Kapitel 6 Graphentheorie

Eulersche Graphen (2)
Beweis: Die eine Richtung ist bereits gegeben. Für die andere skizzieren wir
einen algorithmischen Beweis. Man wählt einen Knoten v1 beliebig.
Ausgehend von v1 durchläuft man Kanten in beliebiger Reihenfolge – mit der
Einschränkung, dass man keine Kante mehr als einmal benutzt. Zu jedem
Knoten = v1, den wir auf unserem Weg betreten, gibt es mindestens eine
bisher unbenutzte Kante, über die wir ihn wieder verlassen können. Der so
konstruierte Weg W1 muss daher irgendwann wieder in v1 enden. Es könnte
allerdings sein, dass wir dann noch nicht alle Knoten durchlaufen haben. Da
der Graph zusammenhängend ist, muss es in diesem Fall aber mindestens
einen Knoten v2 in W1 geben, von dem eine noch nicht benutzte Kante
ausgeht. In diesem Knoten starten wir den obigen Prozess erneut. Wir finden
dann einen anderen Weg W2, der in v2 beginnt und endet. Die beiden Wege
W1 und W2 können wir jetzt zu einem neuen Weg verschmelzen, indem wir
erst in W1 das Teilstück von v1 zu v2 durchlaufen, dann nach W2
überschwenken, diesen Weg komplett durchlaufen, und nach Rückkehr zu v2
das verbliebene Teilstück von W1 durchlaufen. Enthält der so gefundene Weg
noch immer nicht alle Knoten, wählen wir analog zu v2 einen Knoten v3 und
wiederholen obiges Verfahren solange, bis der Weg alle Knoten enthält.
Kapitel 6 “Graphentheorie” – p. 11/56