Kapitel 6 Graphentheorie
Kapitel 6 Graphentheorie
Kapitel 6 Graphentheorie
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Planare Graphen (4)<br />
Ebene Darstellungen planarer Graphen sind i.A. nicht eindeutig. Allerdings gelten gewisse<br />
Invarianzen. Beispielsweise ist in jeder beliebigen ebenen Darstellung die Anzahl der Gebiete<br />
(das äussere Gebiet zählt man mit) konstant.<br />
Theorem: (Eulersche Polyederformel) Sei G = (V, E) ein zusammenhängender Graph.<br />
Dann gilt:<br />
#Gebiete = |E| − |V | + 2<br />
Beweis: Durch Induktion über Anzahl der Knoten. Der Fall mit einem Knoten ist trivial. Für<br />
einen Graphen Gn = (Vn, En) mit n Knoten wählen wir einen beliebigen Knoten vn aus Vn:<br />
Gn = (Vn, En) = (Vn−1 ∪ {vn}, En−1 ∪ E ∗ )<br />
wobei Vn−1 = Vn\{vn}, E ∗ die von vn ausgehenden Kanten und En−1 die restlichen<br />
Kanten enthält. Jede beliebige ebene Darstellung von Gn beinhaltet eine ebene Darstellung<br />
von Gn−1 plus vn und E ∗ , wobei das Letztere deg(vn) − 1 zusätzliche Gebiete<br />
hervorbringt. Somit gilt:<br />
#Gebiete(Gn) = #Gebiete(Gn−1) + deg(vn) − 1<br />
= (|En−1| − |Vn−1| + 2) + |E ∗ | − 1<br />
= |En| − |Vn| + 2<br />
<strong>Kapitel</strong> 6 “<strong>Graphentheorie</strong>” – p. 33/56
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