Kapitel 6 Graphentheorie

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Planare Graphen (5) Theorem: Für jeden planaren Graphen G = (V, E) mit |V | ≥ 3 Knoten gilt: |E| ≤ 3|V | − 6 Beweis: Seien R die durch die Einbettung von G entstehenden Gebiete. Jedes Gebiet wird on mindestens 3 Kanten begrenzt und jede Kante begrenzt höchstens zwei Gebiete. Daraus folgt, dass 3|R| ≤ 2|E|. Und zusammen mit der eulerschen Formel erhalten wir: woaus das gewünschte Resultat folgt. 2 |E| ≥ |R| = |E| − |V | + 2 3 Beispiel: K5 ist nicht planar (|V | = 5, |E| = 5 2 = 10) Beispiel: Mit dem obigen Satz können wir nicht zeigen, dass K3,3 (|V | = 6, |E| = 9) nicht planar ist. Dafür wird eine strengere Schranke für die Anzahl Kanten eines planaren Graphen benötigt. Kapitel 6 “Graphentheorie” – p. 34/56
Planare Graphen (6) Definition: Ein Graph G1 wird Minor des Graphen G2 genannt, falls G1 isomorph zu einem durch Knotenverschmelzung entstandenen Untergraphen von G2 ist. Knotenverschmelzung bedeutet hier, dass zwei benachbarte Knoten v1 und v2 unter Entfernung einer diese beiden Knoten verbindenden Kante zu einem Knoten v12 verschmolzen werden, wobei alle restlichen Kanten beibehalten werden. Beispiel: Der rechte Graph ist jeweils ein Minor des linken Graphen Kapitel 6 “Graphentheorie” – p. 35/56
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