Dynamika kontinua

More documents

Recommendations

Info

Obr. 2.2 Část p tvaru elementárního čtyˇrstěnu 4 Cauchyho zákony mechaniky kontinua Vd˚usledku Cauchyho lemmatu m˚uˇzeme psát Eulerovy zákony (2.2) pro kontinuum, kteréjepo- drobené jednoduchým měrným napětím aexterním objemovým silám, v následujícím významném tvaru: p ⎛ � ⎝ p . ⎞ . x dm⎠ ⎛ � ⎝ (x − x0) × . ⎞ x dm⎠ . = = � ∂pχ ˜ � ∂pχ ˜ � T · nds + pχ ˜ � (x − x0) × T · nds + bdm, (4.1) pχ ˜ (x − x0) × bdm, pro kaˇzdou část p kaˇzdého tělesa B. Index je záměrně vynechán na levé straněup vintegrační mezi, aby se zd˚uraznilo, ˇze časová derivacesepočítá propevnoučást tělesa p anepropevnou část prostoru. Rovnice (4.1) mají tvar, který se obecně označuje jako bilanční rovnice pro tenzorové poleΨ: ∼ ⎛ � ⎞. � � � � � � ⎝ Ψ (x,t) dm⎠ ∼ = E Ψ (x,t) ∼ · nds + s Ψ (x,t) ∼ dm. (4.2) p � � E Ψ ∼ je tenzor o 1 ˇrád vyˇsˇsí neˇz Ψ anazývá sevýtok veličiny Ψ,s ∼ ˜ ∂pχ ˜ pχ ˜ � � Ψ ∼ je tzv. zdroj veličiny Ψ . Bilanční rovnice vyjadˇruje rychlost r˚ustu ∼ � � � Ψ dm jako součet dvou pˇríspěvk˚u: toku −E Ψ p ∼ ∼ � � dovnitˇr oblastipχ ˜ pˇres její hranici ∂pχ ˜ azdrojesΨ ∼ uvnitˇr této oblasti. Rovnice typu (4.2) se často objevuje v matematické fyzice. Je-li tenzorové poleΨ(X,t) prvkemtˇrídy C ∼ (1) � � pχ ˜ ∩ C (2) � � ,pakjevˇzdy bilanční rovnice (4.2) ekvivalentní sodpovídající diferenciální rovnicí. pχ ˜ 21
Cvičení 5. Ukaˇzte, ˇze ⎛ � ⎝ p Ψ ∼ ⎞. � (x,t) dm⎠ = pχ ˜ . Ψ (x,t) dm, (4.3) ∼ kde . Ψ je časová derivaceΨvreferenčním popisu podle rovnice (I, 1.51). Dokaˇzte, ˇze bilanční rovnice (4.2) platí pro ∼ ∼ kaˇzdou část p tělesa B, jestliˇze v kaˇzdém vnitˇrním bodětělesa B je splněna rovnice jako d˚usledek divergenčního teorému! ρ . Ψ=divE ∼ � Ψ ∼ � + ρs � Ψ ∼ � , (4.4) Je zˇrejmé, ˇze rovnice (4.4) obecně neplatívbodechhranice∂Bχnebo v bodech, ve kterých � � � � ˜ . pole ρ, Ψ, E Ψ a s Ψ nejsou dostatečně spojitá. Pokud budeme aplikovat (4.4) na (4.1)1, ∼ ∼ ∼ zjistíme, ˇze 1. Euler˚uv zákon platí pro kaˇzdou část p tělesa B, jestliˇze v kaˇzdém vnitˇrním bodě tělesa B je splněna rovnice ρ .. x= divT + ρb. (4.5) Rovnice (4.5) vyjadˇruje Cauchyho první zákon mechaniky kontinua. Pˇri aplikaci (4.4) k rovnici (4.1)2 nejprve zavedeme tenzor M tak, ˇze platí (x − x0) × T · n = M · n. Obdrˇzíme ρ (x − x0) × .. x = divM + ρ (x − x0) × b (4.6) = T T − T+(x − x0) × div T+ρ (x − x0) × b, kde (4.6)2 plyne z jednoduché identity. Uváˇzíme-li (4.5) v (4.6), zjistíme, ˇze tenzor napětí T je symetrický T = T T . (4.7) Rovnice (4.7) vyjadˇruje Cauchyho druhý zákon mechaniky kontinua a tenzor napětí T se v liter- atuˇre označuje jako Cauchyho tenzor napětí. Cvičení 6. Odvod’te (4.6)2! Cvičení 7. Ukaˇzte, ˇze Cauchyho tenzor napětí je invariantní tenzor! Zpˇredchozího výkladu vyplývá, ˇze Eulerovy zákony jsou ekvivalentní sCauchyhozákony, pokud funkce χ, b, ρ, ˜ .. x a T jsou dostatečněspojité. Cauchyho první zákon popisuje lokální silovou dynamickou rovnováhu. Cauchyho druhý zákon plyne z lokální dynamické momentovérovnováhy, ovˇsem za pˇredpokladu, ˇze je splněn první zákon. Cauchyho tenzor napětí se vztahuje k okamˇzité síle a k okamˇzité geometrickékonfiguraci tělesa, jak je vidět ze vztah˚u (1.2) a (3.4). Cauchyho tenzor napětí proto pˇridruˇzujeme k Almansiho tenzoru pˇretvoˇrení E A ,nebot’tensetéˇz vztahuje kokamˇzité konfiguraci tělesa, viz rov. (I, 1.79). Pojem pˇridruˇzení lze chápat ve smyslu výrazu T : dE A , který máfyzikální význam elementární práce v jednotce objemu okamˇzité konfigurace tělesa. Dá seˇríci, ˇze Cauchyho tenzor napětí odpovídá skutečným napětím vtělese a pro malé posuvy a malá pˇretvoˇrení vychází se zanedbatelnou chybou stejný jako tenzor tzv. inˇzenýrského napětí. Pomocí Cauchyho zákon˚u lzeodvoditdalˇsí speciální typ bilanční rovnice, která svazuje 22
Page 1 and 2: II. ZÁKLADY DYNAMIKY V MECHANICE K
Page 3: 3 Euler-Cauchyho princip napětí F
Page 7 and 8: stanovit z 1. Piola- Kirchhoffova t
Page 9 and 10: zˇrejmě tentofyzikální zákon z
Page 11 and 12: Takové interakce na dálku lze vyl
Page 13 and 14: je jednoznačnou funkcí deformačn

Dynamika kontinua

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?