Deskriptivn´ı geometrie 1

2.3. KontrolnÍ otázky 12Obrázek 2.2: Obrázek 2.3:Definice 2.2 Všechny navzájem rovnoběžné roviny v prostoru mají společnou právě jednupřímku, kterou nazýváme nevlastní přímkou - obr. 2.3.Definice 2.3Nevlastní rovina je množina všech nevlastních bodů a nevlastních přímek.Nevlastní útvary označujeme stejně jako vlastní, pouze připojujeme index ∞. Tedy např.A ∞ je nevlastní bod, p ∞ je nevlastní přímka apod.Euklidovský prostor obsahuje pouze vlastní útvary. Jestliže k němu přidáme právě zavedenénevlastní body, přímky a roviny, dostaneme nový prostor, který nazýváme projektivněrozšířený euklidovský prostor (nebo zkráceně rozšířený euklidovský prostor).V rozšířeném euklidovském prostoru platí pro vlastní útvary všechny axiomy a věty, kteréplatily v euklidovském prostoru. Pro nevlastní útvary musíme předpokládat platnost dalšíchtvrzení o incidenci vlastních a nevlastních útvarů:• Na každé vlastní přímce leží právě jeden nevlastní bod.• V každé vlastní rovině leží právě jedna nevlastní přímka.• Nevlastní body všech vlastních přímek jedné roviny leží na nevlastní přímce této roviny.Poznámka 2.1 Nevlastní bod na vlastní přímce značíme A ∞ a někdy připojujeme k příslušnépřímce šipku, což ale nesmí vést k domněnce, že na vlastní přímce existují dva různé nevlastníbody. Vlastní přímka má jediný nevlastní bod, nebot’ patří jednomu systému navzájem rovnoběžnýchpřímek. Dvě rovnoběžné přímky mají jeden společný nevlastní bod.2.3 Kontrolní otázky2.1 Definujte nevlastní bod přímky.2.2 Kolik nevlastních bodů leží na jedné přímce (rozlište přímku vlastní a nevlastní)?2.3 Je pravdivé tvrzení, že v rozšířené euklidovské rovině mají dvě různé přímky právě jedenspolečný bod? Je toto trvzení pravdivé i pro rozšířený euklidovský prostor?