Kapitel 6 Graphentheorie

Färben von Graphen (2)
Theorem: Ein Graph ist genau dann bipartit, wenn die chromatische Zahl 2
ist.
Bipartiter Graph mit Knotenteilmengen A und B schreibt man mit (A ⊎B, E).
Theorem: Ein zusammenhängender Graph G = (V, E) ist genau dann
bipartit, wenn er keinen Kreis ungerader Länge als Teilgraphen enthält.
Beweis: Die eine Richtung folgt daraus, dass ungerade Kreise chromatische
Zahl 3 haben, sie können daher in einem bipartiten Graphen nicht enthalten
sein. Um die andere Richtung zu zeigen wählen wir einen beliebigen Knoten v
aus. Alle Knoten, die einen geraden Abstand mit v haben (einschliesslich v
selbst mit Abstand 0), werden mit 1 und alle anderen Knoten mit 2 gefärbt.
Da keine Kreise ungerader Länge existieren, ist diese Färbung zulässig.
Definition: Der Abstand zwischen zwei Knoten u und v ist die minimale
Anzahl von aufeinander folgenden Kanten, um von u aus v zu erreichen.
Kapitel 6 “Graphentheorie” – p. 39/56