Deskriptivn´ı geometrie 1

5.5. Středová kolineace 36Příklad 5.2 Středová kolineace v rovině je určena středem S, osou o a párem odpovídajícíchsi bodů A, A ′ - obr. 5.7. Sestrojíme úběžnici obrazů.Řešení: (obr. 5.8)1. Zvolíme libovolný bod V ∞ na nevlastní přímce.2. Najdeme obraz V ′ nevlastního bodu V ∞ (bod V ′ je vlastní).3. Bod V ′ leží na úběžnici obrazů v ′ a ta je rovnoběžná s osou o.4. Podobně lze sestrojit úběžnici vzorů. Úběžnice vzorů je rovnoběžná s osou o a procházívzorem bodu U ∞ ′ (bod U ∞ ′ je libovolný bod nevlastní přímky).Obrázek 5.7: Obrázek 5.8:Příklad 5.3 Středová kolineace v rovině je určena středem S, osou o a párem odpovídajícíchsi přímek p, p ′ - obr. 5.9. Sestrojíme obě úběžnice.Řešení: (obr. 5.10)1. Označíme V ∞ nevlastní bod přímky p.2. Najdeme obraz V ′ nevlastního bodu V ∞ (V ′ ∈ p ′ ) a sestrojíme úběžnici obrazů v ′ (v ′ ‖o, V ′ ∈ v ′ ).3. Dále označíme bod U ′ ∞ nevlastní bod přímky p ′ .4. Najdeme vzor U nevlastního bodu U ′ ∞ (U ∈ p) a sestrojíme úběžnici vzorů v (v ‖ o, U ∈u).□Ve středové kolineaci v rovině je vzdálenost středu od jedné úběžnice rovna vzdálenostidruhé úběžnice od osy kolineace. Podíváme-li se znovu na obrázek 5.10, pak toto tvrzení plynez rovnoběžníka SUMV ′ .Středová kolineace v rovině se nazývá involutorní, když pro všechny body X, Y platí:jestliže X = Y ′ , pak Y = X ′ . V involutorní kolineaci úběžnice splývají a půlí vzdálenost středukolineace od osy.Necht’ body A, A ′ si odpovídají ve středové kolineaci, bod Ā je průsečík přímky AA′ s osou′ (A′ AĀ)o. Pak dvojpoměr (A AĀS) = je konstantní pro všechny páry odpovídajících si bodů.(A ′ AS)′Číslo k = (A AĀS) se nazývá charakteristika středové kolineace, charakteristika involutorníkolineace je k = −1.□