Stetige Verteilungsfamilien

Stetige Gleichverteilung
Stetige Verteilungsfamilien
Stetige Verteilungsfamilien
Zur Beschreibung von Zufallsvorgängen, deren Werte gleichmäßig über einem
Intervall [a,b] verteilt sein sollen, verwendet man die
Stetige Gleichverteilung
Eine stetige Zufallsvariable heißt gleichverteilt auf dem Intervall [a, b],
wenn sie die Dichte
besitzt.
f
( ) ⎪⎧ ⎪
( x)
= ⎨
⎪⎩
1
,
b − a
0,
a ≤ x ≤ b ,
sonst
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 171

Stetige Verteilungsfamilien
Bezeichnungsweise:
Zur verkürzten Bezeichnung von Funktionen, die auf gewissen Intervallen
unterschiedlich definiert sind, verwendet man die Indikatorfunktion. J sei ein
Intervall, z.B. J=[a,b], dann gilt
I J
( ) ⎨ ⎧ 1,
wenn x ∈ J,
( x)
= ⎨
⎩ ⎧ 1,
wenn x ∈ J,
x =
0,
sonst.
Wie in der Definition der Indikatorfunktion haben wir solche Funktionen bisher
mit Hilfe von Fallunterscheidungen definiert. Die Dichtefunktion der stetigen
Gleichverteilung auf [a,b] ist dann
1
b − a
( x)
= I ( x).
f [ a,
b]
Bei mehr als zwei Bedingungen kann man auch mehrere Indikatorfunktionen
verwenden:
⎧ - 2, wenn x < -1,
⎪
g(
x)
= −2
⋅ I(
−∞,
−1)
( x)
+ 2x
⋅ I[
−1,
1]
( x)
+ 2⋅
I(
1,
∞)
( x)
= ⎨2x,
wenn -1
≤ x ≤1,
⎪
⎩ 2,
wenn
x > 1.
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 172

Verteilungsfunktion der stetigen Gleichverteilung: Fallunterscheidung
( ) ( ) .
x
∫ f
−∞
∫−∞ x
t dt = 0 dt = 0
−∞
x 1
∫ a,b
−∞
b − a
x 1 x −
dt = ∫ dt =
a b − a b −
x
∫−∞ f
b
t dt = ∫ f
−∞
x
t dt + ∫ f
b
t dt = F(
b)
+
x
0
b
Stetige Verteilungsfamilien
x < a : F x = ∫
a ≤ x ≤ b : F(
x)
=
x
f ( t)
dt =
−
I[
]( t)
a
,
a
x > b : F x =
∫ dt = 1
( ) ( ) ( ) ( ) .
x − a
b − a
( x)
I[
]( x)
+ I(
)( x)
F = a, b b,
∞
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Erwartungswert der stetigen Gleichverteilung:
∞
∞ 1
1
E(
X ) = ∫ x ⋅ f ( x)
dx = x ⋅ I[
a,
b]
( x)
dx = ⋅
−∞
∫−∞
b − a
b − a ∫
=
1 1
⋅ x
− a 2
b
2
b a
2 2
b − a a + b
= = .
2(
b − a)
2
Varianz der stetigen Gleichverteilung:
E
Var
∞
∞
2
2
2 1
( X ) x ⋅ f ( x)
dx = x ⋅ I ( x)
1
= ∫
[ a,
b]
dx = ⋅
−∞
∫−∞
b − a
b − a ∫
b
3 3 2
2
1 1 3 b − a a + ab + b
= ⋅ x = =
.
b − a 3 a 3(
b − a)
3
2
2
2
2 a + ab + b ( a + b)
= E(
X ) − ( E(
X )) =
−
3 4
( X ) = .
a + b
E(
X ) =
,
2
Var
( b − a)
12
( X ) = .
Stetige Verteilungsfamilien
a
a
b
b
( b − a)
12
x dx
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2
2
x
2
2
dx

Stetige Verteilungsfamilien
Beispiel: Wartezeit an einer Bushaltestelle. (aus Schira)
Zwischen Mitternacht und sechs Uhr morgens kommt der Bus gemäß Fahrplan alle
halbe Stunde. Ein Fahrgast treffe ohne Kenntnis des Fahrplans zufällig an der
Bushaltestelle ein.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens 10 Minuten warten muss?
Wie groß ist der Erwartungswert und die Varianz der Wartezeit T?
Gehen Sie davon aus, dass T über die Periode 0≤t≤30 (in Minuten) stetig
gleichverteilt ist.
Lösung: Es gilt mit a=0 und b=30
10 − 0 2
( > 10)
= 1−
( ≤10)
= 1−
T
=
30 − 0 3
F
T P
T P
0 + 30
E(
T ) = = 15 und Var(
T ) =
2
( 10)
= 1−
.
( 30 − 0)
12
900
12
Die Wahrscheinlichkeit, mehr als 10 Minuten warten zu müssen, beträgt 0.667; die
mittlere Wartezeit 15 Minuten.
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 175
2
=
=
75.

Exponentialverteilung
Exponentialverteilung
Stetige Verteilungsfamilien
Zur Beschreibung von Lebensdauern und Wartezeiten verwendet man häufig
Verteilungen, die beliebige positive Werte annehmen können.
Eine stetige Zufallsvariable heißt exponentialverteilt mit dem Parameter λ > 0,
kurz X ~ Exp(λ), wenn sie die Dichte
( ) ⎨
⎩ ⎧ λ e
f x =
0,
−λx
besitzt. Alternativ lässt sich f(x) schreiben als
f
,
x
x
≥
<
0,
0,
−λx
( x)
= λ e I[
)( x).
0,
∞
Exponentialverteilte Zufallsvariablen nehmen positive Werte an und eignen sich
deshalb zur Beschreibung von Lebensdauern und Wartezeiten.
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 176

Dichten der Exponentialverteilung
Stetige Verteilungsfamilien
Bemerkungen:
• Die Dichten sind (linkssteil)
rechtsschief.
• Kleine Realisierungen sind
„wahrscheinlicher“ als große
Realisierungen.
• Umso größer λ wird, umso
schneller fällt die Dichte ab
und ist konzentrierter um 0.
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 177

Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung
x
x
( ) ( ) .
x < 0 : F x = ∫−∞ f t dt = ∫ 0 dt = 0
−∞
x
x ≥ 0 : F(
x)
= ∫
x
−λt
f ( t)
dt = ∫ λ ⋅e
I[
0,
∞)
dt = λ ⋅∫
F
−∞
1
= λ ⋅ e
− λ
−λt
−λx
( x)
= 1−
e ) I ( x).
( [ 0,
∞)
Ähnliche, aber analytisch
anspruchsvollere Rechnungen
liefern
1
1
E(
X ) = , Var X 2
λ
λ
x
0
=
( ) = .
−∞
−
−λx
0
−λx
( e − e ) = 1−
e .
0
x
e
Stetige Verteilungsfamilien
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 178
−λt
dt

Stetige Verteilungsfamilien
Beispiel: Lebensdauer von Glühbirnen. (aus Schira)
Nach den Angaben des Herstellers beträgt die mittlere Lebensdauer seiner 100-
Watt-Glühbirnen 5000 Stunden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne
a) weniger als halb so lange oder
b) mehr als doppelt so lange brennt?
Die Lebensdauer X einer Glühbirne sei hierbei exponentialverteilt.
Lösung: Da E(X)=1/λ und die mittlere Lebensdauer 5000 (in Stunden) betragen
soll, berechnen wir aus 1/λ=E(X)=5000 den Wert λ=1/5000.
a)
b)
P(
X
P(
X
<
2500)
= P(
X
≤
2500)
=
F
( 2500)
⎛
> 10000)
= 1−
F(
10000)
= 1−
⎜
1−
e
⎝
= 1−
e
10000 ⎛ −
5000
2500
−
5000
⎞
⎟
= e
⎠
= 1−
e
−0.
5
0.
1353.
=
0.
3935.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne weniger als 2500 Stunden brennt
beträgt 0.3935. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Glühbirne mehr als 10000
Stunden brennt, beträgt 0.1353.
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 179
−2
=

Normalverteilung
Bedeutung: „Wichtigste“ Verteilung überhaupt
Gründe: - bei vielen Phänomenen in der Natur beobachtbar,
Beispiele:
- tritt auf, falls viele zufällige Einflüsse zusammenwirken,
- Verteilung von Messfehlern
Stetige Verteilungsfamilien
- theoretische Begründung über zentralen Grenzwertsatz (später),
- herausragende Bedeutung in der induktiven Statistik
(Schätz- und Testtheorie).
- Abweichungen von Sollwerten bei der Produktion bestimmter Teile
- Punktezahlen in Tests
- Größen von Pflanzen bei ähnlichen Anbaubedingungen
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 180

Normalverteilung
Eine Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit Parametern
2 2
und Varianz σ > 0,
kurz X ~ N(
μ,
σ ) , wenn sie die Dichte
f
( x)
=
1
2
2πσ
besitzt. Es gilt ( X ) = ,
2
Speziell für = 0 , σ = 1
mit der Dichte
( ) 2 ( x μ)
⎞
2
⎛ − μ
exp ⎜
−
⎝ 2σ
2
E μ Var(
X ) = σ .
⎟ ⎟
⎠
,
Stetige Verteilungsfamilien
μ erhält man die Standardnormalverteilung N(
0,
1)
ϕϕ
( x )
=
1 ⎛ x
exp ⎜
⎜−
2
⎜
⎜−
π ⎝ 2
x
∫−∞ und der Verteilungsfunktion Φ(
x) = ϕ(
t)
dt .
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 181
2
⎞
⎟
⎠

Dichten von Normalverteilungen
Anmerkung: Die Dichten sind symmetrisch um µ. Daher E(X)=µ.
Stetige Verteilungsfamilien
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 182

Stetige Verteilungsfamilien
Dichte und Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
( − x) ϕ(
x)
Φ( − x) = 1−
Φ(
x)
ϕ =
Anmerkung: Die Verteilungsfunktion Φ lässt sich nicht mit elementaren
Funktionen berechnen. Man kann ihre Werte aber z.B. in Tafeln nachschlagen.
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 183

Stetige Verteilungsfamilien
Transformation von Zufallsvariablen
Wenn X eine Zufallsvariable ist und g eine reellwertige Funktion, dann ist Y=g(X)
wieder eine Zufallsvariable. Die Betrachtung solcher Transformationen ist u.U.
nützlich, um die Verteilung von Y auf diejenige von X zurückzuführen.
Falls g streng monoton wachsend und damit invertierbar ist, d.h. man kann die
Gleichung y=g(x) nach x umstellen, x=g-1 Gleichung y=g(x) nach x umstellen, x=g (y), so gilt
-1 (y), so gilt
−1
−1
( y)
= P(
Y ≤ y)
= P(
g(
X ) ≤ y)
= P(
X ≤ g ( y))
= F ( g ( y))
.
FY X
Beispiel: Logarithmische Normalverteilung.
Eine Zufallsvariable Y heißt logarithmisch normalverteilt mit Parametern µ und
σ 2 , wenn X=ln(Y) normalverteilt ist mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 . Dann
gilt
( y ) =
P ( Y ≤ y ) = P (ln( Y ) ≤ ln( y )) = P ( X ≤ ln( y )) = F (ln( y )).
F FY = X
Durch Ableiten der Verteilungsfunktion kann man die Dichte von Y und
anschließend Erwartungswert und Varianz bestimmen.
Die logarithmische Normalverteilung wird häufig in der Finanzmathematik
angewandt.
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 184

Stetige Verteilungsfamilien
Lineare Transformation von Zufallsvariablen
Die lineare Transformation von Zufallsvariablen spielt eine besondere Bedeutung.
Es seien b und c reelle Zahlen und X eine Zufallsvariable sowie Y=b+cX. Es sei
c>0. Dann gilt
y − b y − b
F Y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P ( b + cX ≤ y ) = P ( X ≤ ) = F X ( ).
c c
Transformationsformel für lineare Transformationen
X sei eine Zufallsvariable, c≠0 und Y=b+cX. Wenn c>0, dann ist
y − b
FY ( y)
= FX
( ).
c
Wenn X stetig verteilt ist mit Dichte fX, so ist auch Y stetig verteilt mit der
Dichtefunktionen
1 y − b
f Y ( y ) =
⋅ f X ( ).
| c | c
Beweis: Durch Ableiten erhalten wir die Dichte von Y (c>0).
fY d
dy
Y
X
y − b
c
1
c
1
c
X
y − b
c
'
( y)
= F ( y)
= F ( ) ⋅ = ⋅ f ( ).
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 185

Stetige Verteilungsfamilien
Beispiel: Benzinumsatz.
Auf S. 121 wurde die Dichte f für den Benzinumsatz U einer Tankstelle in 10000
Liter angegeben.
f Y
2
( x)
= 4x
3x
) I ( x).
f −
( [ 0,
1]
Möchte man den Umsatz Y in Litern
angeben, so ist Y=10000·U, d.h. für b=0
und c=10000 gilt für die Dichte f Y von Y
1 y
10000 10000
( y)
= ⋅ f ( ).
An der Gestalt der Dichte ändert sich
nichts. Außerdem gilt, vgl. S.121,
P(
Y > 5000)
= P(
U > 0.
5)
=
0.
625.
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 186

Lineare Transformation einer normalverteilten Zufallsvariable
2
Für ~ N(
μ , σ )
Stetige Verteilungsfamilien
X ist die linear transformierte Variable Y = b + cX , c ≠ 0,
2 2
wieder normalverteilt mit Y ~ N(
b + cμ,
c σ ).
Beweis: Gemäß Transformationsformel für lineare Transformationen ist die
Dichte von Y gleich
1 ⎛ y − b ⎞
fY ( y)
= f X ⎜ ⎟,
wobei f X ( x)
=
| c | ⎝ c ⎠
Einsetzen liefert
2
⎛ ( ) ⎞
⎜ ⎡ y − b ⎤ ⎟
1 1 ⎜ ⎢
− μ
1 1
⎥ ⎟
( )
⎣ c
( )
exp
⎦
| c |
2
2
2
2 ⎟ =
⎟
Das ist die Dichte von
⎟
⎜ ⎢
− μ
⎣ c ⎥
f
⎦
Y y = ⋅
⎜−
π σ
σ
⎜
⎝
⎠
2 2
N ( b +
cμ,
c σ ).
1
2
2πσ
1
2 2
2π
c σ
( x μ)
⎛ −
exp ⎜
− 2
⎝ 2σ
[ y − ( b c cμμ
) ]
⎛ +
exp ⎜
− 2 2
⎝ 2c
σ
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 187
2
⎟ ⎞
⎠
.
2
⎞
⎟
. ⎟
⎞
⎠

Stetige Verteilungsfamilien
Standardisierung einer Zufallsvariablen
Durch Standardisierung können die Verteilungen von Zufallsvariablen auf
standardisierte Typen von Verteilungen zurückgeführt werden.
Eine Zufallsvariable heißt standardisiert, genau dann wenn
Ist X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert µ und Standardabweichung
σ>0, dann ist die transformierte Zufallsvariable − μ
= X
Z
standardisiert.
E(
Z)
= 0,
Var(
Z)
=
Durch eine lineare Transformation kann man Zufallsvariablen standardisieren:
Beweis: Unter Anwendung der Rechenregeln für Erwartungswert und
Varianz gilt:
⎛ 1 μ ⎞ 1 μ
E(
Z)
= E⎜
X − ⎟ = E(
X ) − = 0,
⎝σ
σ ⎠ σ σ
⎛ 1 μ ⎞ 1
Var(
Z)
= Var⎜
X − ⎟ = ⋅Var(
X ) = 1.
2
⎝σ
σ ⎠ σ
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 188
1.
σ

Standardisierung einer normalverteilten Zufallsvariable
μ,σ
Stetige Verteilungsfamilien
2
Ist X eine N( )− verteilte Zufallsvariable, so ist die standardisierte
Zufallsvariable
Z
− μ
= X − μ
=
σ
X
standardnormalverteilt, d.h. Z ~ N(
0,
1).
Beweis: Siehe lineare Transformation einer normalverteilten Zufallsvariable.
2
Somit gilt für X ~ N(
μ,
σ ):
Also
F FX ⎛ X − μμ x − μμ
⎞ ⎛ x − μμ
⎞ ⎛ x − μμ
⎞
⎜
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ σ σ ⎠ ⎝ σ ⎠ ⎝ σ ⎠
( x ) = P ( X ≤ x ) = P ≤ = P Z ≤ = Φ .
2 ( μ,
)
X
~ N σ
F X
⎛ x − μ ⎞
⎜ ⎟
⎝ σ ⎠
( x)
= Φ = Φ(
z)
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 189
mit
z
− μ
=
σ
x

Stetige Verteilungsfamilien
Zahlreiche Berechnungen für normalverteilte Zufallsvariablen kann man durch
lineare Transformation auf eine standardnormalverteilte zurückführen.
Beispiel
Angenommen, X sei N(1, 4)-verteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für
X

Beispiel:
(1) Ermittlung von
Φ(0.51):
Eintrag in Zeile 0.5 und
Spalte 0.01 liefert Wert
zu 0.5+0.01: 0.6950.
(2) Ermittlung von
Φ-1 (0.95):
Nach Eintrag in der
Tabelle suchen, der am
nächsten an 0.95 liegt.
Wir wählen 0.9495
(auch 0.9505 wäre
möglich).
Der Zeile- und Spaltenwert
liefern den
gesuchten Wert:
1.6 + 0.04 = 1.64.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
Stetige Verteilungsfamilien
Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
P(Z≤z)=Φ(z).
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517
0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706
0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767
0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817
0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857
0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890
0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916
0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 191

Stetige Verteilungsfamilien
Quantile und zentrale Schwankungsintervalle der Normalverteilung
μ,σ
2
Sei X eine N( )− verteilte Zufallsvariable. Dann gilt:
− μ
σσ
α zα bzw. q α = μ + σ zα
,
α = z bzw. q α = μ + σ zα
,
= q
wobei qα die α-Quantile von X und zα die α-Quantile der Standardnormal-
verteilung bezeichnen.
Allgemein gilt:
P
( z σ ≤ X ≤ μ + z σ ) = 1−
α .
μ − 1−α
/ 2
1−α
/ 2
Speziell folgt daraus für z = k :
1−α
/ 2
( μ −σ ≤ X ≤ μ + ) = 0 . 6827,
k = 1,
( μ − 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 ) = 0.
9545,
k = 2,
( μ
− 3 σ ≤ X ≤ μ + 3 ) = 0.
9973,
k = 3.
P σ
P σ
P σ
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 192

k
αα
/ 2
1−α
αα
/ 2
μ − kσ
μ μ + kσ
Stetige Verteilungsfamilien
Beachte:
Aufgrund der
Symmetrie der
Dichtefunktion φφ
gilt für beliebiges
0

Stetige Verteilungsfamilien
Beispiel: Lebensdauern von Batterien.
Batterien der Firma Nimmermüde seien normalverteilt mit einer mittleren
Lebensdauer von 400 Stunden und einer Standardabweichung von 120
Stunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Batterie mindestens
300 Stunden hält.
Lösung: X bezeichne die Lebensdauer der Batterien. Dann ist X~N(400,120 2 ).
Gesucht ist P(X≥300).
Nach Standardisierung ist Z=(X-400)/120 ~N(0,1).
P(
X
⎛ X − 400 300 − 400 ⎞ ⎛
≥ 300)
= P⎜
≥ ⎟ = P⎜
Z
⎝ 120 120 ⎠ ⎝
5 ⎞
⎟
6 ⎠
⎛ 5 ⎞ ⎛ ⎛ 5 ⎞ ⎞ ⎛ 5 ⎞
= 1−
Φ⎜−
⎟ = 1−
⎜1−
Φ⎜
⎟⎟
= Φ⎜
⎟ = 0.
7977.
⎝ 6 ⎠ ⎝ ⎝ 6 ⎠⎠
⎝ 6 ⎠
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Batterie länger als 300 Stunden hält, beträgt
0.7977.
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 194
≥
−

Stetige Verteilungsfamilien
Beispiel: Rasendünger.
Die Firma Gartengrün besitzt eine Maschine zum Abfüllen von Rasendünger.
Die Maschine füllt im Mittel 25 kg in einen Sack. Die Abfüllungen haben
eine Standardabweichung von 0.3 kg und seien normalverteilt.
Wie groß ist der Anteil der Säcke, deren Abweichungen vom Mittelwert 25kg
größer als 0.5 kg ist.
Lösung:
P(|
X − 25 | ≥
0.
5)
= 1−
P(|
X
− 25 | <
0.
5)
= 1−
P(
24.
5 < X
⎛ 24.
5 − 25 X − 25 25.
5 − 25 ⎞
= 1−
P⎜
< < ⎟
⎝ 0.
3 0.
3 0.
3 ⎠
25.
5)
⎛
= 1−
P⎜−
⎝
0.
5
0.
3
0.
5
0.
3
⎛ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞⎞
⎛ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎞ ⎛ 5 ⎞
= 1 1−
⎜ ⎜Φ⎜
⎟ − Φ ⎜ ⎜−
⎟ ⎟ = 1 − ⎜ Φ ⎜ ⎟ − ( 1 − Φ ⎜ ⎟ ) ⎟ = 2 ( 1 − Φ ⎜ ⎟ )
⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠ ⎝ 3 ⎠
= 2⋅
( 1−
0.
9522)
= 0.
0956.
− Φ −
= − Φ⎜
⎟
⎝ ⎠
9,56% der Säcke weisen Abweichungen der Abfüllungsmengen vom
Mittelwert von mindestens 0.5 kg auf.
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 195
<
<
Z
<
⎞
⎟
⎠

Stetige Verteilungsfamilien
Multipliziert man normalverteilte Zufallsvariablen mit Konstanten oder bildet
man Summen von unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen, so sind die
resultierenden Zufallsvariablen erneut normalverteilt.
Verteilung der Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen
2
2
Sind X N(
μ , σ ) und Y N(
, σ )
~ X X ~ μ Y Y unabhängig, so gilt:
2
X + Y ~ N(
μ + μ , σ
2
+ σ ).
X
Y
X
Y
2
Sind ~ N(
μ , σ ) , i = 1,
K,
n unabhängig, so ist jede Linearkombination
X i i i
Y n
= c1X
1 + K+
c X wieder normalverteilt mit
2 2
2 2
Y ~ N ( c μ μ + K
+ c μμ
, c σσ
+ K + c σσ
). ).
1
1
n
n
1
1
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 196
n
n

Stetige Verteilungsfamilien
Beispiel: Asset Allocation (aus Wewel)
Ein Anleger möchte einen bestimmten Geldbetrag (30 000€) in Aktien
anlegen. Wir gehen davon aus, dass sich die Renditen der Aktien A 1 und A 2
als unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert µ i
(erwartete Rendite) und Standardabweichung σ σi (Volatilität) beschreiben
lassen. A m sei ein Portfolio, dass 50% der Anlagesumme in A 1 und 50% der
Anlagesumme in A 2 investiert.
Wie groß sind die erwartete Rendite und die Volatilität für A m? Bestimmen
Sie für A 1, A 2 und A m die Wahrscheinlichkeit, einen Verlust zu realisieren!
Aktie Rendite erwartete
Rendite
A 1 R 1 24% 15%
A 2 R 2 10% 5%
Volatilität
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 197

Stetige Verteilungsfamilien
Lösung: Nach Voraussetzung sind R 1~N(0.24,0.15 2 ) und R 2~N(0.1,0.05 2 )
unabhängig und es gilt R m = 0.5·(R 1+R 2).
Nach der Aussage über die Verteilung der Summe unabhängiger
normalverteilter Zufallsvariablen ist R m wieder normal verteilt. Es gilt
R m
~
N
2 2 2 2
( 0.
5⋅
0.
24 + 0.
5⋅
0.
1,
0.
5 ⋅0.15
+ 0.
5 ⋅0.05
) = N(0.17,0.00625)
.
Damit ist die erwartete Rendite von A m gleich dem Erwartungswert von R m,
E(
R ) =
m
0.
17,
und die Volatilität ist gleich der Standardabweichung von R m, also
Var
( R ) = 0 . 00625 = 0 . 079 .
m
Das Portfolio A m liefert also eine bessere Rendite als A 2, besitzt aber ein
kleineres Risiko als A 1.
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 198

Die Aktien machen Verlust, wenn ihre Rendite negativ ist.
P
( R1
<
0)
⎛ 0 − 0.
24 ⎞
= Φ⎜
⎟
⎝ 0.
15 ⎠
= Φ(
−1.
6)
= 1−
Φ(
1.
6)
= 1−
0.
9452 =
⎛ 0 − 0 . 1 ⎞
P ( R R2
< 0 ) = Φ ⎜ ⎟ = Φ ( − 2 ) = 1 − Φ ( 2 ) = 1 − 0 . 9772 = 0 . 0228 .
⎝ 0.
05 ⎠
⎛ 0 − 0.
17 ⎞
P(
Rm
< 0)
= Φ⎜
⎟ = Φ(
−2.
15)
= 1−
Φ(
2.
15)
= 1−
0.
9842 =
⎝ 0.
079 ⎠
Stetige Verteilungsfamilien
0.
0548.
0.
0158.
Die Wahrscheinlichkeit, Verlust zu machen, ist für das Portfolio Am am
kleinsten. Aus dieser Sicht mag es für risikoscheue Anleger interessanter sein
als beispielsweise A A2. 2.
Anmerkung: Die Unabhängigkeit der Aktien ist i.A. eine unrealistische
Annahme. Mit der Beschreibung von Abhängigkeiten zwischen
Zufallsvariablen beschäftigt sich Kapitel 4.
I.Steinke, T.Stocker Spezielle Verteilungen 199