aexterním objemov´ym silám, v následujícím v´yznamném
tvaru:
p
⎛
�
⎝
p
.
⎞
.
x dm⎠
⎛
�
⎝ (x − x0) × . ⎞
x dm⎠
.
=
=
�
∂pχ
˜
�
∂pχ
˜
�
T · nds +
pχ
˜
�
(x − x0) × T · nds +
bdm, (4.1)
pχ
˜
(x − x0) × bdm,
pro kaˇzdou část p kaˇzdého tělesa B. Index je záměrně vynechán na levé straněup vintegrační
mezi, aby se zd˚uraznilo, ˇze časová derivacesepočítá propevnoučást tělesa p anepropevnou
část prostoru.
Rovnice (4.1) mají tvar, kter´y se obecně označuje jako bilanční rovnice pro tenzorové poleΨ: ∼
⎛
�
⎞.
� � � � � �
⎝ Ψ (x,t) dm⎠
∼
= E Ψ (x,t)
∼
· nds + s Ψ (x,t)
∼
dm. (4.2)
p
� �
E Ψ
∼
je tenzor o 1 ˇrád vyˇsˇsí neˇz Ψ anaz´yvá sev´ytok veličiny Ψ,s ∼ ˜
∂pχ
˜
pχ
˜
� �
Ψ
∼
je tzv. zdroj veličiny
Ψ . Bilanční rovnice vyjadˇruje rychlost r˚ustu
∼ �
� �
Ψ dm jako součet dvou pˇríspěvk˚u: toku −E Ψ
p ∼ ∼
� �
dovnitˇr oblastipχ
˜
pˇres její hranici ∂pχ
˜
azdrojesΨ
∼
uvnitˇr této oblasti. Rovnice typu (4.2)
se často objevuje v matematické fyzice. Je-li tenzorové poleΨ(X,t) prvkemtˇrídy C
∼ (1)
� �
pχ
˜
∩
C (2)
� �
,pakjevˇzdy bilanční rovnice (4.2) ekvivalentní sodpovídající diferenciální rovnicí.
pχ ˜
21

Cvičení 5. Ukaˇzte, ˇze ⎛
�
⎝
p
Ψ ∼
⎞.
�
(x,t) dm⎠
=
pχ
˜
.
Ψ (x,t) dm, (4.3)
∼
kde .
Ψ je časová derivaceΨvreferenčním popisu podle rovnice (I, 1.51). Dokaˇzte, ˇze bilanční rovnice (4.2) platí pro
∼
∼
kaˇzdou část p tělesa B, jestliˇze v kaˇzdém vnitˇrním bodětělesa B je splněna rovnice
jako d˚usledek divergenčního teorému!
ρ .
Ψ=divE ∼
�
Ψ ∼
�
+ ρs
�
Ψ ∼
�
, (4.4)
Je zˇrejmé, ˇze rovnice (4.4) obecně neplatívbodechhranice∂Bχnebo v bodech, ve kter´ych
� � � �
˜
.
pole ρ, Ψ, E Ψ a s Ψ nejsou dostatečně spojitá. Pokud budeme aplikovat (4.4) na (4.1)1,
∼ ∼ ∼
zjistíme, ˇze 1. Euler˚uv zákon platí pro kaˇzdou část p tělesa B, jestliˇze v kaˇzdém vnitˇrním bodě
tělesa B je splněna rovnice
ρ ..
x= divT + ρb. (4.5)
Rovnice (4.5) vyjadˇruje Cauchyho první zákon mechaniky kontinua. Pˇri aplikaci (4.4) k rovnici
(4.1)2 nejprve zavedeme tenzor M tak, ˇze platí (x − x0) × T · n = M · n. Obdrˇzíme
ρ (x − x0) × ..
x = divM + ρ (x − x0) × b (4.6)
= T T − T+(x − x0) × div T+ρ (x − x0) × b,
kde (4.6)2 plyne z jednoduché identity. Uváˇzíme-li (4.5) v (4.6), zjistíme, ˇze tenzor napětí T je
symetrick´y
T = T T . (4.7)
Rovnice (4.7) vyjadˇruje Cauchyho druh´y zákon mechaniky kontinua a tenzor napětí T se v liter-
atuˇre označuje jako Cauchyho tenzor napětí.
Cvičení 6. Odvod’te (4.6)2!
Cvičení 7. Ukaˇzte, ˇze Cauchyho tenzor napětí je invariantní tenzor!
Zpˇredchozího v´ykladu vypl´yvá, ˇze Eulerovy zákony jsou ekvivalentní sCauchyhozákony,
pokud funkce χ, b, ρ,
˜ ..
x a T jsou dostatečněspojité. Cauchyho první zákon popisuje lokální silovou
dynamickou rovnováhu. Cauchyho druh´y zákon plyne z lokální dynamické momentovérovnováhy,
ovˇsem za pˇredpokladu, ˇze je splněn první zákon. Cauchyho tenzor napětí se vztahuje k okamˇzité
síle a k okamˇzité geometrickékonfiguraci tělesa, jak je vidět ze vztah˚u (1.2) a (3.4). Cauchyho
tenzor napětí proto pˇridruˇzujeme k Almansiho tenzoru pˇretvoˇrení E A ,nebot’tensetéˇz vztahuje
kokamˇzité konfiguraci tělesa, viz rov. (I, 1.79). Pojem pˇridruˇzení lze chápat ve smyslu v´yrazu
T : dE A , kter´y máfyzikální v´yznam elementární práce v jednotce objemu okamˇzité konfigurace
tělesa. Dá seˇríci, ˇze Cauchyho tenzor napětí odpovídá skutečn´ym napětím vtělese a pro malé
posuvy a malá pˇretvoˇrení vychází se zanedbatelnou chybou stejn´y jako tenzor tzv. inˇzen´yrského
napětí. Pomocí Cauchyho zákon˚u lzeodvoditdalˇsí speciální typ bilanční rovnice, která svazuje
22

časovou derivaci kinetické energieav´ykon vnitˇrních sil některé části p tělesa B sv´ykonem hustoty
objemov´ych sil a měrn´ych napětí p˚usobících na tuto část
⎛
�
⎝
1 .
x ·
2
. ⎞.
�
x dm⎠
+ T : Ddv =
�
t· . �
x ds +
p
pχ
˜
∂pχ
˜
pχ
˜
b· . x dm, (4.8)
kde první člen na levé straně rovnice (4.8) odpovídá časové derivaci kinetické energie, druh´y člen
popisuje v´ykon vnitˇrních sil a členy na pravé straněrovnicevyjadˇrují v´ykon objemov´ych sil a
kontaktních napětí.
Cvičení 8. Odvod’te (4.8)!
Obdobněsedápˇridruˇzit vhodn´ynapět’ov´y tenzor i k Lagrangeovu tenzoru pˇretvoˇrení. Uvaˇzujme
v´yslednou kontaktní sílu fc (p) vyjádˇrenou jednak v okamˇzité konfiguraci pχ pomocí integrálu vek-
˜
toru měrného napětí t pˇres hranici ∂pχ, viz (1.2), a jednak v referenční konfiguraci pomocí integrálu
˜
vektoru měrného napětí tκ
˜
pˇres hranici ∂pκ
˜
�
�
fc (p) = tds (x) =
∂pχ
˜
∂pκ
˜
tκds (X) , (4.9)
˜
kde podle I. kapitoly x = κ (X). Zrovnice(4.9)jevidět, ˇze tκ je rovnoběˇzné s t, ale jeho velikost
˜ ˜
je modifikována lokální změnou elementární ploˇsky:
˜
tκ ˜
= ds (x)
t. (4.10)
ds (X)
Podle fundamentálního Cauchyho lemmatu existuje tenzor Tκ (X,t) takov´y, ˇze
˜
tκ ˜
= Tκ · nκ =
˜ ˜
ds (x)
T · n, (4.11)
ds (X)
kde nκ
˜
je jednotkov´y vektorvnějˇsí normály v X. Vztah mezi nκ
˜
a n odvodíme pomocí rovnice (I,
1.26) zapsané v elementárním tvaru:
ρdv (x) =ρκdv (X) . (4.12)
˜
˜
Pro elementární čtyˇrstěn s podstavou ds leˇzící na hranici ∂p lze pˇredchozí relaci psát jako
odkud
ρds (x) n T · dx =ρκds (X) n
˜
T κ
˜
n =
· dX =ρκds (X) n
˜
T κ
˜
ρκ
˜ �
˜
F
ρ
−1� T ds (X) �
· nκ = J F
˜ ds (x) −1� T
· nκ
˜
· F −1 ·dx, (4.13)
ds (X)
. (4.14)
ds (x)
Vrov.(4.14)2 byl vyuˇzit jeˇstě vztah (I, 1.46). Kombinací (4.14) a (4.11) obdrˇzíme:
Tκ ˜
�
= JT· F −1�T , T =J −1 Tκ · F
˜
T . (4.15)
Tenzor napětí Tκ se označuje jako 1. Piola - Kirchhoff˚uv tenzor napětí. Vˇsimněte si, ˇze zatímco z
˜
Cauchyho tenzoru napětí lze okamˇzitě stanovitokamˇzit´y vektornapětí t, tent´yˇz vektornapětí lze
23

stanovit z 1. Piola- Kirchhoffova tenzoru napětí pouze tehdy, je-li znám také deformační gradient.
Vzhledem k nesymetrii tenzoru deformačního gradientu je nesymetrick´y i 1. Piola - Kirchhoff˚uv
tenzor napětí. Tato nesymetrie vymizí jedině pˇri infinitesimálních posuvech, kdy x ∼ = X, ρ ∼ = ρκ. ˜
Potom T ∼ = Tκ. V praxi se s 1. Piola-Kirchhoffov´ym tenzorem napětí projehonesymetriičasto
˜
nepracuje.
Namísto toho se pouˇzívásymetrick´y 2. Piola - Kirchhoff˚uv tenzor napětí, ke kterému dospějeme
následujícím zp˚usobem: v rovnici (4.9) jsme zatím zacházeli s vektorem měrného napětí t, resp. tκ ˜
jako s voln´ym vektorem bez specifikace konkrétního souˇradného systému. Uvaˇzme nyní vokamˇzité
konfiguraci v bodě x systém lokálních souˇradnic xi, i=1..3 a v referenční konfiguraci v kore-
spondujícím bodě X systém lokálních souˇradnic XI, I=1..3 pevněspojen´ysmateriálov´ym ele-
mentem. Podle části 1.5 souvisí tyto souˇradnice vztahem x = F · X. Symbolem tκ
˜
(XI) označíme
uspoˇrádanou trojici čísel reprezentující vektor měrného napětí tκ
˜
vsystému XI. ( V literatuˇre
se často pouˇzívá protκ
˜
(XI) termínfiktivní napětí.) Tent´yˇz vektorpopsan´yvsouˇradnicích xi
označíme jako tκ (xi) aplatí, viz rov. (I, 1.39),
˜
tκ ˜
(xi) =F · tκ (XI) . (4.16)
˜
Vrovnici(4.9)m˚uˇzeme pochopitelně porovnávat jen vektory vyjádˇrené vestejném souˇradném
systému. Pomocí (4.16) obdrˇzíme:
fc (p) =
�
∂pχ
˜
t (xi) ds (x) =
�
∂pκ ˜
F · tκ (Xi) ds (X) . (4.17)
˜
F · tκ (Xi) jetedyrovnoběˇzné s t, ale jeho velikost je modifikována lokální změnou elementární
˜
ploˇsky:
ds (x)
F · tκ (Xi) = t. (4.18)
˜ ds (X)
Podle fundamentálního Cauchyho lemmatu existuje tenzor � Tκ (X,t) takov´y, ˇze
˜
tκ ˜
(Xi) = � Tκ · nκ =
˜ ˜
ds (x)
Vyuˇzijeme-li v (4.19) opět (4.14), nakonec obdrˇzíme:
kde � Tκ ˜
�Tκ ˜
je 2. Piola-Kirchhoff˚uv tenzor napětí.
ds (X) F−1 · T · n. (4.19)
= JF −1 �
· T· F −1� T
, T =J −1 F· � Tκ · F
˜
T , (4.20)
Cvičení 9. Ukaˇzte, ˇze oba Piola-Kirchhoffovy tenzory napětí nejsou invariantní tenzory!
Cvičení 10. Vyjádˇrete r˚uzné tenzorynapětí pro jednorozměrnou napjatost, pˇri níˇz sevd˚usledku zatíˇzení
změní délka tyče kruhového pr˚uˇrezu z l0 na l. Vyuˇzijte rovnice (1.26), která pro rovnoměrnou deformaci pˇrechází
na ρ0πr 2 0l0 = ρπr 2 l!
Cvičení 11. Ukaˇzte, ˇze Cauchyho zákony (4.5) a (4.7) nab´yvají pro 1. Piola-Kirchhoff˚uv tenzor tvar
· F T � �T =
Div Tκ
˜
..
+ ρκb
= ρκ
˜ ˜
x, Tκ
˜
24
Tκ · F
˜
T
(4.21)

a pro 2. Piola-Kirchhoff˚uv tenzor tvar
Div F·�Tκ
˜
..
+ ρκb
= ρκ x, �Tκ
˜ ˜ ˜
= �T T κ ! (4.22)
˜
Cvičení 12. Ukaˇzte, ˇze Piola-Kirchhoffovy tenzory napětí aCauchyhotenzornapětí jsou pro malé posuvyse
zanedbatelnou chybou stejné!
Pozn. V pˇrípadě mal´ych posuv˚u se v literatuˇre zpravidla pouˇzívá prooznačení tenzoru napětí
symbol σ, resp. σij.
5 Ekvivalentní procesy
Zformálního hlediska lze pohyb χ ˜ tělesa a soustavu sil p˚usobících na těleso definovat jako tzv.
dynamick´y proces,jestliˇze jsou splněny Cauchyho zákony (4.5) a (4.7). Pro těleso s danou distribucí
hmotnosti pak rovnice (4.5) jednoznačně určuje hustotu objemov´ych sil b pro specifikované pole
napětí T apohybχ ˜ . Jsou samozˇrejmě pˇrípady, kdy je hustota objemov´ych sil pˇredem dána; zde
se vˇsak zajímáme o mnoˇzinu vˇsech moˇzn´ych pˇrípad˚u anenítudíˇz d˚uvod jakkoliv omezovat b.
� �
ˇRíkáme, ˇze dvojice funkcí χ, T
˜
definuje dynamick´y proces, kdyˇz χ je zobrazení tělesa B na
˜
jeho konfigurace v prostoru a kdyˇz T je spojité pole tenzoru napětí definované vkaˇzdém čase t na
konfiguraci Bχ. ˜
Pˇri změně vztaˇzné soustavy podle (1.5) se χ změní na χ∗ :
˜ ˜
x ∗ �
�
∗ ∗
≡χ (X, t )=c (t)+Q (t) ·
˜
χ (X, t) − x0
˜
. (5.1)
Pˇredpoklad (1.6) zajiˇst’uje, ˇze hustota objemov´ych sil a kontaktní síly jsou invariantní v˚uči změně
vztaˇzné soustavy. Protoˇze vektor vnějˇsí normály n je invariantní, plyne z Cauchyho lemmatu (3.4),
ˇze tenzor napětí je rovněˇz invariantní vzhledem ke změně vztaˇzné soustavy,tj. T ∗ = Q · T · Q T .
Dva dynamické procesy
�
χ∗ , T
˜
∗
�
a
� �
χ, T
˜
svázané v´yˇse uveden´ym zp˚usobem pˇredstavují t´yˇz
pohyb a tutéˇz soustavu kontaktních sil z hlediska dvou r˚uzn´ych pozorovatel˚u. Obecně seoznačují
jako ekvivalentní dynamické procesy.
6 Objektivní časové derivace tenzoru napětí
V mnoha úlohách mechaniky kontinua jsme nuceni pracovat s časov´ymi derivacemi rozličn´ych
veličin. Pˇritom se běˇzně stává, ˇze pˇrísluˇsná časová derivace, viz. část 1.6, není invariantní v˚uči
změně vztaˇzné soustavy. Z fyzikálního hlediska je vˇsak u celé ˇrady veličin nepˇrijatelné, aby jejich
hodnoty, resp. hodnoty jejich derivací závisely na volbě pozorovatele. Napˇr. časová derivace
Cauchyho tenzoru napětí T (X,t) není invariantní, jak se lze snadno pˇresvědčit. Jestliˇze bychom
formulovali fyzikální zákon svazující pohyb χ ˜ (X,t)konkrétního materiálového prostˇredí srychlostí
časové změny tenzoru napětí vyjádˇrené pomocíčasové derivace Cauchyho tenzoru napětí, pakby
25

zˇrejmě tentofyzikální zákon závisel na volbě pozorovatele. To není vˇsak pˇrípustné. Hledáme proto
takové definice časové derivace tenzoru napětí, které jsou invariantní v˚uči změně vztaˇzné soustavy.
Vliteratuˇre se pro tyto časové derivacepouˇzívá termín objektivní časové derivace.
Pˇri konstrukci objektivní časové derivacemusíme dbát na splnění těchto obecn´ych podmínek:
1. Derivace podle času dané tenzorové veličiny musí b´yt tenzorem stejného typu jako derivo-
vanáveličina.
2. Vztah pro objektivní časovou derivaci musí b´yt lineární a homogenní funkcí derivovaného
objektu a musí respektovat Leibnitz˚uv vzorec pro derivování součinu funkcí.
3. Definice objektivní časové derivacemusí b´yt jednoznačná.
4. Časová derivace tenzoru a časové derivace jeho invariant˚umusejí současně nab´yvat nulov´ych
hodnot.
5. Pokud se derivovan´y objekt nemění v čase (napˇr. tenzor napětí), pak pˇri pohybu tělesa
(resp. jeho části) jako tuhého celku musí b´yt časová derivace danéhoobjekturovnanule.
Uvedeme zde dva základní typy objektivní časové derivace Cauchyho tenzoru napětí, kterése
pouˇzívají vteoriikonečn´ych deformací těles. Omezíme se pouze na první derivace, i kdyˇz v´ysledky
lze snadno zobecnit na pˇrípad derivací vyˇsˇsích ˇrád˚u.
1. Konstitutivní časová derivace tenzoru napětí. Uvaˇzujme tenzor relativní rotace
Rt (τ) definovan´y v kapitole I. Zavedeme pomocn´y tenzor T ∗ t (τ) vztahem
Tenzor ◦
T (t) definovan´y podlerov.(6.2)
T ∗ t (τ) =Rt (τ) T · T (τ) · Rt (τ) . (6.1)
◦
T (t) = d �
Rt (τ)
dτ
T �
· T (τ) · Rt (τ)
τ =t
se naz´yvá tenzor konstituční rychlosti změny napětí. Po provedení derivování dostaneme
(6.2)
◦
T (t) = .
T −W · T + T · W, (6.3)
kde W je spin, viz kap. I.
2. Konvektivní časová derivace tenzoru napětí. Uvaˇzujme pomocn´y tenzor ∧
Tt (τ)
∧
Tt (τ) =Ft (τ) T · T (τ ) · Ft (τ) , (6.4)
kde Ft (τ) jerelativní deformační gradient. ∧
Tt (τ) seněkdy označuje jako tzv. konvektivní tenzor
napětí. Tenzor
�
T (t) = d �
Ft (τ)
dτ
T �
· T (τ) · Ft (τ)
τ=t
(6.5)
je pak tzv. konvektivní rychlost změny napětí, v literatuˇre naz´yvaná častěji jako Jaumannova
rychlost změny napětí. Po v´ypočtu derivace obdrˇzíme
�
T (t) = .
T +G T ·T + T · G, (6.6)
26

kde G je prostorov´y gradient rychlostí, vizkap.I.
Snadno se dokáˇze, ˇze obě uvedené časové derivace tenzoru napětí splňují podmínky pro ob-
jektivní časovou derivaci. Uvedené časové derivace tenzoru napětí umoˇzňují pˇrepsat konstituční
rovnice (viz níˇze) zapsané vmateriálovém popisu na ekvivalentní konstituční rovnice (definující
tent´yˇz materiál) zapsané vprostorovém popisu. Jin´ymi slovy, tyto časové derivacetenzorunapětí
dovolují zachovat úpln´y dualismus popisu materiál˚u.
7 Konstituční rovnice
Obecné principy mechaniky kontinua jsou platné provˇsechna tělesa pˇri jak´ychkoliv jejich
moˇzn´ych pohybech. Běˇznázkuˇsenost ukazuje, ˇze pro tělesa zhotovenázr˚uzn´ych materiál˚uobdrˇzíme
pˇri daném vnějˇsím silovém p˚usobení obecně r˚uznou odezvu (tj. pohyb χ ˜ (X,t) jednotliv´ych částic
tělesa). Rozmanitost materiál˚u vstupuje do mechaniky kontinua prostˇrednictvím konstitučních
rovnic. Konstituční rovnice udává relaci mezi silami a pohybem částic tělesa. Pro sestavení kon-
stitučních rovnic je nezbytné nejprve vytvoˇrit fyzikální model reálného tělesa, kter´y vystihuje pod-
statné rysyodezvytělesa a zanedbává ˇradu dalˇsích, v dan´ych podmínkách nepodstatn´ych charak-
teristik odezvy. Vytvoˇrení modelu mázákladní d˚uleˇzitost, protoˇze jím je vymezen pˇredem rozsah a
kvalita v´ysledk˚u, které m˚uˇzeme ˇreˇsením získat. Fyzikální model tělesa se obvykle naz´yvá ideálním
tělesem. Rozličné materiály m˚uˇzeme popisovat v rámci jednoho fyzikálního modelu, napˇr. ideální
pruˇzné těleso, pruˇzně-plastické těleso, vazkopruˇzné těleso, vazkopruˇzné-vazkoplastické těleso ap.
Materiály popisované vrámci stejného fyzikálního modelu tvoˇrí určitou tˇrídu materiál˚u, napˇr.
tˇrídu pruˇzn´ych těles ap. V mechanice kontinua se zajímáme pˇredevˇsím okontaktní síly, které jsou
specifikovány pomocí tenzoru napětí T. Konstituční rovnice ideálního tělesa bude tedy vyjadˇrovat
vztah mezi tenzorem napětí apohybemtělesa. Bez ohledu na typ fyzikálního modelu tělesa musejí
vˇsak konstituční rovnice splňovat jisté obecnéaxiomy. Uvedemenyní tyto axiomy tak, jak byly
zformulovány Nollem v jeho obecné teoriikonstitučních rovnic.
1. Princip determinismu. Napětí vmístě částice X tělesa B je v čase t determinováno
historií χtpohybu tělesa B aˇz dočasu t:
˜
� �
T (X, t) =� χt ; X, t
˜
. (7.1)
� je funkcionál v nejobecnějˇsím slova smyslu, tedy jisté pravidlo korespondence, které zajiˇst’uje, ˇze
pohyb tělesa aˇz dočasu t včetně jednoznačně determinuje tenzor napětí T vkaˇzdém bodě tělesa a
to zp˚usobem, kter´y obecně závisí na X a t. Funkcionál � se naz´yvá konstituční funkcionál arov.
(7.1) je konstituční rovnice. Vˇsimněte si, ˇze minulost obecně ovlivňuje okamˇzité napětí, avˇsak
minulost a budoucnost nelze v rovnicích vzájemně zaměňovat. Tím se vyvrací hojně rozˇsíˇren´y
pˇredsudek, ˇze mechanika zkoumá pouzejevy,kteréjsoureversibilní (vratné) včase.
2. Princip lokálního účinku. Princip determinismu obecně pˇripouˇstí, ˇze pohyb částice Z,
která leˇzí vlibovolněvelkévzdálenosti od částice X, m˚uˇze b´yt ovlivněn napětím vmístě částice X.
27

Takové interakce na dálku lze vyloučit jako vlastnost materiálu a to pˇrirozen´ym zp˚usobem pomocí
pojmu kontaktní síly. Princip lokálního účinku ˇríká, ˇze pohyb částic v konečné vzdálenosti od
částice X není tˇreba uvaˇzovat pˇri stanovení napětí v X. (Z pˇredpokladu o spojitosti χ ˜ (X,t)plyne,
ˇze částice, které napočátku leˇzely v konečné vzdálenosti, leˇzí vkonečné vzdálenosti v kterémkoliv
dalˇsím okamˇziku.) Formálně lze zapsat uveden´y principtakto:
t (Z,s)=χ ˜
označme �χ
˜
kde O (X) jeokolíčástice X. Pak platí
t
(Z, s) kdyˇzs≥0aZ ∈ O (X) , (7.2)
� � � �
�
t �χ ; X, t
˜
= � χt ; X, t
˜
. (7.3)
3. Princip invariantnosti. Tento princip stanoví invariantnost materiálov´ych vlastností v˚uči
změněvztaˇzné soustavy. Jelikoˇzkonstituční rovnice jsou matematick´ym vyjádˇrenímmateriálov´ych
vlastností, poˇzaduje se invariantnost konstitučních rovnic vzhledem k transformaci (1.5). Jestliˇze
�
χ∗ , T
˜
∗
� � �
a χ, T jsou dva ekvivalentní procesy a pokud platí (7.1), potom splnění podmínky
˜
invariantnosti konstitučního funkcionálu poˇzaduje:
T (X, t ∗ ) ∗ = �
��
χt ˜
∗
�∗ ; X, t∗ �
. (7.4)
Podobně jako princip lokálního účinku také princip invariantnosti klade omezení na funkcionály
� vystupující vkonstitučních rovnicích.
Poznámka 1. Dalˇsí omezení na formální tvar konstitučních rovnic klade termodynamika. Tato omezení budou
probrána samostatně v kapitole III.
8 Jednoduché materiály
Pohyb χ ˜ se naz´yvá homogenní vzhledem ke konfiguraci κ ˜ , jestliˇze platí
x = χ (X, t) =F (t) · (X − X0)+x0 (t) , (8.1)
˜ κ
˜
kde x0 (t) je poloha určitého bodu, kterou zaujímá bodX0referenční konfigurace κ v čase t a F (t)
˜
je deformační gradient nezávisející na X. Pohyb je homogenní tehdy a jen tehdy, kdyˇz pˇrevádí
libovolnou pˇrímku v čase0napˇrímku v čase t. Pohyb, kter´y je homogenní vzhledem k jedné
referenční konfiguraci, nemusí b´yt obecně homogenní v˚uči jiné referenční konfiguraci.
Pˇri experimentálním získávání materiálov´ych dat se pˇredpokládá, ˇze vˇsechny informace o ma-
teriálu je moˇzné obdrˇzet pomocí experiment˚u, ve kter´ych zkoumané těleso prodělává homogenní
pohyb z některého v´ychozího stavu. Materiály, které vyhovují těmto pˇredpoklad˚um, se označují
jako jednoduché materiály. Materiál se naz´yvá jednoduch´y, jestliˇze existuje referenční konfigurace
κ ˜ taková, ˇze
� � �
T (X, t) =� χt ; X, t = �κ F
˜
˜
t �
(X,s);X , (8.2)
28

kde �κ je tzv. odezvov´y funkcionál . Z rovnice (8.2) plyne, ˇze napětí vboděxobsazen´ym částicí X
˜
v čase t závisí na historii pohybu χt pouze prostˇrednictvím historiejehodeformačního gradientu
˜
počítaného vzhledem k některé pevnězvolenéreferenční konfiguraci. To znamená, ˇze vˇsechny
pohyby se stejnou historií deformačního gradientu vedou ke stejnému napětí vmístě částice X. U
homogenního pohybu není těˇzké dosáhnout libovolné poˇzadované historiedeformačního gradientu.
Principiálně jetakmoˇzné stanovitpˇri experimentech vyuˇzívajících homogenní pohyb zkoumaného
tělesa jakoukoliv materiálovou vlastnost popisovanou p˚uvodním konstitučním funkcionálem �.
V kapitole I. jsme obdrˇzeli d˚uleˇzit´y vzorec(1.43)
F1 = F2 · P,
spojující gradienty vyjádˇrené ve dvou referenčních konfiguracích κ a κ . Z rovnice (8.2) plyne
˜ 1 ˜ 2
�
T = �κ F
˜1
t � �
1 = �κ F
˜1
t �
2 · P . (8.3)
Protoˇze P je gradient transformace z κ do κ ajetudíˇz konstantnívčase, vypl´yvá zpravé
˜ 1 ˜ 2
strany rov. (8.3), ˇze T je funkcionál historie Ft 2 deformačního gradientu vyjádˇreného vzhledem ke
konfiguraci κ . Napíˇseme-li v rov.(8.2) κ
˜ 2
˜ 1
�κ ˜2
vidíme, ˇze rov. (8.2) stále platí, ikdyˇz volíme κ ˜ 2
místo κ ˜ aoznačíme-li
�
F t�
�
= �κ F
˜1
t �
· P , (8.4)
jako referenční konfiguraci. Sledujeme-li tedy
jednoduché materiály, nemusíme uvádět konkrétní referenční konfiguraci a m˚uˇzeme vynechávat
index κ ˜ u �. Musíme si b´yt ale vědomi toho, ˇze pro dan´y jednoduch´y materiál s konstitučním
funkcionálem � existuje nekonečně mnoho r˚uzn´ych odezvov´ych funkcionál˚u �κ , jeden pro kaˇzd´y
˜
v´yběr referenční konfigurace κ .
˜
Jednoduché materiály automaticky splňují principy determinismu a lokálního účinku. Princip
invariantosti je nutné splnit vhodnou volbou odezvového funkcionálu.
Teorie jednoduch´ych materiál˚u zahrnujevˇsechny obyčejné teorie kontinua studované vtech-
nick´ych vědách, fyzice a aplikované matematice. Napˇr. pruˇzn´y materiál je definován jako speciální
pˇrípad, kdyˇz funkcionál � se stává obyčejnou funkcí H okamˇzité hodnotydeformačního gradientu:
T = H (F, X) . (8.5)
Lineárně vazkémateriály jsou definovány trochu sloˇzitějˇsím zp˚usobem, kdy funkcionál � je funkcí
F (X,t) a .
F (X,t) lineární v .
F:
T (X, t) =K (F, X) ·
.
F= � K (F, X) · G, (8.6)
kde druh´y tvar plyne z rov. (I, 1.70). Boltzmannova kumulativní teorie lineárních vazk´ych ma-
teriál˚u se obdrˇzí z(8.2),jestliˇze � je časov´ym integrálem z F t (X,s) . Vˇsimněme si krátce jeˇstě pruˇzn´ych
materiál˚u. Kroměrovnice(8.5)sezpravidlajeˇstěpˇredpokládáexistencedeformační energie U, která
29

je jednoznačnou funkcí deformačního gradientu u = u(F). Časová derivacedeformační energie je
pak dána v´ykonem vnitˇrních sil , viz (4.8). Označíme-li pomocí u deformační energii vztaˇzenou
na jednotku objemu v referenční konfiguraci, dostaneme
⎛
�
⎜
⎝
⎞.
�
⎟
udv⎟
⎠ =
�
T : Ddv = T :DJdv (8.7)
resp. v lokálním tvaru
pκ
˜
1
J
pχ
˜
.
u= ρ
ρκ
˜
pκ
˜
.
u= T :D. (8.8)
Jin´ymi slovy, veˇsker´y v´ykon vnitˇrních sil se projeví časovou změnou deformační energie, tj. ne-
dochází kpˇreměně v´ykonu vnitˇrních sil v teplo, resp. ke spotˇrebě pˇri r˚uzn´ych mikrostrukturních
změnách materiálu.
Z principu invariantnosti plyne
u (F) =u (Q · F) =u (Q · R · U) . (8.9)
V rov. (8.9)2 byl uplatněn polární rozklad deformačního gradientu. Vzhledem k tomu, ˇze orto-
gonální tenzor Q zrov.(5.1)jelibovoln´y, m˚uˇzeme zvolit Q = RT a obdrˇzíme
�
u (F) =u RT �
·R · U = u (U) . (8.10)
Vzhledem k tomu, ˇze U 2 = C = 2E + I, m˚uˇzeme deformační energii psát také jako funkci Cauchy-
Greenova tenzoru pˇretvoˇrení C nebo Lagrangeova tenzoru pˇretvoˇrení E L , tj.
Pro časovou derivaci deformační energie m˚uˇzeme psát
.
u = ∂u
∂CIJ
u=u(C), nebo u=u(E). (8.11)
.
CIJ, kde (8.12)
.
CIJ = (xi,Ixi,J) · = . xi,I xi,J + xi,I
Kombinací (8.8) a (8.12) obdrˇzíme
⎡
⎣Tij − ρ
ρκ ˜
(xj,Ixi,J + xi,Ixj,J) ∂u
.
xi,J= . xi,j xj,Ixi,J + xi,I
∂CIJ
odkud plyne pro sloˇzky Cauchyho tenzoru Tij napětí vztah
Tij =2 ρ
∂u
xi,Ixj,J
ρκ ∂CIJ
˜
.
xi,j xj,J.
⎤
⎦ . xi,j= 0, (8.13)
, (8.14)
resp. v tenzorovém zápisu
T = 2 ∂u
F · · FT
J ∂C
Zavedeme-li 2. Piola-Kirchoff˚uv tenzor napětí podle (4.20), m˚uˇzeme nakonec psát
�Tκ ˜
=2 ∂u
∂C , resp. � Tκ ˜
30
(8.15)
= ∂u
. (8.16)
∂EL

Rov. (8.16) vyjadˇruje, ˇze 2. Piola-Kirchoff˚uv tenzor napětí má potenciál (v analogii napˇr. s
gravitačním potenciálem, kdy se gravitační síla vyjadˇruje pomocí derivace tohoto potenciálu po-
dle souˇradnic), kter´ym je deformační energie. Elastické materiály s touto vlastností se naz´yvají
hyperelastické.
31